Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkół: • ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH W SŁUBICACH • LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE • ID grupy: • 97/23_MF_G1 97/54_mf_g1 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO - FIZYCZNA • Temat projektowy: • Wzór Eulera dla wielościanów • Semestr/rok szkolny: • semestr trzeci/rok szkolny 2010/2011

3. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH • ID grupy: 97/54 • Opiekun: ANNA BRZEZIŃSKA • Kompetencja: • MATEMATYCZNO - FIZYCZNA • Temat projektowy: • RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH • Semestr/rok szkolny: • semestr trzeci/rok szkolny 2010/2011

4. Twierdzenie Eulera o wielościanach • Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu. • gdzie: • W — liczba wierzchołków • S — liczba ścian • K — liczba krawędzi

5. DOWÓD • Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie*. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność

6. Dowód • Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K = W + 1, a więc będzie znowu S + W = K + 1. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (będzie S = 3, W = K - 2). Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie

7. Uogólnienia • Zachodzą także nierówności: • Analogiczne twierdzenie można uzyskać także dla grafów planarnych. Odpowiednikiem wierzchołka i krawędzi wielościanu jest wierzchołek i krawędź grafu, a odpowiednikiem ściany wielościanu obszar otoczony przez krawędzie grafu, a także obszar na zewnątrz grafu.

8. Uogólnienia • Uogólnienie wzoru Eulera: • gdzie T to liczba tzw. „tuneli”, czyli wielościennych „wydrążeń” przenikających z jednej strony na drugą tak, że wielościan staje się bryłą (T+1)-spójną. • Warto zauważyć, że twierdzenie to nie ma postaci równoważności: każdy wielościan wypukły spełnia powyższe równanie, ale nie każdy zestaw ścian, wierzchołków i krawędzi spełniający równanie opisuje jakiś wielościan wypukły - łatwo wskazać kontrprzykłady, np. W=2, K=S=0. Istnieją też wielościany nie wypukłe, które to równanie spełniają

9. Wielościany • Bryłę „W” nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym:1. jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny,2. każde dwa punkty brzegowe bryły „W” można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu. • Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu. • Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, tow - k + s = 2

10. Wielościany • Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Wielościany foremne nazywamy również bryłami platońskimi. • Istnieje tylko pięć (5) brył platońskich. Są to: tetraedr (czworościan foremny), heksaedr (sześcian), oktaedr (ośmiościan foremny), dodekaedr (dwunastościan foremny) i ikosaedr (dwudziestościan foremny). Dlaczego tylko pięć? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

11. Wielościany • Jeśli wszystkie ściany wielościanu są wielokątami foremnymi (niekoniecznie przystającymi) a wierzchołki są przystające, wówczas takie wielościany nazywać będziemy wielokątamijednorodnymi (w jęz. ang. uniform polyhedra). Dla lepszego porozumiewania sie wielościany przyjęto oznaczać symbolami Schläfiego, a w ostatnich czasach również symbolami Wythofa. Wielościany, których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi przystającymi do siebie a naroża są foremnymi kątami bryłowymi nazywamy wielościanami foremnymi (w jęz. ang. regularpolyhedra). Oczywiście wielościany foremne są również jednorodne. Znanych jest 18 wypukłych wielościanów jednorodnych, mianowicie 5 wielościanów platońskich i 13 wielościanów archimedesowskich.

12. Wielościany • tetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr • Bryły platońskie

13. Twierdzenie Eulera i jego zastosowanie.

14. 1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania 1. • Na płaszczyźnie danych jest p punktów (p>2). Punkty te połączono nieprzecinającymi się krzywymi tworząc spójny graf. • Ile obszarów zamkniętych utworzyły krzywe tego grafu?

15. Rozwiązanie: • Dla trzech punktów graf składa się z 2 lub 3 krzywych - rys.1. • Dla czterech punktów graf składa się z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2. • Teza: Ilość s obszarów zamkniętych wynosi s = k-p+1.

16. Rozwiązanie: • Udowodnimy indukcyjnie wzór s = k-p+1 prowadząc indukcję ze względu na ilość p punktów grafu. • 1o. Niech p=3 (rys.1). Jeżeli k=2 to s=0; jeśli k=3 to s=1 • Ze wzoru s = k-p+1 również otrzymujemy te same wartości: dla k=2, s = 2-3+1 = 0, dla k=3, s=3-3+1=1, zatem wzór jest prawdziwy dla p=3. • 2o. Załóżmy, że dla każdego grafu składającego się z p punktów i mającego k krzywych, zachodzi równość s = k-p+1. • Udowodnimy, że dla grafu mającego p+1 punktów również zachodzi ten wzór.

17. Dowód: • Dodając jeden nowy punkt do grafu składającego się z p punktów musimy połączyć go nową krzywą z którymś z dotychczasowych punktów. Nie powstanie przy tym żaden nowy obszar zamknięty ponieważ jest to pierwsza krzywa wychodząca z tego punktu. • Wyrażenie k-p+1 przyjmie więc postać (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzór jest spełniony. • Zbudowanie r nowych połączeń pomiędzy p+1 punktami w każdym z możliwych układów, spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarów również o r, ponieważ dorysowanie każdej krzywej albo tworzy jeden nowy obszar, albo też rozdziela już istniejący obszar na dwa obszary, czyli przybywa jeden obszar. • Wyrażenie s = k-p+1 przyjmie więc postać s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stąd • s+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d. • Zatem wzór s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafów składających się z p punktów.

18. 2. Rozwiązanie zadania 2. • Korzystając ze wzoru s = k-p+1 znajdź związek między ilością ścian, ilością wierzchołków i ilością krawędzi dowolnego wielościanu wypukłego? • Do rozwiązania tego zadania należy najpierw dokonać myślowej transformacji zamieniającej wielościan na figurę płaską. W tym celu należy usunąć jedną ze ścian wielościanu, zostawiając jej krawędzie, i zakładając, że wielościan jest wykonany z elastycznego materiału, rozciągnąć go płasko na płaszczyźnie. Wówczas spełnioniony jest wzór s= k-p+1. • Przyjmując oznaczenia s=s(ilość ścian wielościanu), k - ilość krawędzi wielościanu, p= w (ilość wierzchołków wielościanu) otrzymujemy s= k-w+1. Dodając teraz usuniętą wcześniej ścianę otrzymujemy ostatecznie: • Odpowiedź: s = k - w + 2. (Tw. Eulera)

19. 3. Wprowadzenie definicji i przykładów wielościanów foremnych. • Definicja. • Wielościan nazywamy foremnym jeśli wszystkie jego ściany są przystające i wszystkie naroża również są przystające. • Przykładami wielościanów foremnych są sześcian i czworościan foremny.

20. 4. Rozwiązanie zadania 3.Znajdź wszystkie wielościany foremne. • Rozwiązanie: • Ponieważ poszukiwany wielościan ma być foremny więc przyjmijmy, że ma on pewną ilość ścian s i każda ściana ma a boków, oraz że ma on w wierzchołków i z każdego wierzchołka wychodzi b krawędzi. Przyjmijmy też, że ma on k krawędzi. • Otrzymujemy stąd s*a/2 = k i w*b/2=k, a po przekształceniu s=2*k/a i w=2*k/b. • Korzystamy teraz ze wzoru Eulera s = k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie wyrażenia. Otrzymujemy wyrażenie 2*k/a = k - 2*k/b + 2 a stąd po przekształceniu • 2/a + 2/b - 2/k = 1

21. Rozwiązanie zadania 3 • Aby znaleźć jakiś wielościan foremny należy dobrać odpowiednią trójkę liczb a, b, k spełniającą ostatnią równość. Uczniowie mogą albo ręcznie sprawdzać różne trójki liczb albo napisać krótki program komputerowy do znajdowania tych liczb. program Wielosciany_foremne; {Turbo Pascal} uses crt; vara,b,k:integer; begin clrScr; for a:=3 to 50 do for b:=3 to 50 do for k:=3 to 50 do if 2/a+2/b-2/k=1 then writeLn(a,' ',b,' ',k,' ',2*k/a:2:0); readLn; end. program Wielosciany_foremne; {Think Pascal} var a, b, k: integer; begin for a := 3 to 50 do for b := 3 to 50 do for k := 3 to 50 do if 2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 then writeln(a, b, k,2*k/a:2:0); end.

22. Rozwiązanie zadania 3 • Powyższy program daje tylko trzy rozwiązania: • a=3 b=3 k=6 s=4 • a=3 b=5 k=30 s=20 • a=5 b=3 k=30 s=12 • Wśród tych rozwiązań nie ma jednak sześcianu. Nie jest to błąd programu lecz niedokładność obliczeń. Należy omówić z uczniami rachunek błędów i zmienić linię programu if 2/a+2/b-2/k=1 then na postać ifabs(2/a+2/b-2/k-1)<0.000001 then.

23. Rozwiązanie zadania 3 • Teraz otrzymujemy wszystkie rozwiązania, dające wszystkie rodzaje wielościanów foremnych: • a=3, b=3, k=6, s=4 - czworościan foremny • a=3, b=4, k=12, s=8 - ośmiościan foremny • a=3, b=5, k=30, s=20 - dwudziestościan foremny • a=4, b=3, k=12, s=6 - sześcian • a=5, b=3, k=30, s=12 - dwunastościan foremny.

24. Rozwiązanie zadania 3 Należy jeszcze uzasadnić (na podstawie analizy wzoru 2/a+2/b-2/k=1), że poszukiwania trójek a, b, k wśród coraz większych liczb nie jest potrzebne, ponieważ 2/a+2/b musiałoby być >1 co nie może mieć miejsca. Znalezione wielościany są więc wszystkimi możliwymi wielościanami foremnymi.