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Apéndices

Universidad de Oviedo. Área de Tecnología Electrónica. Dispositivos Electrónicos y Fotónicos. Apéndices. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores y de Sistemas. ATE-UO Ap 00. Apéndice 1 :

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  1. Universidad de Oviedo Área de Tecnología Electrónica Dispositivos Electrónicos y Fotónicos Apéndices Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores y de Sistemas ATE-UO Ap 00

  2. Apéndice 1: Entendiendo el significado del Nivel de Fermi y de la Distribución de Fermi-Dirac Enrico Fermi, Premio Nobel de Física en 1938 Paul Dirac, Premio Nobel de Física en 1933 ATE-UOAp 01

  3. Herbert Kroemer, Premio Nobel de física en 2000 por el "desarrollo de heteroestructuras para semiconductores de alta velocidad y optoelectrónica". El Nivel de Fermi forma un papel fundamental en el dibujo de los diagramas de bandas de los semiconductores ATE-UOAp02

  4. Energía de los electrones que pueden conducir corriente eléctrica (libres) en un metal Estudiamos lo que pasa a 0 K Energía de los electrones En estas condiciones, éste es el Nivel de Fermi: La energía de los electrones más energéticos. Marca el límite de ocupación de los estados posibles Estados posibles para los electrones EF1 Electrones • Aún no hemos visto qué pasa a temperatura ambiente • Aún no hemos colocado el origen (el “cero”) de medición de la energía ATE-UOAp03

  5. ¿Qué pasa si estamos a temperatura ambiente? E E Estados posibles Estados posibles En estas condiciones, éste es el Nivel de Fermi: La energía de los electrones que ocupan la mitad de los estados posibles. Sigue marcando el límite de ocupación de los estados posibles, pero de forma estadística EF1 EF1 Electrones Electrones A 300 K A 0 K ATE-UOAp04

  6. ¿Y si calentamos más? A 3000 K A 300 K EF1 50% 50% 50% 50% El nivel de Fermi en un metal corresponde a que los electrones ocupen la mitad de los estados posibles • ¡Ojo! Aún no hemos colocado el origen de la energía ATE-UOAp05

  7. f(E) 1 1 f(E) = (E-EF)/kT 1 + e 0,5 0 K 0 0 500 K 300 K E EF Formalicemos todo esto: La distribución de Fermi-Dirac f(E) • Definimos la función f(E): es la probabilidad de que un estado de energía E esté ocupado por un electrón, en equilibrio EF = nivel de Fermi k = constante de Boltzmann T = temperatura absoluta 3000 K ATE-UOAp06

  8. E Estados posibles E EF f(E) 0 0,5 1 Obtención “formal” de la energía de los electrones libres en un metal E Estados vacíos 300 K = X Electrones Estados posibles X Probabilidad de ocupación = Ocupación real • ¡Ojo! Seguimos sin colocar el origen (el “cero”) de la energía ATE-UOAp07

  9. Para colocar el “cero” de la energía hay que contestar a la pregunta: ¿Cuánto cuesta robarle un electrón a un metal? • Estudiamos lo que pasa a 0 K • Introducimos el concepto de “función de trabajo” Exterior del metal (el vacío) Éste es el cero de energías FM1 E E Estados posibles del Metal 1 FM2 Estados posibles del Metal 2 EF2 Electrones EF1 Electrones EF2: nivel de Fermi FM2: Función de trabajo EF1: nivel de Fermi FM1: Función de trabajo ATE-UOAp08

  10. ¿Qué pasa si estamos a temperatura ambiente? Vacío E E FM1 Estados posibles Estados posibles FM1 EF1 EF1 Electrones Electrones A 300 K A 0 K ATE-UOAp09

  11. ¿Y si calentamos más? Emisióntermoiónica A 3000 K A 300 K Vacío FM1 EF1 Válvulas termoiónicas (electrónica “pre-transistor”) Magnetrón (horno de microondas) Tubo de rayos catódicos (televisiones “no planas”) ATE-UOAp10

  12. E f(E) 0,5 1 0 Diagrama de bandas de un semiconductor intrínseco (I) Vacío Parece lo mismo, pero no lo es E FS E Estados posibles A 0 K A 300 K Ec EF Ev Estados posibles f(E) ¡Nivel de Fermi en la banda prohibida! 0,5 1 0 ATE-UOAp11

  13. Diagrama de bandas de un semiconductor intrínseco (II) Cambiamos la escala horizontal para ver qué ha pasado Vacío E Electrones de conducción Estados posibles Estados posibles para electrones Estados posibles para electrones Ec FS EF Ev Estados posibles Estados posibles para huecos Electrones de valencia Electr. de valencia Huecos ATE-UOAp12

  14. Diagrama de bandas de un semiconductor intrínseco (III) Posición del Nivel de Fermi en la banda prohibida E E Estados posibles A 300 K Estados posibles para electrones Ec Electrones EF Ev Huecos Estados posibles Estados posibles para huecos f(E) • Es tal que la cantidad de electrones y de huecos coinciden • No está exactamente en el medio por no ser las distribuciones de estados posibles iguales 0,5 1 0 ATE-UOAp13

  15. Diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco N E E A 300 K A 300 K Estados posibles para electrones Estados posibles para electrones EFi EF EFi Estados posibles para huecos Estados posibles para huecos • El Nivel de Fermi EF está por encima del intrínseco EFi para que haya más electrones que huecos f(E) f(E) Extrínseco N Intrínseco 0,5 0,5 1 1 0 0 ATE-UOAp14

  16. Diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco P E E Estados posibles para electrones Estados posibles para electrones A 300 K A 300 K EFi EFi EF Estados posibles para huecos Estados posibles para huecos • El Nivel de Fermi EF está por debajo del intrínseco EFi para que haya más huecos que electrones f(E) f(E) Extrínseco P Intrínseco 0,5 0,5 1 1 0 0 ATE-UO Ap15

  17.  ·jp/q p/t = GL- [p(t)-p]/p -   ·jn/q + n/t = GL- [n(t)-n]/n Apéndice 2: Ejemplos de uso de la Ecuación de continuidad Ecuación de continuidad para los huecos: Ecuación de continuidad para los electrones: ATE-UO Ap16

  18. Caso de especial interés en la aplicación de la ecuación de continuidad • Admitiendo: • 1 dimensión (solo x) • estudio de minoritarios (huecos en zona N y electrones en zona P) • campo eléctrico despreciable (E=0) • bajo nivel de inyección (la concentración de minoritarios, aumentados por la inyección que se ha producido, es mucho menor que la de mayoritarios antes de la inyección) d(jp zonaN )/dx= -q·Dp·2p/x2 Queda: d(jn zonaP )/dx= q·Dn·2n/x2 pN’/t = GL-pN’/p+Dp·2pN’/x2 nP’/t = GL-nP’/n+Dn·2nP’/x2 ATE-UO Ap17

  19. N xN x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Inyección continua de minoritarios por una sección (régimen permanente) (I) Hay que resolver la ecuación de continuidad en este caso: 0 = -pN’/p+Dp·2pN’/x2 La solución es: pN’(x) = C1·e-x/Lp + C2·ex/Lp dondeLp=(Dp· p)1/2 (Longitud de Difusión de huecos) ATE-UO Ap18

  20. Inyección continua de minoritarios por una sección (régimen permanente) (II) Si XN >> Lp ,entonces: C2 = 0 C1 = pN(0)-pN() = pN0-pN=p’N0 Por tanto: pN(x) = pN+pN0-pN)·e-xLp A esta conclusión también se llega integrando: -dpN’(X)/dx = K2·pN’(x) y teniendo en cuenta que: Lp= 1/K2 , pN()= pN sin inyección (véase la transparencia ATE-UO Sem 41) ATE-UO Ap19

  21. senh ((XN-x)/LP) pN(x) = pN+(pN0- pN)· senh (XN/LP) XN + + + + + + + + + + p0 p(x) p x xN Inyección continua de minoritarios por una sección (régimen permanente) (III) • Si no se cumple XN >> Lp (unión “ no larga”), entonces: (éste es el caso más general) • Si XN << Lp (“unión corta”) entonces: • senh (a)» ay, por tanto: • pN(x) = pN+(pN0- pN)·(xN-x)/xN En este caso, el exceso de concentración varía linealmente ATE-UO Ap20

  22. Apéndice 3: Obtención de la ecuación tensión-corriente de una unión PN polarizada William Bradford Shockley, Premio Nobel de Física en 1956 ATE-UOAp21

  23. Cálculo de la corriente en función de la tensión (I) 1- Se calcula el salto de concentraciónde cada tipo de portador de un extremo al otro de la zona de transición. 2- Se calcula el exceso de minoritariosen los bordes externos de la zona de transición. 3- Se calcula la distribuciónexponencial de los minoritariosal lo largo de las zonas neutras. 4- Se calcula el gradientede dicha concentración justo en los bordes de la zona de transición. 5- Se calculan lascorrientes de minoritariosen los bordes de la zona de transición (corriente de huecos en el borde de la zona N y de electrones en el borde de la zona P). 6- La sumade las dos corrientes anteriores es la corriente total. ATE-UOAp22

  24. 1016 pP pNV(x) 1014 Portad./cm3 pN() 1012 pNV(0) 1010 -3 3 -2 2 -1 0 1 Longitud [mm] Cálculo de la corriente en función de la tensión (II) 1- Se calcula el salto de concentraciónde cada tipo de portador de un extremo al otro de la zona de transición. Este salto depende de VO-V 2- Se calcula el exceso de minoritariosen los bordes externos de la zona de transición. Este exceso depende de V ATE-UOAp23

  25. 1016 pP pNV(x) 1014 a Portad./cm3 pN() 1012 pNV(0) -3 3 -2 2 -1 0 1 1010 Longitud [mm] Cálculo de la corriente en función de la tensión (III) 3- Se calcula la distribuciónexponencial de los minoritariosal lo largo de las zonas neutras. 4- Se calcula el gradientede dicha concentración justo en los bordes de la zona de transición (tga). ATE-UOAp24

  26. 80 jtotal= jnP(0) + jpN(0) 60 jnP(0) Densidad de corriente [mA/cm2] jpN(0) 0+ 0- -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 jnP jpN 40 Longitud [mm] 20 0 Cálculo de la corriente en función de la tensión (IV) 5- Se calculan lascorrientes de minoritariosen los bordes de la zona de transición (corriente de huecos en el borde de la zona N y de electrones en el borde de la zona P). 6- La sumade las dos corrientes anteriores es la corriente total. ATE-UOAp25

  27. pP pNV(0) pNV(x) -(pNV() - pN())·e-x/L p pN() (5) pNV(x)=  Lp -(pNV() - pN()) pNV(x)= [ ]0  (6) Lp Cálculo de la corriente en función de la tensión (V) 1- Salto de concentraciones V0 = VT·ln(pP/pN()) (1) V0-V = VT·ln(pP/pNV()) (2) 2- Exceso de minoritarios en el borde V= VT·ln(pNV() /pN()) (3) 3- Distribución de los minoritarios pNV(x) = pN()+(pNV() -pN())·e-x/LP (4) 4- Gradiente en el borde de la Z. T. ATE-UOAp26

  28. (7) (8) (pNV() -pN()) jpN(0)=q·Dp· Lp (nPV() -nP()) jnP(0)=q·Dn· Ln Cálculo de la corriente en función de la tensión (VI) 5- Corrientes de minoritarios 6-Corriente total(A es la sección) i=A·jTotal=A·(jpN(0)+ jnP(0)) (9) Usando la ecuación (3)para huecos y para electrones, queda: pNV() -pN() = pN()·(eV/VT -1) (10) nPV() -nP() = nP()·(eV/VT -1) (11) ATE-UOAp27

  29. Cálculo de la corriente en función de la tensión (VII) Sustituyendo(10)y(11)en(7)y(8)y éstas en (9),queda: i = A·q·(Dp·pN()/Lp+Dn·nP()/Ln)·(eV/VT-1) (12) y comopN()=ni2/NDynP()=ni2/NA , queda: i = A·q·ni2·(Dp/(ND·Lp) + Dn/(NA·Ln))·(eV/VT-1) (13) Esta ecuación se puede escribir como: i=IS·(eV/VT-1) donde: IS = A·q·ni2·(Dp/(ND·Lp)+Dn/(NA·Ln)) Muy, muy importante ATE-UOAp28

  30. Apéndice 4: Resolución de circuitos con diodos Gustav Kirchhoff Léon Charles Thévenin ATE-UOAp29

  31. Recordatorio del Teorema de Thévenin iABS Circuito lineal Circuito lineal + + vABO vABO ZO - - A A A V = vABO + = V ZO = vABO/iABS - B B B Equivalente Thévenin ATE-UO Ap30

  32. Resolución de circuitos con diodos. Caso 1º: Un diodo ideal en un circuito en el que el resto de los componentes son lineales A iAB ideal + Circuito de partida Circuito lineal Circuito lineal vAB B - Solución Circuito no lineal A + ideal vABO ZO + v = - - - B Equivalente Thévenin ATE-UO Ap31 Si vABO > 0 Þ diodo directamente polarizado Þ vAB=0, iAB>0 (¹ 0) Si vABO < 0 Þ diodo inversamente polarizado Þ iAB=0, vAB=vABO (¹ 0)

  33. Resolución de circuitos con diodos. Caso 2º: Un diodo real (modelo asintótico) en un circuito en el que el resto de los componentes son lineales A A A + + + iAB iAB real real vAB vABO vAB Circuito lineal Circuito lineal Circuito lineal - - - B B B ideal rd V ATE-UO Ap32 Si vABO > VgÞ diodo directamente polarizado Þ vAB=Vg+ rd·iAB Si vABO < VgÞ diodo inversamente polarizado Þ iAB=0, vAB=vABO

  34. Resolución de circuitos con diodos. Caso 3º: Un diodo real (modelo exponencial) en un circuito en el que el resto de los componentes son lineales A + iAB real vAB Circuito lineal - B ATE-UO Ap33 El circuito impone la condición vAB = F(iAB) El diodo impone la condición iAB = IS·(eVAB/VT-1) Hay que resolver este sistema, que no tiene solución explícita

  35. Resolución de circuitos con diodos. Caso 4º: Varios diodos ideales ideal A D1 Circuito lineal B Circuito no lineal ATE-UO Ap34 Al ser no lineal el circuito que queda al eliminar el diodo D1, no pueden aplicarse los métodos anteriores Método a seguir: Establecer una primera hipótesis sobre el estado de conducción de cada diodo. A continuación resolver el circuito y verificar si se llega a alguna situación incompatible con la idealidad de los diodos. En caso afirmativo, repetir el proceso hasta que se llegue a una hipótesis compatible con la idealidad de los diodos

  36. Resolución de circuitos con diodos. Caso 5º: Varios diodos reales (modelo asintótico) real F E C A real Circuito lineal real D B V ideal Circuito no lineal ideal rd V rd rd Circuito lineal ideal V ATE-UO Ap35 Igual que el caso anterior

  37. Resolución gráfica de circuitos con un diodo, fuentes y resistencias iAB Circuito V, I, R vABO/RO A + iAB RO + = vAB - vABO vAB - - vABO 0 Eq. Thévenin B ATE-UO Ap36 • El circuito impone la condición: vAB = vABO - RO·iAB • (recta de carga) • El diodo impone la condición definida por su curva característica El punto de trabajo está definido por la intersección de la recta de carga y la curva característica

  38. Apéndice 5: Diagramas de bandas de uniones entre dos metales, entre dos semiconductores y entre metales y semiconductores Walter HermannSchottky ATE-UOAp37

  39. ¿Qué pasa si juntamos dos metales distintos (I)? Situación de partida antes de juntarlos a 0 K Metal 1 Metal 2 FM1 E FM2 E EF2 EF1 Estos electrones son “más energéticos” ATE-UOAp38

  40. ¿Qué pasa si juntamos dos metales distintos (II)? Los acabamos de juntar y estamos a 0 K Metal 1 Metal 2 FM1 FM2 E E EF2 EF1 Va a haber cesión de electrones del metal de menor función de trabajo al de mayor función de trabajo ATE-UOAp39

  41. Uniones metal-metal (I) El metal 2 queda cargado positivamente frente al metal 1 al ceder electrones + Metal 1 Metal 2 + + - + - + - Aquí los electrones pierden energía (tensión positiva x carga negativa = energía negativa) V0 - - V0 = (FM1– FM2)/q FM2 E FM1 – FM2 EF2 E FM1 EF1 Este diagrama de bandas baja hasta que los niveles de Fermi se igualan ATE-UOAp40

  42. Uniones metal-metal (II) A temperatura ambiente Metal 2 + Metal 1 + + - - + + - V0 - - V0 = (FM1– FM2)/q Vacío FM1 – FM2 FM1 E FM2 E EF2 EF1 Niveles de Fermi igualados ATE-UOAp41

  43. Uniones entre semiconductores (I) Definimos la afinidad electrónica de un semiconductor CS: energía para extraer un electrón del borde inferior de la banda de conducción Vacío Electrones CS FS Ec Huecos EF Ev ATE-UOAp42

  44. Uniones entre semiconductores (II) Casos: - Uniones entre dos tipos de semiconductores del mismo material: Homouniones - Uniones entre dos tipos de semiconductores de distinto material: Heterouniones Sem 2tipo N o P Sem1tipo P Sem1tipo N o P Sem1tipo N Heterounión Homounión - Homouniones: ambas partes tienen igual afinidad electrónica CS e igual ancho de banda prohibida EC-EV - Heterouniones: ambas partes tienen diferente afinidad electrónica CS y diferente ancho de banda prohibida EC-EV - Tanto en heterouniones como en homouniones, las funciones de trabajo FS de ambas partes son distintas ATE-UOAp43

  45. Diagramas de bandas de las dos partes de una homouniónPN antes de unirse Zona N Zona N Zona P Zona P Vacío CS FSP n FSN n Ec EFP EFN - Idénticos valores de CS y EC-EV Ev p p - Distintos valores de FS ATE-UOAp44

  46. Diagramas de bandas de las dos partes de una heterounión NP antes de unirse (ejemplo) Sem2 P Sem1 N Vacío - Distintos valores de CS, EC-EV yFS CS1 FS1N FS2P n CS2 EC1 n EF1N EC2 EF2P EV2 EV1 p p ATE-UOAp45

  47. Diagrama de bandas de una homounión (I) V0 = (FSP– FSN)/q - + Zona N V0 Zona P y también V0 = (EFN– EFP)/q n n EFP EFN p Se igualan los niveles de Fermi p Zona N Doblado de bandas Zona P ATE-UOAp46

  48. Diagrama de bandas de una homounión (II) - + Zona N V0 Zona P E Z. trans. Zona N neutra Zona P neutra Estados posibles para los electrones (estados vacíos) nP nN Ec Ec EF Ev Ev pP pN Estados posibles para los huecos (electrones de valencia) Cantidad de portadores y longitud ATE-UOAp47

  49. Diagrama de bandas de una homounión (III) Z. trans. E Zona N neutra Zona P neutra Originan corriente de campo de electrones Originan corriente de difusión de electrones Estados posibles para los electrones nP Ec nN Ec EF pP Ev Originan corriente de difusión de huecos Ev Originan corriente de campo de huecos pN • Las corrientes de huecos de difusión y campo se equilibran • Las corrientes de electrones de difusión y campo se equilibran • La corriente total es cero Estados posibles para los huecos Cantidad de portadores y longitud ATE-UOAp48

  50. Ejemplo de diagrama de bandas de una heterounión Se igualan los niveles de Fermi - + Sem2 P Sem1 N n n EF1N EF2P p p ATE-UOAp49

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