Le proiezioni e la prospettiva

1. Le proiezioni e la prospettiva Daniele Marini

2. Proiezioni piane Albrecht Dürer: la prospettiva da un punto di proiezione, la griglia come guida

3. La prospettiva Rinascimentale • Piero della Francesca e la costruzione geometrica della prospettiva piana. • Sistematizzata anche da Leon Battista Alberti: La costruzione legittima

4. Hans Holbein: Gli Ambasciatori • non ci sono solo le proiezioni piane, questo e’ un esempio di proiezione obliqua anamorfica • proiezioni cartografiche (la sfera sul piano): • proiezione di piani su superfici parametriche (il texturing)

5. Schemi costruttivi

6. Classificazione delle proiezioni piane

7. prospettica parallela

8. Esempi di proiezioni sul piano

9. Proiezioni ortogonali

10. Proiezioni assonometriche

11. Proiezioni oblique Al variare dell’angolo tra proiettori e piano si hanno: 63,5° CABINET 30° o 45° CAVALIERA

12. Proiezioni prospettiche a 3 punti di fuga a 2 punti di fuga a 1 punto di fuga - prospettiva centrale prospettive accidentali

13. Frames • Il frame è un contesto di: • sistema di riferimento • e trasformazioni geometriche associate • Usualmente si distinguono due frame principali: • World frame, nel quale si descrivono e rappresentano gli oggetti modellati • Camera frame, nel quale si definisce il sistema di riferimento necessario alla creazione della proiezione

14. Camera frame • Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano la metafora della macchina fotografica: la formazione dell’immagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia • L’obiettivo non è modellato (foro stenopeico) • Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso: • Origine al centro del fotogramma • X crescente a destra • Y crescente in verticale • Z entrante o uscente dalla macchina fotografica

16. Prospettiva canonica • Camera frame orientato come il world frame • Asse ottico coincidente con asse z, entrante nell’obiettivo • Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali

17. La prospettiva risolta analiticamente y P(x,y,z) P(xv,yv) z x Piano di proiezione

18. y P(x,y,z) yv z d Piano di proiezione y/yv = z/d da cui: yv = y/(z/d) x/xv = z/d da cui: xv = x/(z/d)

19. I parametri di controllo • PRP Projection Reference Point (si chiama anche centro di proiezione COP) • View Plane • VPN View Plane Normal • VUP View UP • DOP Direction of Projection (parallela) • VRP View Reference Point • CW center of the window

20. Orientare il piano di proiezione

21. Definire la viewport e la window

22. Definire il centro di proiezione

23. Camera model • Con questi parametri si può modellare il comportamento di una macchina fotografica professionale con obiettivo e piano della pellicola basculanti

24. Se la proiezione è parallela

25. Proiezioni e matrici • Per risolvere con matrici le proiezioni ambientiamo sempre il problema nello spazio di coordinate omogenee 4D • La configurazione chiamata canonica prevede: • piano di proiezione sul piano xy • centro di proiezione sull’asse z positivo

26. Trasformazioni normalizzate • Dati VPN, VUP si ottiene la view orientation matrix V • La forma della V è ottenuta componendo: • V=TR con T traslazione nel VRP, • R rotazione opportuna per orientare la view rispetto alla configurazione canonica

27. Matrice canonica di proiezione parallela ortogonale

28. Matrice canonica di trasformazione prospettica

29. Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D costruz. matrice trasformaz. divisione

30. y P(x,y,z) yv z d Piano di proiezione y/yv = z/d da cui: yv = y/(z/d) x/xv = z/d da cui: xv = x/(z/d)

31. Proiezione parallela generica • Ricondursi alla configurazione canonica: normalizzazione • Convertire il volume di vista in una configurazione standard Proiettare il volume deformato • Il volume canonico di vista (canonical view volume) per la proiezione parallela è normalizzato in -1,+1 usando una trasformazione di scala • Il volume canonico definisce lo spazio entro il quale si trovano gli oggetti da trasformare e proiettare • Traslare per portare la DOP sull’asse z

32. traslazione al centro del view volume scalatura

33. Trasla origine del view volume nell’origine del view volume canonico • Riscala il view volume • P è la matrice di proiezione • si introducon piani frontali e di sfondo per il clipping 3D: • zmax = far • zmin = near

34. Proiezioni parallele oblique Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione ,  y DOP x z

35. Proiezioni parallele oblique • portare la direzione di proiezione parallela a z, con trasformazione di shear relativa agli angoli ,  • rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra) • proiettare con la matrice ortografica

36. Matrice per la proiezione obliqua parallela si introduce una trasformazione di shear:

37. Altri schemi • Lo schema illustrato permette di predisporre le matrici per librerie grafiche come OGL • OGL offre un altro approccio: lookAt • Nei simulatori di volo si adotta lo schema “roll, pitch, yaw”

38. Angolo di visione e frustum

39. LookAt • E’ un metodo più diretto e più naturale: • la camera è localizzata in un punto e (eyepoint - o punto di vista) specificato nel world frame • La camera è orientata nella direzione individuata dal vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato) specificato sempre nel world frame • I punti e ed a individuano il VRP e la VPN

41. Camera Model

42. Roll (rot. z), Pitch (rot. x), Yaw (rot. y)