Napoli (Andreozzi, Lo Iudice, Porrino) Praga (Knapp, Kvasil)

1. UN METODO DI EQUAZIONI DEL MOTO PER LA SOLUZIONE ESATTA DEL PROBLEMA NUCLEARE AGLI AUTOVALORI IN UNO SPAZIO A MOLTI FONONI Napoli (Andreozzi, Lo Iudice, Porrino) Praga (Knapp, Kvasil) Cortona, Ottobre 2006

2. Note preliminari • All’interno di uno spazio modello il Modello a Shell è esatto e completo. • Lo spazio modello è spesso ristretto a eccitazioni di 0-ħω. • Di conseguenza, le configurazioni di SM non sono sufficienti a descrivere stati di natura collettiva. • TDA e RPA agiscono in uno spazio più ristretto, ma più selettivo (1p -1h o configurazioni di 2 q.p. fino a n - ħω), e sono quindi più adatte alla descrizione di eccitazioni collettive. • Tuttavia, TDA e RPA non tengono conto di effetti anarmonici.

3. Definizione degli operatori particella-buco (operatori di creazione di un fonone) B+ph = a+p mp τp a h mh τh (schema non accoppiato) B+JMTN(ph) = <pmp h mh | JM> <1/2τp 1/2τh | TN> a+p mp τp a h mh τh (schema accoppiato) mp mh τp τh

4. Definizione degli operatori particella-buco (operatori di distruzione di un fonone) (operatore di distruzione di un fonone e definizione dello stato di vuoto) Bph I O > = 0 N.B. Se allo stato di vuoto si sostituisce lo stato di una, due … o più particelle, l’azione dell’operatore Bph rimane immutata: Bph I p1, p2, •••> = 0

5. particella Esempio di configurazioni con 1, 2 e 3 fononi buco 0d 0d 0d p 1s 1s 1s 0d 0d 0d 0p 0p 0p 0p 0p 0p h 0s 0s 0s Configurazione con 1p -1h  B+phIO > Configurazione con 2p -2h  B+p’h’ B+phIO > Configurazione con 3p-3h B+p’’h’’ B+p’h’ B+phIO >

6. Configurazioni con 1p - 1h:  B+ph I O > Configurazioni con 2p - 2h:  B+p’h’ B+phI O > Configurazioni con 3p - 3h: B+p’’h’’ B+p’h’ B+phI O > • E’ necessaria una base a molti-fononi per la descrizione • dell’ anarmonicità, tuttavia: il calcolo esatto degli • elementi di matrice della Hamiltoniana e/o la risoluzione • in questa base del relativo problema agli autovalori • diventano proibitivi quando il numero n di fononi cresce.

7. Proponiamo un metodo di equazioni del moto che rende possibile il calcolo degli elementi di matrice e facilita la soluzione del problema agli autovalori. Idea base • Generiamo le configurazioni del sottospazio • con n fononi applicando l’operatore • di costruzione di un fonone B+ph agli autostati • di H del sottospazio con n-1 fononi: • B+ph |n-1;νn-1>

8. Stati con diverso numero di fononi sono ortogonali: < n, β| n’, β’> =δnn’< n, β| n, β’>, per cui: <n, β|B+ph|n’, γ> = δnn’<n, β|B+ph|n-1, γ’> Lo spazio di Hilbert risulta decomposto nella somma diretta di sottospazi ciascuno dei quali è sotteso da stati con un numero fissato di fononi: H = ∑n{ | n, νn>}

9. Punto di partenza: costruzione degli stati di 1 fonone  TDA: approssimazione armonica FONONE Autostato dell’ Hamiltoniana nel sottospazio delle configurazioni di 1p – 1h: B+JMTN(ph) IÕ > |n=1; JMTN,ν> = O+JMTN (ν) IO >= ΣphCph JT(ν)B+JMTN (ph)IO > (operatore) (stato) ARMONICITA’: [ H, O+JMTN(ν)] | O > = (EJTν- E0)∙ O+JMTN (ν)| O >

10. Nuovo metodo di Equazioni del moto (EOM ) Data H  Hamiltoniana generale di SM H = εi Ňi+ ¼Vijkla+i a+j al ak occorre risolvere H | α > = Eα| α > in uno spazio sotteso dai vettori a molti fononi : {|O>, |1,ν1>, | 2, ν2>, … | n,νn>,…}

11. ∙ Punto di partenza: Generare gli autostati di H nel sottospazio con un numero fissato “n” di fononi: |n, β> = Σphγcβphγ(n)B+ph |n-1,γ> ( Un autostato di H nel sottospazio con un numero n di fononi |n; β> viene espanso in termini degli autostati di H nel sottospazio con n-1 fononi |n-1; γ> ) < n, β | H | n, β’ > = Eβ(n)δββ’ < n-1, γ | H | n-1, γ’ > = Eγ(n-1)δγγ’ Ciò si ottienecostruendoun insieme diequazioni del moto e risolvendoleiterativamente.

12. Equazioni del moto degli operatori B+ph [ H, B+ph] = (εp- εh) B+ph - Σp’h’ Vp’hph’ B+ph + Σh’h”Vh’hh”h’ B+ph” + (termini del tipo:Σp’p”p’’’ Vp’p’’p’’’pB+p’hB+p’’p’’’ + Σp’h’h’’Vp’h’ph’’ B+p’hB+h’h’’ ) + (termini del tipo:Σ p’h’p’’ Vp’h p’’h’ B+ph’ B+p’p’’ +Σ h’h’’h’’’Vhh’h’’h’’’ B+ph’ B+h’’h’’’ ) + (altri termini …)

13. EOM: Costruzione delleEquazioni • Ingrediente essenziale: <n; β|[H, B+ph]|n-1; γ> • Passo preliminare: <n; β|[H, B+ph]|n-1; γ> = <n; β|HB+ph -B+phH|n-1; γ> = ( Eβ(n) - Eγ(n-1) )<n; β |B+ph| n-1; γ> con le richieste <n; β|H|n; β’> = Eβ(n)δββ’ <n-1, γ| H |n-1, γ’>= Eγ(n-1)δγ γ’ (RHS) Ampiezza

14. EOM: Espansione delcommutatore <n; β|[H , B+ph]| n-1; γ>= (εp- εh)<n; β |B+ph| n-1; γ> + + Σp’p’’p’’’Vp’p’’p’’’p<n; β|B+p’hB+p’’p’’’|n-1; γ> + Σp’h’h’’Vp’h’ph’’<n; β|B+p’hB+h’h’’|n-1; γ> + … a+p’’ ap’’’ (LHS) Î = Σγ’|n-1; γ’><n-1; γ’| + … Linearizzazione Vp’p’’p’’’p<n; β|B+p’h| n-1; γ’> ∙<n-1; γ’|B+p’’p’’’|n-1; γ> Vp’h’ph’’<n; β|B+p’h| n-1; γ’>∙<n-1; γ’|B+h’h’’|n-1; γ>

15. Le quantità: <n-1; γ|B+p p’ |n-1; γ’> ≡ ρpγp’γ’(n-1) <n-1; γ|B+h h’ |n-1; γ’> ≡ ρhγh’γ’(n-1)  definiscono la matrice densità;  servono come ingredienti nel calcolo degli elementi di matrice di H;  si ricavano mediante semplici relazioni di ricorrenza.

16. EOM: Equazione agli autovalori LHS = RHS A X = E(n)X Essendo: Xβphγ(n) = <n; β|B+ph| n-1; γ> Ak,l= (εp- εh + Eγ(n-1)) δkl–Vphp’h’ δνn-1ν’n-1 + ½ Σh’’ Vh’’hh’h’’δpp’ +Mpp’δhh’ -Mhh’δpp’ essendo: k≡ (p h γ ) e con l ≡ (p’ h’ γ’ ) Le Ampiezze sono gli autovettori n = 1  TDA A(ij)= δij [εp–εh] + Vphh’p’

17. Struttura degli stati di base: ridondanza • Problema: Gli stati di base a molti fononinon sono antisimmetrizzati !!! … B+ph |n-1;γ> ≡  … p p Gli stati di base a molti fononiformano un insieme ridondante.

18. Eliminazione della ridondanza • Calcolo della matrice metrica D Dphγ; p’h’γ’= < n-1;γ|BphB+p’h’| n-1;γ’> Xβphγ(n) = ∑p’h’γ’ Dphγ; p’h’γ’cβp’h’γ’(n) X=Dc (La matrice metrica di n fononi si può facilmente esprimere in termini della matrice densità ρ e delle ampiezze X di n-1 fononi)

19. Eliminazione della ridondanza • Riformulazione del problema degli autovalori Nella equazioneAX = E(n)X inseriamola relazioneX=Dc (che collega ampiezze e coefficienti) ottenendo il problema generalizzato agli autovalori (AD)c = H c =E(n)Dc non immediatamente risolvibile perché • Det D = 0. • Proprietà della traccia: Tr(D) = n2∙ Ng Numero di stati fisici effettivamente esistenti

20. Eliminazione della ridondanza Scelta di un insieme di Ng stati B+ph |n-1;γ> linearmente indipendente mediante analisi della matrice metrica • Diagonalizzazione della matrice metrica? No, grazie! • a) lento e difficoltoso, quando possibile; • b) passare alla base degli autovettori di D distruggerebbe la semplicità del metodo. • Nostro metodo: Utilizzando opportunamente la decomposizione di Choleski • della matrice metrica D è possibile estrarre dall’insieme ridondante • di stati { B+ph |n-1;γ> } un suo sottinsieme linearmente indipendente che è • la base più adatta al nostro problema. • D Ď Ď-1 • Ď è la matrice metrica ridotta, cioè relativa ai soli stati linearmente indipendenti.

21. Equazione agli autovalori(dopo Choleski) Il problema agli autovalori (AD)c = E(n)Dc diventa ora Ď-1(AD)c = E(n)c e fornisce anche i coefficienti c dello sviluppo: |n, β> = Σphγcβphγ(n)B+ph |n-1;γ>.

22. Generazione iterativa della base fononica Punto di partenza| 0 > • Stati di un fonone Ĥ(1)C(1) = E(1)C(1)X(1) ρ(1) (| ν1> ) 2. Stati di due fononi Ĥ(2)C(2) = E(2)C(2)X(2) ρ(2) ( |ν1ν2> ) ………………………………………………………………… X(n-1) ρ(n-1) 3. Stati di n fononi Ĥ(n)C(n) = E(n)C(n)X(n) ρ(n) ( |ν1ν2 ……νn.> ) La base a molti fononi è generata !!!

23. Decomposizione spettrale di HTermini non diagonali H=ΣnβE(n)β|n, β><n, β|+ +Σnn’β γ|n, β > <n, β| H |n’, γ> <n’, γ|  n’= n ±1, n±2 Vi sono formule di ricorrenza semplici anche per gli elementi di matrice non diagonali, < n -1, γ | H | n, β > e < n - 2, γ | H | n; β >, i soli che è necessario calcolare.

24. Struttura di H nella base fononica • H è costituita di blocchicentrali diagonali • Ciascun blocco corrisponde a un sottospazio con fissato numero n difononi • Gli elementi di matrice di H fra blocchi non diagonali che differiscono per più di due fononi sono nulli.

25. Struttura dellamatriceHamiltoniana E(0)1 E(1)10 0 … E(1)20 … E(1)3… ………………………………………………………………….. E(2)1 0 0 … E(2)2 0 … E(2)3 … ……........................................................... E(3)10 0 E(3)20 E(3)3 … E(4)10 0 E(4)2 E(4)3 H01 0 H02 H12 H13 0 H23 H24 H(34) La struttura di H è mostrata fino a n = 4

26. Moto spurio del centro di massa • Lo schema descritto è particolarmente adatto alla eliminazione delle spuriosità dovute a eccitazioni del c. di m. • Infatti tali eccitazioni si generano nel canale particella - lacuna e si manifestano in uno stato spurio Jπ=1- T=0, che descrive il moto del centro di massa. (F. Palumbo Nucl. Phys. 99 (1967)) H H+ Hg Hg= g [P2/(2Am) + (½) mA ω2 R2]

27. Test numerici: A = 16Hamiltoniana:H = H0 + V = Σi hNils(i) + Gbare ( VBonnA ⇨Gbare) Calcoli fino a 3 fononi e 3ħω Spaziophopportunamente scelto: 2s-1d-0g p 0f-1p spazio 1p-1h 1s-0d 1s-0d spazio 2p-2h spazio 3p-3h 0p 0p h 0s

28. : Spettro dei primi stati a parità negativa T=0 ≈ Calcoli fino a 3 fononi e 3ħω

29. Stato fondamentale |Ψ0> = C(0)0 |0> + ΣλCλ(0) |λ, 0> + Σλ1λ2Cλ1λ2(0) |λ1λ2, 0> |λ, 0> |λ1λ2, 0> 1 = < Ψ0|Ψ0> = P0 + P1 + P2

30. Risposta E2 fino a 3 ħω S(ω,E2) = ΣnBn(E2,0→2+n)ρΔ(ω-ωn) ρΔ(x) =(Δ/2π) / [x2 + (Δ/2)2] M(E2μ) = Σ(p)ep rp2 Y 2μ

31. Risposta E2 fino a 3 ħω: Running sum Sn = Σn(En – E0(0) )Bn(E2,0→2+n) Rn= Sn/SEW(E2) • E’ necessario allargare lo spazio!!

32. Effetto del CM sulla risposta E2

33. ISGDR fino a 3 ħω S(ω,E1) = ΣnBn(E1, 0+0→1-0) ρΔ(ω-ωn) M(E1μ,τ=0) = (1/2) r3 Y 1μ Le componenti a molti fononi sono essenziali

34. Conclusioni • Le equazioni che generano gli stati a molti fononi conservano • la stessa semplice struttura qualunque sia il numero di fononi. • Le stesse equazioni permettono di calcolare le soluzioni esatte • di una qualunque Hamiltoniana nucleare. • Il metodo è stato testato risolvendo in modo esatto e completo, • fino a 3 fononi e 3 ħω, il problema agli autovalori per i nuclei • con massa A = 16. • Ciò non è sufficiente. Inoltre il calcolo diventa lento a causa delle • dimensioni delle matrici densità. • Sono necessari opportuni troncamenti dello spazio. • Fortunatamente, esistono metodi di importance sampling che • permettono efficaci troncamenti, tenendo sotto controllo • la qualitàtà dell’approssimazione. • (F. Andreozzi, N. Lo Iudice, A. Porrino, J. Phys. G, 29, 2319 (2003)).

35. GRAZIE Cortona, Ottobre 2006