Pemograman Linier : teknik matematis untuk menyelesaikan masalah

1. EKMAN-6 PROGRAM LINIER Pemograman Linier : teknik matematis untuk menyelesaikan masalah maksimisasi dan minimisasi dengan kendala. Dalam persamaan terdapat banyak kendala dan fungsi tujuan untuk dioptimumkan. Kendala perusahaan : maks. laba, min. biaya atau tujuan lainnya. Asumsi : fungsi tujuan yang ingin dioptimumkan (maks atau min) dan kendala yang dihadapi adalah linier. (harga input dan output konstan, hasil skala tetap, produksi dengan kombinasi input tetap, fungsi biaya yang akan diminimumkan juga linier. Aplikasi Program Linier :

2. 1. Pemilihan Proses Optimal: Kebanyakan produk diproduksi dengan menggunakan sejumlah proses, dan setiap proses memerlukan teknologi dan kombinasi input yang berbeda Program linier dapat digunakan untuk menentukan kombinasi optimal dari proses yang dibutuhkan untuk memproduksi tingkat output diinginkan pada tingkat biaya terendah, dengan kendala tenaga kerja, modal dan kendala lainnya yang mungkin dihadapi oleh perusahaan. 2. Bauran Produk Optimal: Perusahaan lebih suka memproduksi berbagai variasi produk dibandingkan hanya satu produk dan harus menentukan bagaimana cara terbaik menggu- nakan pabrik, tenaga kerja dan input lain yang dimiliki untuk memproduksi kombinasi atau bauran produk yang dapat memaks. laba, dibatasi kendala yang ada. Contoh : produksi dari komoditas tertentu mungkin membawa pada laba tertinggi perunit tetapi tidak menggunakan semua sumberdaya yang dimiliki perusahaan.

3. Sumberdaya yang tidak digunakan dapat dimanfaatkan untuk memproduksi komoditas lainnya, tetapi bauran seperti ini mungkin tidak akan membawa kepada maksimisasi laba bagi perusahaan secara keseluruhan. Bauran produk untuk maksimisasi keuntungan dan sekaligus memenuhi seluruh kendala dapat ditentukan dengan PL 3. Pemenuhan Persyaratan Produk Minimum : Produksi seringkali mensyaratkan bahwa`sejumlah persyaratan minimum tertentu dari produk harus dipenuhi pada tingkat biaya minimum. Contoh : Perusahaan minyak yang ingin meminimumkan biaya produksi minyak dengan tingkat oktan tertentu dengan memperhatikan persyaratan penyulingan, transportasi, pemasaran, dan eksplorasi Masalah ini dapat diselesaikan dengan PL 4. Pemenuhan Kapasitas Jangka Panjang : Apabila laba perunit melebihi harga input yang harus dibayar oleh prshan akan menunjukkan bahwa laba total perusahaan akan meningkat dengan menggunakan lebih banyak input.

4. Konsep Dasar PemogramanLinier Isokuan 100 Q patah pada titik A, B dan C, dan untuk skala hasil tetap, isokuan untuk dua kali output (200Q) dengan patahan pada titik D, E dan F. Isokuan 100Q sejajar dengan isokuan 200Q

5. Bauran Optimal dari Proses Produksi : Gambar 8.2, hal 347. Prosedur Pemograman Linier : • Fungsi tujuan (Objective Function) : merujuk pada maksimisasi profit • atau minimisasi cost. • Kendala ditunjukkan oleh pertidaksamaan : kendala pertidaksamaan • Hanya ada kendala non negatif • Variabel Keputusan : Kuantitas dari setiap produk untuk memaksi. • laba atau input yang digunakan untuk memin. • biaya. • Langkah-langkah Pemograman Linier : • Menentukan fungsi objektif dalam bentuk persamaan dan kendala dlm • bentuk pertidaksamaan. • 2. Menggambarkan grafik dari kendala pertidaksamaan, dan definisikan • wilayah yang mungkin.

6. Menggambarkan grafik dari fungsi objektif sebagai suatu seri dari • isoprofit dan isocost, satu untuk masing-masing tingkat laba atau • biaya secara terpisah • 4. Temukan solusi optimal pada titik ekstrim yang menyentuh garis iso- • profit tertinggi atau isocost terendah. Input Kuantitas Input dibutuhkan per Unit Output Kuantitas Input tersedia/periode waktu Produk X Produk Y A 1 1 7 B 0.5 1 5 C 0 0.5 2 Kasus 1 : Sebuah perusahaan hanya memproduksi 2 jenis produk, yaitu X dan Y. setiap unit produk X kontribusi $30 laba dan setiap unit produk Y kontribusi $40. Setiap unit produksi X dan Y membutuhkan input A dan B seperti Tabel di bawah ini : Tentukan output X dan Y diproduksi sehingga profit maksimum!

7. Langkah 1 : Fungsi objektif Profit :  = $30 QX + $40 QY Langkah 2 : Kendala dari suatu masalah sebagai suatu pertidaksamaan : 1QX + 1 QY  7.....(1) 0.5 QX + 1 QY  5....(2) 0.5 QY  2 ....................(3) Langkah 3 : Agar solusi masalah pemograman linier masuk akal secara ekonomi , maka harus dibuat kendala pertidaksamaan pada output X dan Y. Alasannya adalah bahwa perusahaan dapat memproduksi 0 unit tetapi perusahaan tidak dapat memproduksi negatip unit. Langkah 4. Tentukan Qx dan Qy secara Aljabar 1QX + 1 QY = 7 0.5 QX + 1 QY = 5 0.5 QX + 1 QY = 5 0.5 Qy = 2 maka Qy = 4 ; Qx =2 - 0.5 Qx = 2 maka Qx = 4 ; Qy = 3

8. Langkah 5 : masukkan Qx dan Qy terhadap fungsi Profit • maks. = $ 240, dimana output produk X yang diproduksi 4 unit dan output produk Y yang diproduksi adalah 3 unit.

9. Program Linier untuk Masalah Minimisasi Biaya : Menentukan kombinasi input yang meminimumkan biaya dengan mempertimbangkan kendala yang dihadapi perusahaan. Kasus 1. Manajer restauran kampus menyiapkan makanan yang memenuhi kebutu- han minimum untuk Protein (P), mineral (M), dan Vitamin (V). Misalkan bahwa kebutuhan minimum sehari-hari telah ditetapkan pada 14P, 10M dan 6V. Manajer dapat menggunakan dua makanan pokok (mis. daging dan ikan) dalam persiapan makanan. Daging (makanan X) mengandung 1P, 1M, dan 1V per pon. Ikan (makanan Y) mengandung 2P, 1M dan 0.5Y per pon. Harga dari X adalah $2 per pon, dan harga Y adalah $3 per pon. Manajer ingin menyajikan makanan yang memenuhi persyaratan minimum harian dari protein, mineral dan vitamin pada biaya terendah.

10. Masalah pemograman linier dapat dirumuskan : Meminimumkan : C = $2 Qx + $3 Qy (fungsi tujuan) Dengan kendala : 1 Qx + 2 Qy ≥ 14 (kendala untuk protein) 1 Qx + 1Qy ≥ 10 (kendala untuk mineral) 1 Qx + 0.5 Qy = 6 (kendala untuk vitamin) Qx, Qy = 0 HAL 361. Masalah Dual dan Harga Bayangan Masalah primal mempunyai suatu masalah terkait atau simetris yang dise- but dengan masalah dual (dual problem). Masalah primal maksimisasi laba mempunyai masalah dual minimisasi biaya, sedangkan masalah primal minimisasi biaya mempunyai masalah dual maksismisasi laba. Solusi dari masalah dual adalh harga bayangan (shadow price). Harga Bayangan : perubahan dalam nilai fungsi tujuan per unit perubahan dari setiap kendala masalah primal.

11. Contoh : Harga bayangan dalam masalah maksimisasi laba memberikan indikasi berapa banyak total laba akan meningkat akibat kenaikan perunit penggunaan setiap input. CONTOH : Halaman 364