Triangles semblables.

1. Triangles semblables. • 1er cas. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux angles respectivement égaux. • Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle aigu égal. • 2e cas. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels. • Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsque les côtés de l’angle droit sont proportionnels.

2. Triangles semblables. • Théorème. Deux triangles qui ont les côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires sont semblables. A C A’ C’ B B’ C’ A C A’ B B’

3. Polygones homothétiques. • Polygones homothétiques. Si on joint un point O aux sommets du polygone ABCDE et on porte sur les droites OA, OB,… des longueurs OA’, OB’,… telles que OA’/OA = OB’/OB=…=OE/OE’=k, k étant un nombre positif, on obtient un polygone P’ dit homothétique du polygone P. B A P E B’ A’ E’ P’ O C C’ D’ D

4. Polygones semblables. • Deux polygones P et P’ sont semblables si le polygone P1 est égal à un polygone homothétique de P. • Les sommets correspondants des polygones semblables ou homothétiques sont appelés sommets homologues; les angles correspondants sont appelés angles homologues; les droites qui joignent deux points homologues de deux polygones homothétiques sont appelés droites homologues.

5. Polygones semblables. • Les angles homologues sont égaux. Les côtés homologues sont proportionnels. • Théorème. Deux polygones qui ont leurs angles respectivement égaux et leurs côtés homologues proportionnels sont semblables • Corollaire. Deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont égaux.

6. Relations métriques dans le triangle. • On appelle projection orthogonale d’un point sur une droite, le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite. • Le projection d’un segment sur une droite est le segment dont les extrémités sont les projections des extrémités du segment donné.

7. Relations métriques dans le triangle rectangle. A • Théorème. Dans un triangle rectangle, les deux triangles partiels déterminés par la hauteur sont semblables entre eux et chacun d’eux est semblable au triangle total. b c C B m n a H

8. Relations métriques dans le triangle rectangle. A • Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. a2=b2+c2 b c h C B m n a H a/b = b/n, donc b2 = an a/c = c/m, donc c2 = am b2+c2 = an+am = = a(n+m) = a*a= a2

9. Relations métriques dans un triangle quelconque. • Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle aigu égale la somme des carrés des deux côtés moins deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui. a2 = b2 + c2 – 2bn

10. b n Relations métriques dans un triangle quelconque. B a2 = m2 + h2 Dans le Cas 1: m = b – n Dans le Cas 2: m = n – b Alors toujours m2 = b2 + n2 – 2bn Mais h2 = c2 – n2, alors a2 = (b2 + n2 – 2bn) + (c2 – n2) a2 = b2 + c2 – 2bn Cas 1 a c h m n C A H Cas 2 B c h a m A b C

11. Relations métriques dans un triangle quelconque. • Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle obtus égale la somme des carrés des deux côtés plus deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui. a2 = b2 + c2 – 2bn

12. m Relations métriques dans un triangle quelconque. a2 = m2 + h2 m = b – n Alors on a m2 = b2 + n2 + 2bn Mais h2 = c2 – n2, alors a2 = (b2 + n2 + 2bn) + (c2 – n2) a2 = b2 + c2 + 2bn B a h c n C b A