National Professional Teacher Team

1. PISA數學素養評量 教育部中央課程與教學輔導諮詢教師 數學學習領域 林壽福 台北市數學科輔導團員 興雅國中教師 內容資料引自林福來、林素微教授檔案 National Professional Teacher Team

2. 背景 以數學素養(Mathematical Literacy)為核心的評量成績退步

3. 歷次 PISA 數學調查結果 3

4. 進入主題 先來素養一下

5. 百分比 Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅。店員先將夾克的定價加5%的稅後再打八折。Carl認為不應該如此。他要店員先打八折，然後再算5%的稅。 請問這兩種做法有何差異？

6. 現實問題的體驗：打折與加稅 • 消費者購買東西時 • 先打折，再加稅 • 先加稅，再打折 • 消費者付的錢一樣（數學結果相同） • 對商家呢？ • 對政府稅捐機關呢？

7. 現實問題的體驗：聯合壟斷─1 • 某島國只有兩家石油公司，分別是台大石油公司與中華石油公司，假設這兩家石油公司不暗中勾結聯合壟斷，而各行其市，則台大石油每年可賺 2 千億，中華石油可賺 1 千億。假設台大石油跟中華石油暗中勾結聯合壟斷，哄抬油價，每年可共同獲利 7 千億。問：若兩家石油公司暗中勾結，如何「公平的」瓜分這 7 千億？ • (題目來源：作者整合Nash, J.F.1951與 Shapley L.S.兩篇文章後杜撰本題情境，若與真實世界雷同，純屬巧合。)

8. 現實問題的體驗：聯合壟斷─2 • 答案 1：「均分」最「公平」。兩家公司各得 7/2 千億。 • 答案 2：台大石油的「獲利能力」是中華石油的 2 倍，按照獲利能力分配才「公平」，所以台大石油應得 14/3 千億，中華石油應得 7/3 千億。 • 答案 3：兩家石油公司勾結壟斷之後「共同多出來的盈餘」(邊際貢獻)是 7—2—1＝4千億，所以兩家均分這多得的 4千億才公平。因此台大石油得到 4千億 中華石油得到 3千億

9. 現實問題的體驗：聯合壟斷─3 • 答案 4：在相對於數學模型外部的真實世界，兩家石油公司可採「共識」分錢（目前美國的公共花費問題，例如水費、電費、電話費、高速公路過路費，大都採用此方法。 • 答案 5：兩家公司也可採「談判解決的模式」（談判結局必須滿足下列條件才不算輸，同樣是在數學模型內與數學模型外的真實世界建模）。

10. 現實問題的體驗：聯合壟斷─4 • 數學正確不代表就是真的可以解決現實生活上的問題！

11. 什麼是數學素養？了解與見解 • 了解：對一件事情的明白。 • 見解：經批判、反思後進一步提出個人的看法。 • 不是知道多少數學，而是能夠拿知道的數學處理資訊

12. 什麼是數學素養？OECD派 • PISA定義的數學素養： • 個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問題、使用數學及詮釋數學的能力。這素養包括了數學推理及使用應用數學概念、程序、事實、工具來解釋、描述及預測現象。 • 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色，能夠進行有根據的評斷，並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動，以成為一個有積極的、關懷的、以及反思的國民。

13. 什麼是數學素養？美國派 • NRC定義的數學素養 • 概念的瞭解 (Conceptual understanding) • 程序的流暢 (Procedural fluency) • 策略的運用 (Strategic competence) • 適當的推理 (Adaptive reasoning) • 建設性的意向 (Productive disposition)

14. 數學素養的評量─以PISA為例 • PISA數學素養評量的目的 • 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準。 • 提供政策制定者、教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息。

15. PISA 評量的特色 • PISA評量 • 年輕人在未來參與社會時，是否具備所需的基礎知識和技能? • 面對真實生活問題挑戰的能力 ? • 學生能在真實情境中應用習得的知能之程度。PISA 稱之為『素養』 學以致用 平時考 段考 • 評量對象： 十五歲學生 成就評量 評量學校課程的精熟度 完成義務教育 15

16. PISA 評量的內容 2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量 2000 - 閱讀 2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學、問題解決 2003 - 數學 （問題解決） 2015 – 科學 預計 全面電腦化 2006 - 科學 臺灣第一次參加 PISA評量自2000年開始，每三年調查一次。 PISA評量包括：閱讀素養、數學素養和科學素養。 每次以一個領域為主進行深度的調查，另二個領域為輔。 16

17. PISA評量數學素養的三維度架構 • 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) • 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) • 情境與脈絡 (Contexts)

18. 數學內容知識 (Mathematical content Knowledge) • 變化和關係(Change and relationships) • 空間和形(Space and shape) • 量(Quantity) • 不確定性（Uncertainty） 從學生面對的數學物件關係來思考 涵蓋的數學內容包括 • 方程式、代數、坐標系、平面及立體幾何、測量、數與單位、比與比例、估測、資料收集和整理、取樣及樣本空間、機率…

19. PISA評量數學素養的三維度架構 • 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) • 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) • 情境與脈絡 (Contexts)

20. 情境問題解決的三步驟 • 將情境問題轉化成數學問題(Formulating situations mathematically) • 使用數學概念、事實、步驟、和推理 (Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning) • 詮釋、應用及評鑑數學結果 (Interpreting, applying, and evaluating mathematical outcomes)

21. PISA評量數學素養的三維度架構 • 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) • 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) • 情境與脈絡 (Contexts)

22. 情境問題解決內蘊的數學力 • 情境與數學間的溝通 (Communication) • 問題數學化 (Mathematising) • 使用及轉換表徵 (Representation) • 推理和論述 (Reasoning and argument) • 發展策略 (Devising strategies) • 使用符號、形式及術語與運算 (Using symbolic, formal, and technical language and operations) • 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)

23. 1.情境與數學間的溝通 • 溝通：主要強調對情境脈絡的理解 • 辨識出脈絡裡存在的問題及挑戰。 • 理解的歷程包含閱讀、解碼、理解各種呈現方式的資訊（如敘述、圖表、影像、及動畫） • 用來形成一個關於情境脈絡問題的心智模式。 • 進一步形成數學問題

24. 2.問題數學化 • 問題數學化：主要將真實情境脈絡的問題轉化成一個數學形式。 • 將情境結構化或概念化 • 找出重要的變因 • 澄清與定義情境中的假設、變數、關係、和限制。 • 給出數學模式

25. 3.使用及轉換表徵 • 使用及轉換表徵：用數學表徵呈現真實情境脈絡。 • 包含方程式、圖表、圖形、文字敘述、具體物，及各種表徵之間的轉化。

26. 4.推理和論述 • 推理和論述：主要應用邏輯思考能力判斷以某種數學表徵呈現情境脈絡的合理性。 • 包含解釋、辯駁或檢證所形成的數學表徵。

27. 5.發展策略 • 發展策略：發展及決定解決問題的策略。 • 辨別或發展或給出數學形式的答案

28. 6.使用符號、形式及術語與運算 • 使用符號、形式、術語與運算：主要將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用辨識、符號、圖表、模型。並同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間的關係。

29. 7.使用數學輔助工具 • 在特定情況之下，具備使用數學工具（如測量工具、繪圖工具、Excel報表等）來辨識情境脈絡裡的數學結構或者描繪出數學關係。

30. PISA評量數學素養的三維度架構 • 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) • 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) • 情境與脈絡 (Contexts)

31. 情境與脈絡：四面向 • 試題的情境脈絡應該是學生世界中的一部分，且情境脈絡應該包羅萬象。 • 學生個人生活的 (Personal) • 教育/職業的 (Occupational) • 社會性的 (Societal) • 科學性的 (Scientific) PISA的思考是：15歲小孩的世界

32. 數學素養評量 內容領域 改變與關係：函數、代數、方程式 空間與形狀：座標系統、幾何測量 數量：數與單位、四則計算、百分比 不確定性：抽樣、機率、資料變異性 情境脈絡 個人：購物、飲食 職業：試算表使用 社會：選舉、經濟 科學：醫學、天氣 溝通 建模 策略發展 符號的使用與運算 工具使用 表徵 推論 • 在不同情境脈絡中，辨識、做及運用數學的能力。 • 藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演角色的能力。 32

33. 數學素養的展現（PISA) 真實世界 數學世界 形成模式 情境脈絡裡的問題 數學問題 確認答案 使用數學 詮釋答案 情境脈絡裡的答案 數學解答 情境與數學間的溝通 問題數學化 使用及轉換表徵 推理及論述 發展策略 使用符號、形式及術語與運算 使用數學輔助工具 數學力

35. 尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋：線條）尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋：線條）

36. 校園景物取境 判斷校園造型之空間圖形，是否可以一筆畫完成：

39. 督學巡堂問題（類中國郵差問題） 請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度？（每間教室長約8.5公尺）

40. 校門口 督學巡堂圖

41. 為校長設計巡堂圖 請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？請你幫校長設計一條巡堂的最短路徑圖，並請算出最短的路徑長度大約需多少間教室的長度？路徑參考圖如下，圖中的數字單位是一間教室的長度（約8.5公尺）。

42. 校長巡堂圖

43. 數學素養評量雙向細目表（一）

44. 數學素養評量雙向細目表(二）

45. 試題設計的要項 • 試題(如樣本試題) 題目(組)名稱 各問題共用之脈絡情境（圖、文） 問題X 及其脈絡情境（圖、文）與提問 問題X的計分說明 • 試題內容的說明 題旨、數學內容、情境脈絡、解題步驟、數學力 問題與選項設計、試題來源、命題者資訊

46. 素養水準的描述 數學素養 ─ 水準六 (669分以上) …在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理，他們能藉由符號、數學運算、關係的洞察和理解，也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略。… 46

47. 臺灣參與 PISA 的效益 • 提供跨國間教育政策與學生表現的比較 • 了解臺灣教育成效的趨勢 • 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊 • 學校與學生方面： • 提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識 • 了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項 47

48. 模擬練習 要練習哦~ • PISA 模擬試卷下載網址：http://pisa.nutn.edu.tw ／最新消息／ PISA模擬試卷下載 • PISA 電腦化樣本試題範例網址：http://pisa.nutn.edu.tw/sample_era_tw.htm • 國立臺灣師範大學 林福來教授 主編《臺灣2011數學素養評量樣本試題（上、下）》 • 國立彰化師範大學 張惠博校長&林陳涌教授 主編 《科學素養評量》 48

49. 一.PISA對於數學素養之定義 每個國家的國民都會碰到無數的有關數量、空間、機率或者其他數學概念的相關課題。例如，媒體（報紙、雜誌、電視、以及網際網路）都充滿了統計圖表或者圖示的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運動。 現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、人口成長、浮油與海洋、或者逐漸削減的農村議題的相關資訊。最後但同樣重要的是，國民都必須閱讀各種表格，解讀公車以及火車的時刻表、成功的處理包含金錢的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等。

50. 二.PISA數學素養的理論基礎 數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality)，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。