Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA’ 1 AA 2013-2014

1. Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA’ 1AA 2013-2014 LEZIONE 8f

2. AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE CORRELAZIONE relazione di concordanzanellavariabilità r Pearson <0 relazionenegativa >0 relazionepositiva relazionedebole relazione forte AUTO siriferisceaivalori di unastessavariabile SPAZIALE implica un ordinamento • Misura del grado di concordanzadellavariabilitàtravalori “vicini” di unastessavariabileosservatasuunitàterritoriali

3. Semi-varianza Descrive la variabilità di unavariabileosservatasu un determinatoinsieme di datispaziali z(x)=valoredellav.bile z in un dato “luogo” x z(x+h) = valoredellav.bile z in un “luogo” chedista h da x n(h) = numero di coppie di valori la cui distanzaè h ORDINAMENTO Nella forma piùsemplice: 0 = non contigue; 1 = contigue

4. CONTIGUITA’ Se sitratta di punti Unapossibilestrategia: poligoni di Thiessen metodo che ad ogni dato puntuale associa un’area: lo spazio all’interno di quell’area assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a quello di qualsiasi altro punto Triangoli di Delaunay (vicinopiùvicino) Retteperpendicolaricostruite sui baricentri Puntid’incontro = verticideipoligoni W

5. la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato • attraverso la forma e la dimensione delle unità • vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio • esistenza di altrielementi di contatto In generale, wij > 0 esprimono l’intensità con cui la circostanza della contiguità agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j Operativamente, wij > 0 indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune ecc.

6. Nella forma piùsemplice wij = 0,1 Il valore 1 indicache le areesonocontigue, cioè ad esempiosonoadiacenti Il modelloteorico Nelmondoreale la contiguitàèconnessione. Ad esempio, SI TRATTA SOLO DI IPOTESI

7. MISURA DELL’AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della variabile; l’assenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione casuale dei valori nello spazio. ESEMPIO: Variabilecaratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R) Contiguitàpossibili: UU p(UU)=1/4 UR p(UR)=1/4 RU p(RU)=1/4 RR p(RR)=1/4 Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVA Se f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA

8. Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono: • una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e • una matrice che rappresenti la configurazione del territorio considerato (Wij). Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una statistica cross-product. MATRICE DI CONTIGUITA’ (connessione, ponderazionespaziale) MATRICE DI DISTANZA

9. Esempio: Wij

10. (cella x cella)

11. G Il calcolo di G per l’osservazione (G =2) rientra nella distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la frequenza con cui compare è uguale a quella degli altri valori

12. G* Il calcolo di G per l’osservazione (G=3) ha una bassa probabilità di essere attribuita al caso

13. ESEMPIO

14. In generale non siconosce la forma delladistribuzione di G. Essadipendedallafunzione di distanzautilizzata. Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità geografiche sulle quali viene misurata l’autocorrelazione spaziale risulti abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST Per la statistica cross product la media: con: La somma di tuttiglielementidellamatrice di contiguità La somma di tuttiglielementidellamatrice di distanze

15. ….e la varianza: con:

16. 48=S0 ESEMPIO: Wij

17. Cij =G0

18. Trattandosi di valori 0,1 Poiché la matrice è simmetrica

19. Pertanto: Wij*Cij

20. Applichiamo il test sulla Normale a due code: l’ipotesi nulla H0=non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo casuale. Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96, il valore osservato è nella zona di rifiuto. La variabileèaffetta da autocorrelazionespaziale; Osservando I dati, direipositiva.

21. STATISTICA JOIN-COUNT Per variabilimisuratesuscalanominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO n1 = B n2 = W BB+WW+BW(WB)=J ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE) Numerocomplessivopossibilicoppie =n2 numeroatteso di coppie di questotipo

22. ESTRAZIONI NON INDIPENDENTI Numerocomplessivo di possibilicoppie

23. Ipotesi di Normalità In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW. La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli attesi.

24. Contailnumero di legami BB=G*/2 (definizione del modello rook) Contailnumero di legami WW=G*/2 Contailnumero di legami BW = G/2

25. E’ possibileapplicareil test z

26. Si desidera verificare l’esistenza di autocorrelazione spaziale nei dati; si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di legami “discordi. Se la frequenza osservata di legami “discordi” è superiore a quella attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di autocorrelazione spaziale negativa. ESEMPIO pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2. E(BW)=2*(2*2)/4=2 Il numero dei legami “discordi” (B,W) osservati è uguale a quello atteso pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale

27. APPROCCIO GRAFICO URBANO =ROSSO RURALE=GIALLO NODI LEGAMI 0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUO GIALLO = RURALE+RURALE ROSSO=URBANO+URBANO BIANCO=DISCORDI Infatti, dalla matrice indicata, delle 14 celle in cui vi è connessione, si ricava: UU = 2 RR = 2 UR = 5 RU = 5 Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque l’autocorrelazione è negativa, cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.

28. INDICE DI MORAN Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di rapporto L’indice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0 (assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)

29. ESEMPIO Wij

30. WijCij

31. Significativitàstatisticadell’Indice di Moran Si dimostrachel’Indice di Moran ha unadistribuzioneNormale con

32. ESEMPIO: riprendendol’esempioprecedente significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia dovuto al caso). In altri termini rigetto l’ipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione spaziale.

33. ESEMPIO Il valore è significatico al 95%. Pertanto si deve rifiutare l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione spaziale positiva tra i valori della variabile X