Stratégies d’encerclement connexes dans un réseau

1. Stratégies d’encerclement connexes dans un réseau Pierre Fraigniaud, Nicolas Nisse LRI Orsay

2. Encerclement dans les réseaux • But Un groupe d’agents mobiles doit : - capturer un intrus dans un réseau ; - nettoyer un réseau contaminé ; • Utiliser le moins de ressources possibles. • Motivations Sécurité dans les réseaux informatiques ; Maintenance de réseaux de pipelines ; Opération de secours dans des souterrains. Algotel 2005

3. Encerclement dans un graphe • Stratégie d’encerclement (Parson. [GTC,1978]). • Suite de 3 opérations élémentaires • Placer un agent sur un sommet du graphe ; • Déplacer un agent le long d’une arête ; • Supprimer un agent d’un sommet du graphe. • Résultant en le nettoyage du graphe Un agent nettoie une arête quand il la traverse ; Une arête reste propre si ses deux extrémités sont protégées. • On veut minimiser le nombre d’agents s(G), plus petit nombre d’agents nécessaire à une stratégie d’encerclement dans le graphe G. Algotel 2005

4. Graphes simples • Chemin Algotel 2005

5. Graphes simples • Anneau • Chemin s(Pn) = 1 Algotel 2005

6. Graphes simples • Anneau • Chemin s(Pn) = 1 s(An) = 2 Algotel 2005

7. Décomposition arborescente • (T, (Xv)vV(T) ) • un arbre et une famille de sommets de G ; • 3 propriétés. • Largeur de (T,X) = max{| Xv |-1 / v  V(T)} • Largeur d’arborescence de G, tw(G), est la largeur minimale parmi toutes les décompositions arborescentes de G. • Décomposition linéaire (P, (Xv)vV(T) ), avec P un chemin • Largeur linéaire de G, pw(G). Algotel 2005

8. Exemple Algotel 2005

9. Exemple Algotel 2005

10. Exemple Algotel 2005

11. Lien avec l’encerclement • J.A. Ellis, I.H. Sudborough et J.S. Turner. The Vertex Separation and Search Number of a Graph. Inf. Comput. 1994. • N.G. Kinnersley. The Vertex Separation number of a graph equals its path-width. IPL. 1992. Pour tout graphe G de n sommets, pw(G) ≤ s(G) ≤ pw(G) + 2 Algotel 2005

12. Communications non sécurisées Introduction de la connexité dans le modèle • Limites du modèle Impossibilité de se déplacer à volonté dans la réallité ; Il est préférable que agents restent groupés. Algotel 2005

13. Introduction de la connexité dans le modèle • Limites du modèle Impossibilité de se déplacer à volonté dans la réallité ; Il est préférable que agents restent groupés. • stratégie d’encerclement connexe, cs(G) A chaque étape, la partie nettoyée doit être connexe. Algotel 2005

14. Historique (1) • L. Barriere, P. Flocchini, P. Fraigniaud et N. Santoro. Capture of an Intruder by Mobile Agents. SPAA, 2002. • Algorithme linéaire calculant une stratégie d’encerclement connexe optimale dans le cas des arbres. • L. Barriere, P. Fraigniaud, N. Santoro et D. Thilikos. Connected and Internal Graph Searching. WG, 2003. • Pour tout arbre T, s(T) ≤ cs(T) ≤ 2 s(T) ; Algotel 2005

15. Historique (2) • P.D. Seymour et R. Thomas. Call Routing and the Ratcatcher. Combinatorica, 14(2):217-241, 1994. • Carving connexe ; • F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004] • Décomposition en branche connexe ; • Algorithme polynomial constructif. • F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004] • Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log2 |E(G)|). Algotel 2005

16. e T1(e) T2(e) Définitions : • Arête connexe e est dite connexe si G[T1(e)] et G[T2(e)] sont des sous graphes connexes de G. • Décomposition arborescente connexe (T,X) Toute arête de E(T) est connexe. • Largeur arborescente connexe,ctw(G). Algotel 2005

17. Résultat (1) • Théorème : • Pour tout graphe connexe G, ctw(G) = tw(G). • Preuve constructive : • Algorithme polynomial qui, étant donnée une décomposition arborescente de largeur k de G, retourne une décomposition arborescente connexe de largeur ≤ k de G. Algotel 2005

18. u w e v T(v) Définition • Décomposition arborescente enraciné en un sommet u. • Arête sous-connexe Une arête e = (w,v) où w est le père de v, est sous-connexe si : G[T(v)] est un sous graphe connexe de G. • (T,X) sous connexe en vV(T) • G[T(v)] est un sous graphe connexe de G ; • toute arête de T(v) est sous connexe. Algotel 2005

19. Algorithme (1) • Entrée : • (Tu,X) une décomposition arborescente de largeur k de G. • 2 phases • Montée : rend la décomposition sous-connexe • Descente : rend la décomposition connexe Algotel 2005

20. V’ v w1 w2 w3 w4 w5 Algorithme (2) • Sous-procédure appliquée à un sommet v  V(T) tel que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s : Algotel 2005

21. V’ Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 Algorithme (2) • Sous-procédure appliquée à un sommet v  V(T) tel que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s : - détermine les composantes connexes de Xv : Y1 ,…,Yr; Algotel 2005

22. V’ Y1 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 w1 w2 w3 w4 w5 Algorithme (2) • Sous-procédure appliquée à un sommet v  V(T) tel que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s : - crée un graphe bipartie dont une partition est formée de r sommets Y1 ,…,Yr et l’autre des s sommets w1,…,ws. Il y a une arête entre Yi et wj ssi Yi  Xwj   Algotel 2005

23. V’ Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 Algorithme (2) • Sous-procédure appliquée à un sommet v  V(T) tel que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s : - modifie la décomposition arborescente en fonction des composantes connexes du graphe bipartie V’ V’ v1 v2 Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 Algotel 2005

24. V’ Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 Algorithme (2) • La décomposition arborescente résultante est sous connexe en les nouveaux descendants de v’ V’ V’ V’ v1 v2 Y1 Y2 Y3 w1 w2 w3 w4 w5 Algotel 2005

25. Algorithme (3) • Phase 2 : descente de la racine aux feuilles • Entrée : décomposition arborescente sous-connexe ; • Il reste des arêtes qui font défaut à la connexité ; Algotel 2005

26. Algorithme (3) • Phase 2 : descente de la racine aux feuilles • Rotation de la décomposition ; Algotel 2005

27. Algorithme (3) • Phase 2 : descente de la racine aux feuilles • Application de la sous procedure. Algotel 2005

28. Résultat (2) • Théorème : • Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log2 |V(G)|). • Preuve constructive : • Algorithme construisant une stratégie d’encerclement connexe de G utilisant au plus tw(G).log |V(G)| agents. Algotel 2005

29. Idée de la démonstration (1) • Démonstration par induction sur |V(G)|. • N. Robertson et P.D. Seymour. Graph Minors II. Algorithmic Aspects of Tree-Width. J. of Alg 7, 1986. • 2 cas : pour toute décomposition arborescente d’un graphe G de n sommets, il existe 1 ou 2 sommets tels que : • Pour tout 1 ≤ j ≤ r, |G[Tj]| ≤ n/2 T1 Ti Tr Algotel 2005 T1 Ti Ti+1 Tr

30. Idée de la démonstration (2) • Décomposition arborescente connexe Empécher la recontamination ≤ tw (G) agents ≤ tw(G) log n/2 agents Algotel 2005

31. cs(G) ≤ s(G). (log2 n + 2) Idée de la démonstration (2) • Décomposition arborescente connexe Empécher la recontamination ≤ tw (G) agents cs(G) ≤ tw(G). log2 n ≤ tw(G) log n/2 agents Algotel 2005

32. Conclusions • Résultats • connexité inhérente à la décomposition arborescente ; • nouvelle borne supérieure pour cs(G)/s(G) ; • Perspectives • Amélioration de la borne cs/s • généralisation aux graphes q-connexes • existe t-il une fonction f telle que pour tout graphe f(q)-connexe G, il existe une décomposition arborescente q-connexe de largeur tw(G) ? Algotel 2005