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第 9 章 統計力學 Statistical Mechanics

McGraw-Hill Education. 第 9 章 統計力學 Statistical Mechanics. 內容單元. 9.7 愛因斯坦法 9.8 固體的比熱 9.9 金屬中的自由電子 9.10 電子能量分布 9.11 瀕死之星. 9.1 統計分布 9.2 馬克斯威爾－波茲曼統計 9.3 理想氣體中的分子能量 9.4 量子統計學 9.5 瑞利－瓊斯公式 9.6 普朗克輻射定律 . 9.1 統計分布 Statistical Distributions. 三種分布 能量 的粒子數目. (9.1).

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第 9 章 統計力學 Statistical Mechanics

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Presentation Transcript

  1. McGraw-Hill Education 第9章 統計力學Statistical Mechanics

  2. 內容單元 • 9.7 愛因斯坦法 • 9.8 固體的比熱 • 9.9 金屬中的自由電子 • 9.10 電子能量分布 • 9.11 瀕死之星 • 9.1 統計分布 • 9.2 馬克斯威爾－波茲曼統計 • 9.3 理想氣體中的分子能量 • 9.4 量子統計學 • 9.5 瑞利－瓊斯公式 • 9.6 普朗克輻射定律

  3. 9.1 統計分布Statistical Distributions 三種分布 • 能量的粒子數目 (9.1)

  4. 9.2 馬克士威爾－波茲曼統計Maxwell-Boltzmann Statistics 像氣體分子之類的古典粒子所遵守的統計定律 • 馬克士威爾－波茲曼分布函數 • 馬克士威爾－波茲曼 (9.2) (9.3)

  5. 範例9.1 • 0°C、一大氣壓下時，一立方公分的氫約含有2.7×1025個原子，求出在0°C和10,000 0°C時，位於第一受激態的原子數量。 答

  6. 範例9.1(續)

  7. 範例9.2 • 求出雙原子分子剛體轉動態數目的公式。 答

  8. 9.3 理想氣體中的分子能量Molecular Energies in an Ideal Gas 其變動平均約為 • 動量狀態的數目 • 能量狀態的數目 • 正規化 (9.4) (9.5) (9.6) (9.7) (9.8) (9.9)

  9. (9.10) (9.11) (9.13) 9.3 理想氣體中的分子能量(續) Molecular Energies in an Ideal Gas • 分子能量分布 • 平均分子能量 • N個氣體分子的總能量 • 平均分子能量 (9.12)

  10. 9.3 理想氣體中的分子能量(續)Molecular Energies in an Ideal Gas • 分子速度分布 • 分子速度分布 • RMS速度 • 最可能速度 (9.14) (9.15) (9.16)

  11. 圖 9.1　動量空間的座標軸為px, py和pz，粒子動量在p和p+dp之間的動量狀態數目和半徑為p且厚度為dp的動量空間球殼體積成正比。

  12. 圖9.2理想氣體分子的馬克士威爾－波茲曼能量分布，平均分子能量為 。

  13. 圖9.3　馬克士威爾－波茲曼速度分布。

  14. 範例9.3 • 證明理想氣體分子的rms速度比其平均速度大9%。 答

  15. 圖9.473 K和273 K時氧分子的速度分布以及在273 K時氫分子的速度分布。

  16. 範例9.4 • 求出0°C下氧原子的rms速度。 答

  17. 9.4 量子統計學Quantum Statistics 波色子與費米子有不同的分布函數 • 波色子 • 費米子 • 可分辨粒子 (9.17) (9.18) (9.19) (9.20) (9.21) (9.22)

  18. 9.4 量子統計學Quantum Statistics(續) • 波色子 • 費米子 • 波色－愛因斯坦和費米－迪拉克分布函數 • 波色－愛因斯坦分布函數 (9.23) (9.24) (9.25) (9.26)

  19. 9.4 量子統計學Quantum Statistics(續) • 費米－迪拉克分布函數 • 費米能量 • 費米－迪拉克 (9.27) (9.28) (9.29)

  20. 圖9.5對相同的α而言，三種分布函數的比較。波色－愛因斯坦函數總是比純指數形式的馬克士威爾函數高，而費米－迪拉克函數總是比較低，這些函數決定了在絕對溫度T時，能量 的某個狀態被佔有的機率為何。

  21. 圖9.6三種不同溫度的費米子分布函數，(a) T=0時所有低於能量 的狀態都被佔滿；(b) 在低溫時，一些費米子會離開低於能量 的狀態而躍遷至高於能量 的狀態中；(c) 在較高溫度下，任何狀態的費米子都可以躍遷至比能量 高的狀態中。

  22. 表9.1三種統計分布函數。

  23. 9.5 瑞利－瓊斯公式Rayleigh-Jeans Formula 處理黑體輻射之古典方式 • 立方體共振腔中的駐波 (9.30) (9.31) (9.32)

  24. 9.5 瑞利－瓊斯公式(續) Rayleigh-Jeans Formula • 駐波數目 • 駐波數目 • 共振腔中的駐波密度 • 瑞利－瓊斯公式 (9.33) (9.34) (9.35) (9.36)

  25. 圖9.7在j空間中對應於可能駐波的每個點。

  26. 9.6 普朗克輻射定律 Planck Radiation Law • 光子氣的特性 • 普朗克輻射公式 • 光子分布函數 • 文氏位移定律 • 史蒂芬－波茲曼定律 (9.37) (9.38) (9.39) (9.40) (9.41)

  27. 範例9.5 • 在1000 K之熱平衡狀況下，1.00 cm3的輻射中有多少個光子？其平均能量為何？ 答 • (a) 每單位體積的光子總數量為 　其中n(ν)dν為頻率在ν和ν+dν之間單位體積的光子數量，因為光子能量為hν，故 　其中u(ν)dν為普朗克公式 (9.38) 所給予之能量密度，因此在體積V中之總光子數量為

  28. 範例9.5(續) 　如果我們假設hν/kT=x，則ν=kTx/h, dν=(kT/h)，故 　此定積分值為2.404。將其他實際數值代入，V=1.00×cm3 =1.00×10-6cm3 ，我們發現 (b) 光子的平均能量 等於每單位體積之總能量除以每單位體積的光子數量：

  29. 範例9.5(續) 　因為 （參閱本節後面對於史蒂芬－波茲曼所做的討論）且 　所以

  30. 圖9.8　溫室效應對於地球加熱來說是很重要的，大部分由太陽而來的短波長可見光到達地球表面之後，以較長波長的紅外光再被輻射出去，且很容易被大氣中的CO2和H2O所吸收，這意味著大氣主要是被底下的地球加熱而非上面的太陽。地球和大氣的輻射至太空的平均總能量等於它們從太陽吸收而來的總能量。

  31. 範例9.6 • 大爆炸所發出之輻射為都卜勒位移，由於宇宙的擴張會移往較長波長的方向，而今日的光譜對應到的黑體為2.7 K，找出此輻射能量密度最大時的波長，且此輻射位於光譜的哪個區域中？ 答 　從式 (9.40) 中，我們得到 　此波長位於微波區中（圖2.2），而宇宙微波輻射於1964年時首次被量測到。

  32. 範例9.7 • 當太陽直接照射時會以1.4kW/m2之功率密度到達地球，地球軌道的平均半徑為1.5×1011m，而太陽半徑為7.8×108m，假設太陽輻射近似黑體輻射，試從這些數據求出太陽表面的溫度。 答 我們先求出太陽所輻射的總功率P，以地球軌道re為半徑的球殼面積為　　，因為太陽輻射以P/A=1.4kW/m2之功率密度到達此球殼， 再來我們求出太陽的輻射速率R，如果 為太陽半徑，其表面積為　　，則 　黑體的輻射率為 ，所以從式 (9.41) 中，我們得到

  33. 9.7 愛因斯坦法Einstein’s Approach 引進受激放射 • 吸收光子的原子數量 • 放射光子的原子數量 (9.42) (9.43) (9.44) (9.45)

  34. 9.7 愛因斯坦法 Einstein’s Approach(續) (9.46) (9.47) (9.48) (9.49)

  35. 圖9.9　原子中能階Ei和Ej間的三種躍遷，在自發放射中，光子會以任意方向離開原子，而在受激放射中，光子會和入射光子同相地離開，且所有的光子方向相同。原子每秒產生躍遷的數量如圖所示，其中u(ν)為頻率之光子密度而Aji, Bij和Bji參數分別和原子能階特性有關。

  36. 9.8 固體的比熱 Specific Heats of Solids 古典物理再度失效 • 固體的古典內在能量 • 杜隆－佩堤定律 • 每個振盪子的平均能量 • 固體的總內能 • 愛因斯坦比熱公式 (9.50) (9.51) (9.52) (9.53) (9.54)

  37. 圖9.10　對不同元素而言，固定體積　的比熱和溫度的變化。圖9.10　對不同元素而言，固定體積　的比熱和溫度的變化。

  38. 9.9 金屬中的自由電子Free Electrons in a Metal 每個量子態不會超過一個電子 • 每個狀態的平均分布 • 電子態的數量 • 費米能量 (9.29) (9.33) (9.55) (9.56)

  39. 範例9.8 • 求出銅的費米能量，假設每個銅原子貢獻一個自由電子給電子氣（這是一個很合理的假設，因為從表7.4中，一個銅原子的封閉殼層外面具有一個4s電子），銅的密度為8.94×103 kg/m3，其原子質量為63.5 u。 答 銅中的電子密度N/V等於單位體積的銅原子數目，因為1 u=1.66×10-27 kg， 從式 (9.56) 中得知對應的費米能量為 在絕對零度T=0時，銅中的電子能量最高為7.04 eV（對應的速度為1.6×106 m/s ！），相反地，0 K時理想氣體中的所有分子能量為0，故金屬中的電子氣稱為簡併(degenerate)。

  40. 9.10 電子能量分布Electron-Energy Distribution 除了在極高和極低溫下，金屬電子不會影響比熱的原因 • 電子能量分布 • T=0時的平均電子能量 • 電子比熱 (9.57) (9.58) (9.59) (9.60)

  41. 圖9.11　在不同溫度下，金屬的電子能量分布。圖9.11　在不同溫度下，金屬的電子能量分布。

  42. 表9.2一些費米能量。

  43. 9.11 瀕死之星Dying Stars 當一個星球用盡燃料時會發生的事情 • 白矮星 或許銀河系中百分之十的星球為白矮星(white dwarf)，它們是位於星球演化末期的星球，其質量約比八個太陽小，在提供它們能量的核反應結束之後，此類星球將會變得不穩定，膨脹成紅巨星且最後會失去它的外層成份，剩下的核心會冷卻並且因為重力而收縮，直到原子塌陷為原子核與電子緊密地靠近時。 • 中子星 在遵循變成白矮星的演化路徑上，太重的星球——比太陽還重八倍——具有不同的命運，此星球的巨大質量使得星球燃料耗盡時，會產生塌陷，並且隨後會產生猛烈的爆炸，此爆炸會使得其成份向太空中擴散。這樣的現象我們稱之為超新星爆炸(supernova)，將會使得星球比原來還亮十億倍。 • 黑洞 一個質量比1.4Msun小的古老星球會變成白矮星而質量在1.4至3Msun之間則會變成中子星 。

  44. 圖9.12白矮星和中子星與太陽及地球的比較，白矮星和中子星其質量都被視為與太陽質量相似。圖9.12白矮星和中子星與太陽及地球的比較，白矮星和中子星其質量都被視為與太陽質量相似。

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