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Esperança

Esperança. Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes. Esperança.

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Esperança

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Presentation Transcript

  1. Esperança • Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

  2. Esperança • Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

  3. Esperança • Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25 -1 com probabilidade 24/25 Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

  4. Esperança • O valor esperado de uma v.a. discreta X é: EX = Sixi. P(X=xi) (ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade) • EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.

  5. Exemplo • X~Bernoulli(p)

  6. Exemplo • X ~ Geométrica(p)

  7. Exemplo • X ~ Poisson(l)

  8. Esperança

  9. Paradoxo de S. Petersburgo • Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. • Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. • Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1. N = número de apostas até a saída. Y = ganho na saída.

  10. Paradoxo de S. Petersburgo • X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3 EX = –1/3. • N é finito com prob. 1 • Y = 1

  11. Propriedades • E(aX + b) = aEX + b • Mas, em geral, E(g(X))  g(E(X)) • Exemplo: Y = X2 EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2 EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6 • Note que EY = 02.P(X=0)+ 12 .P(X=1)+ (–1)2 .P(X=–1)

  12. Propriedades • Para X discreta: E(g(X)) = Sig(xi) P(X=xi) (Law of the unconscious statistician)

  13. Propriedades • E(X+Y) = EX + EY (sempre!) • E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

  14. Exemplo • Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas: • com reposição? • sem reposição?

  15. Variância • Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2

  16. Propriedades • Var(aX+b) = a2 Var(X) • Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

  17. Propriedades • Se X1, X2, …, Xnsão independentes, entãoVar(X1 + X2 +…+ Xn) = Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)

  18. Exemplo • X ~ binomial(p)

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