Agenda per oggi

1. Agenda per oggi • Cinematica 2-D, 3-D

2. Cinematica 3-D • La posizione, la velocità e l’accelerazione di una particella in 3 dimensioni può essere espressa come: • r = x i + y j + z k • v = vx i + vy j + vz k(i,j,kvettoriunitari) • a = ax i + ay j + az k • Abbiamo già visto le equazioni della cinematica 1-D :

3. Cinematica 3-D • Per 3-D, applichiamo semplicemente le equazioni 1-D a ciascuna delle equazioni delle componenti. • Queste possono essere combinate nelle equazioni vettoriali : • r = r(t) v = dr / dt a = d 2r / dt 2

4. GRANDE IDEA!!:Trattare ciascuna componente del vettore indipendentemente. • Per ottenere il moto completo in 3-D usiamo semplicemente la matematica vettoriale per sommare le componenti (SOVRAPPOSIZIONE). • Esempio: per accelerazione costante abbiamo : • a = const • v = v0 + a t • r = r0 + v0 t + 1/2 a t2 • (dove a, v, v0, r, r0, sono tutti vettori)

5. Cinematica 2-D • Fissiamo la nostra attenzione sui problemi 2-D : • *L’aritmetica dei vettori in 2-D non è molto differente da quella in 3-D. • * I problemi 3-D possono essere ricondotti a problemi 2-D quando l’accelerazione è costante: • Scegliere l’asse y lungo la direzione dell’accelerazione • Scegliere l’asse x lungo l’altra direzione del moto • Esempio: Lanciamo una palla (Trascuriamo la resistenza dell’aria) • L’accelerazione è costante (gravità) • Scegliere l’asse y verso l’alto: ay = -g • Scegliere l’asse x lungo la terra nella direzione del lancio

6. Moto del proiettile • Consideriamo una particella che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocitàv0e accelerazione di gravitàgcostante diretta verso il basso. Alle particelle in queste condizioni viene dato il nome di proiettile. Questo è il percorso che il proiettile segue in condizioni ideali essendo lanciato con velocità iniziale v0che si può esprimere come :vo=voxi+ voyj e conoscendo l’angolo q si ha: vox=vocosq e voy=vosenq y vox v0 v0y q x R

7. Moto del proiettile Analizziamo il moto del proiettile orizzontalmente e verticalmente. MOTO ORIZZONTALE ax =cost vx=v0x x-x0=v0xt=(v0cosq)t (1) MOTO VERTICALE Il moto verticale è quello di una particella in caduta libera con a= -g = cost e la variabile spaziale è y. Si ha. y-y0=v0xt-1/2(gt2)=(vosenq)t – ½(gt2) (2) vy=vo senq – gt e vy2=(vo senq)2-2g(y-y0)

8. Diagrammma del Moto Proiettile

9. Possiamo trovare la traiettoria eliminando la variabile t fra le equazioni (1) e (2). Sostituendo nella (2) l’espressione di t ricavata dalla (1) si ha: t= (x-x0)/vo cosq y-yo=v0senq [(x-x0)/v0cosq]-1/2g [(x-x0)/v0cosq]2 Da cui: y=y0+(x-x0)tanq -g (x-x0)2/[v0cosq]2 se y0=0 e x0=0 y= x tanq -g x2/[v0cosq]2 Questa è l’equazione della traiettoria percorsa dal proiettile e poiché v0, q, e g sono delle costanti, l’equazione ha la forma y=ax+bx2 che è l’equazione di una parabola e quindi il percorso è parabolico.

10. La gittata R del proiettile è la distanza orizzontale massima coperta dal proiettile all’istante in cui ripassa alla quota di lancio. Per ricavarla abbiamo x – x0=R e y- y0=0 sempre nelle eq. (1) e (2) e si ha: R=v0cosqt e 0= v0senqt – gt2/2 Eliminando la variabile t in queste due eq. si ha: t = R/v0cosq e quindi R= 2v02senqcosq/g e ricordando che sen2q=2senqcosq si ottiene : R=v02sen2q/g Questa equazione è valida solo quando la quota finale è uguale alla quota di lancio. La gittata è massima per sen2q=1 cioè per 2q=90° ossia q=45° L’angolo q prende il nome di alzo.

11. Ricapitolazione Cinematica 2-D, 3-D : Moto del Proiettile Independenza delle componenti x e y