Statistique Descriptive C hapitre 2: Paramètres de tendance centrale

1. Statistique DescriptiveChapitre 2: Paramètres de tendance centrale Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM EST & FSE de Guelmim Maroc Tifawt.com

2. Les paramètres statistiques ont pour but de résumer, à partir de quelques nombres clés, l'essentiel de l'information relative à l'observation d'une variable quantitative. Tifawt.com

3. Principales grandeurs économiques du secteur industriel dérivé de la pêche Source: Etude des schémas régionaux d’aménagement du territoire des provinces du sud, 2010. Tifawt.com

4. On définira plusieurs sortes de paramètres : • Certains, comme la moyenne, seront dits de tendance centrale car ils représentent une valeur numérique autour de laquelle les observations sont réparties. • D'autres, par exemple, seront dits de dispersion car ils permettent de résumer le plus ou moins grand étalement des observations de part et d'autre de la tendance centrale. Tifawt.com

5. Statistiques descriptives à une variable : paramètres de position Objectifs de ce chapitre • Pouvoir résumer une série de données par un ou plusieurs paramètres représentatifs (moyenne, médiane…) Tifawt.com

6. Paramètres de tendance centrale Plan de la partie • Mode. • Médiane. • Moyennes. Voici les chapitres que nous allons aborder : Tifawt.com

7. Introduction • Les tableaux et graphiques contiennent la totalité des données : ils sont parfois durs à interpréter. • On va chercher à résumer les données par quelques valeurs numériques. • Dans cette partie, on s’intéresse aux paramètres de tendance centrale, i.e. aux paramètres mesurant le « centre » des séries statistiques. Tifawt.com

8. 2.1 Le mode (Mo) • Cas d'une variable discrète: Le mode est facilement repérable. Sur le tableau statistique, c'est la valeur xi pour laquelle la fréquence est la plus élevée C'est la valeur dont la fréquence est la plus élevée. Détermination du mode : Tifawt.com

9. Exemple • Soit la série de chiffres {8, 8, 8, 7, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6} La valeur la plus fréquente est le 4 Mode Tifawt.com

10. Cas d'une variable continue : les données sont groupées en classes ; on définit la classe modale comme la classe correspondant à la fréquence la plus élevée ni. En peut calculer le Mode par la formule suivante: Borne inférieure de la classe modale Amplitude de classe d1=ni –ni-1 etd2=ni –ni+1 Tifawt.com

11. Exemple : Le Mode (valeurs groupées) [0.08,0.25] est la classe modale pour le débit . D’après la formule de le mode Mo = 0.08 + a(d1/(d1+d2)) avec a = 0.25-0.08 = 0.17 d1 = 22-0 = 22 et d2 = 22-8 = 14 donc Mo = 0.08 + 0.17*22/36 = 0.184 Tifawt.com

12. Si la distribution présente 2 ou plus maxima relatifs, on dit qu'elle est bimodale ou plurimodale. • Si la série n’a qu’un seul mode, elle est dite unimodale. • On peut définir de même le mode pour un caractère qualitatif. Tifawt.com

13. Tifawt.com

14. 2.2 La médiane : Me Si la série brute des valeurs observées est triée par ordre croissant : La médiane Me d’un série statistique est la valeur qui partage cette série en deux séries de même effectif. Tifawt.com

15. Tifawt.com

16. c'est-à-dire que • Si n est impair, soit n = 2 p + 1 , Me = x(p+1) • Si n est pair, soit n = 2 p, toute valeur de l'intervalle médian[ x(p) ; x(p+1) ] répond à la question. Afin de définir Me de façon unique, on choisit souvent soit le centre de l'intervalle médian. Tifawt.com

17. Par exemple, la médiane de la série de tailles ci-contre est : Me = (m) Aurait-elle été différente si on avait noté par erreur la plus petite taille 0.55 m au lieu de 1.55 ? Tifawt.com

18. * Cas d'une variable continue: Pour des données groupées en classes, la classe médiane est la classe qui contient la médiane. On détermine la médiane par interpolation linéaire. Tifawt.com

19. De manière générale, si a et b sont les bornes de la classe contenant la médiane, F(a) et F(b) les valeurs de la fréquence cumulée croissante en a et b, alors Tifawt.com

20. Dans le cas d'une variable groupée en classes, en peut calculer la médiane par la formule suivante : Lo : Limite inférieure de la classe médiane ai : Amplitude de la classe médiane n : Nombre total des observations Ni‑1 effectif cumulé croissant de la classe inférieure à la classe médiane ni : effectif de la classe médiane Tifawt.com

21. La médiane est la valeur de rang (43 + 1) / 2 c’est à dire 22, celle ci se trouve dans la classe 6‑8, la classe 6 ‑ 8 est donc la classe médiane. Me = 6 + 2(21.5 +13)/12 Tifawt.com

22. Tifawt.com

23. Moyenne Arithmétique Appelée moyenne notée Paramètre central qui concerne bien évidemment uniquement des variables quantitatives. Dans l’unité de la variable. Calculable quelque soit la loi qui régit la distribution. Suivant la forme de présentation des observations, différentes formules de calcul peuvent être employées. Population m (mean) Echantillon x (average) Tifawt.com

24. Moyenne arithmétique On note : n : Nombre total de mesures. k : Nombre de valeurs différentes observées. ni : Nombre d’occurrences de la valeur observée i. fi : Fréquence relative (pourcentage) de la valeur observée i. Tifawt.com

25. 2.3 La moyenne arithmétique La moyenne arithmétique d'une série statistique (xi, ni) se calcule de la manière suivante : La moyenne s'exprime toujours dans la même unité que les observations xi . Elles peut être décimale, même si les xi sont entiers par nature. Tifawt.com

26. Ainsi la moyenne arithmétique du nombre d'appels reçus à un standard est : 2,97 appels Tifawt.com

27. Plus généralement, lorsqu'on ne dispose que de la distribution regroupée en classes Tifawt.com

28. on calculera la moyenne par : xi étant le centre de classe. Tifawt.com

29. Exemple • Soit la série correspondant aux tailles en cm de 6 étudiants : 160,170,180,180, 190, 200. n = 6; T = 160+170+180+180+190+200 = 1080 Tifawt.com

30. Exemple Le nombre de familles enquêtées est de 53. Le nombre total d’enfants est de 77. La moyenne du nombre d’enfants par famille est de 77/53 = 1,45. Attention aux arrondis ici si on arrondit à une décimale la moyenne est de 1,5 enfants par famille. Tifawt.com

31. Remarque 1: Pour plusieurs populations d'effectifs n1, n2, ....., nk, de moyennes respectives : moyenne globale = moyenne des moyennes Tifawt.com

32. Comparons le salaire moyen dans 2 entreprises Entreprise A : 1/ 3 de femmes , salaire moyen 8000Dh 2/3 hommes, salaire moyen 11000 Dans l'entreprise A le salaire moyen est de : …. Entreprise B : 2/ 3 de femmes , salaire moyen 9000Dh 1/3 hommes, salaire moyen 12000 Dans l'entreprise B le salaire moyen est de : …. Tifawt.com

33. On constate donc que le salaire moyen de B est égal à celui de A. Pourtant le salaire moyen des hommes est supérieur en B à celui des hommes en A. Il en est de même pour les femmes. • D'où vient ce résultat paradoxal ? • Il s'agit d'un effet de structure : cela vient du fait que les femmes (au salaire plus bas) sont plus nombreuses en B qu'en A. Tifawt.com

34. Exemple • Les effectifs étant différents dans les 3 groupes, la moyenne recherchée n’est pas la moyenne des moyennes. • On calcule le total de l’âge des 3 groupes réunis : T = 18,1*1000+ 500*19,5+ 18,3*1000 =46 150. • L’effectif total est de 2 500. • La moyenne recherchée est 46150/2500 =18,5 ans Les étudiants de première année de L1 santé sont répartis dans 3 amphithéâtres avec les données ci-dessous. Quelle est la moyenne de l’âge en L1 santé ? Tifawt.com

35. Moyenne arithmétique Propriétés : Centre de gravité de la distribution. La somme des écarts à la moyenne est nulle. La moyenne minimise les distances au carré Tifawt.com

36. 3. Moyennes Avantages • Elle a de bonnes propriétés calculatoires comme la linéarité : si est la moyenne d’une série (xi, ni) alors la moyenne de la série (axi+b, ni) est • Elle prend en compte l’ensemble des valeurs (contrairement au mode). Tifawt.com

37. 3. Moyennes Inconvénient Elle est très sensible aux valeurs « extrêmes ». Exemple : si dans votre entreprise les 10 salariés (dont vous faites partie) gagnent chacun 1500€ par mois et que le patron gagne lui 7000€ par mois, le salaire moyen mensuel est de 2000€… Tifawt.com

38. Exemple Dans une entreprise de 100 salariés, le salaire moyen est égal à 8 400 Dh. Supposons qu'une erreur se soit glissée lors de la transcription des salaires. Monsieur Dahbi est crédité d'un salaire de 108 000 DH au lieu de 8 000 Dh. De combien augmenterait la moyenne ? Tifawt.com

39. La nouvelle moyenne est de : ……. Une seule valeur (sur 100) peut donc beaucoup modifier la moyenne. La moyenne arithmétique est sensible aux valeurs extrêmes. Tifawt.com

40. Les autres moyennes Moyenne géométrique d'une série de valeurs positives est la racine nième du produit des n valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Moyenne harmonique d'une série de valeurs positives est égale à l'inverse de la moyenne des inverses. Moyenne quadratique est la racine carré de la moyenne arithmétique des carrés. Tifawt.com

41. 3. Moyennes Moyenne géométrique Avec les notations précédentes : est la moyenne géométrique de la série statistique. Pour le calcul, on applique: Log G = n1Logx1+n2Logx2+….+nkLogxk Tifawt.com

42. 3. Moyennes Exemple L’essence a augmenté de 10% l’an dernier et de 30% cette année. Quelle est le taux d’augmentation annuelle ? Ce n’est pas 20% ! La moyenne arithmétique ne convient pas. Si t est ce taux, on a bien sûr : et donc t =0,196=19,6%. La « bonne » moyenne est ici la moyenne géométrique. Tifawt.com

43. 3. Moyennes Moyenne harmonique Toujours avec les notations précédentes : est la moyenne harmonique de la série statistique. Tifawt.com

44. 3. Moyennes Exemple Si je fais un trajet aller-retour avec une vitesse v1 à l’aller et une vitesse v2 au retour, quelle est ma vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet ? La réponse n’est pas Mais qui est la moyenne harmonique de v1 et v2. Tifawt.com

45. Positions respectives du mode, de la médiane et de la moyenne pour une distribution unimodale. • Lorsque la distribution est symétrique les trois paramètres sont confondus. • Lorsque la distribution est asymétrique, la médiane est généralement située entre le mode et la moyenne et plus proche de cette dernière. Tifawt.com

46. Tifawt.com

47. Exemple Ex: Absentéisme dans le service Achats Le mode Le mode = 1 La médiane Médiane= 2 La moyenne arithmétique Moyenne = 2 47 Tifawt.com

48. Quelle mesure de tendance retenir ? Tout dépend de ce qu’on veut étudier. Le mode: peu utilisé Médiane: stable Moyenne: informative mais instable 48 Tifawt.com