1 / 53

Dane informacyjne

Dane informacyjne. Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych Gimnazjum w Golczewie ID grupy: 98_51_g1 Opiekun: Wiesława Trepkowska Kompetencja: Matematyka i Fizyka Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: 2011/2012. Prezentacja zawiera. Liczby pierwsze i złożone

Download Presentation

Dane informacyjne

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane informacyjne • Nazwaszkoły: • Zespół Szkół Publicznych Gimnazjum w Golczewie • ID grupy:98_51_g1 • Opiekun: Wiesława Trepkowska • Kompetencja: Matematyka i Fizyka • Temat projektowy: W świecie liczb • Semestr/rok szkolny:2011/2012

  2. Prezentacja zawiera Liczby pierwsze i złożone Liczby bliźniacze i inne ciekawe liczby Złota liczba i złoty podział Ciąg Fibonacciego Liczba π Liczby olbrzymy i liczby liliputy Nasze zadania • Wstęp • Co oznacza pojęcie liczba • Rys historyczny o narodzinach systemów liczbowych • Liczby rzeczywiste i ich podział • Inne liczby • Liczby trójkątne, kwadratowe… • Historia kwadratów magicznych

  3. Świat w którym żyjemy to świat liczb. Każdy z nas identyfikowany jest wieloma liczbami, już po urodzeniu otrzymujemy numer PESEL, później numery legitymacji, dowodu osobistego, numer konta bankowego, przeróżne numery pin, numery telefonów, numer NIP i cała wielość przeróżnych jeszcze numerów, wszystkie te numery to przecież liczby.

  4. LICZBA • To pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów, później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. • Określenie liczba bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują liczb , lecz liczby naturalne, całkowite, wymierne itd.

  5. Każdy ma swój świat liczb

  6. Narodziny systemów liczbowych • Cyframi posługiwały się w zamierzchłej przeszłości narody: • Azji -Hindusi, Chińczycy, Babilończycy • Ameryki- Majowie • Afryki- Egipcjanie • Cyfry pojawiły się w najstarszych dokumentach – pomnikach pisanych najprawdopodobniej w IV-III tysiącleciu p.n.e. • Cyfry egipskie są prawdopodobnie hieroglifami odpowiednich słów. • Babilończycy posługiwali się systemem mieszanym: liczby od 1 do 59 oznaczali addytywnie za pomocą znaków oznaczających jeden i dziesięć, liczby większe od 59 oznaczali za pomocą znaków liczby 1-59 metodą pozycyjną sześćdziesiątkową.

  7. Majowie około 2000 lat temu liczby od 1 do 19 zapisywali addytywnie, liczby większe zapisywali pozycyjnie. • Cyframi starogreckimi posługiwali się między innymi Pitagoras, Platon, Arystoteles, znaki są początkowymi literami słów , na przyład: 10-deka, H-100 hekaton, X-1000 chilios. • Cyframi jońskimi posługiwał się między innymi Euklides. Były nimi kolejne litery alfabetu ᾱ .Nad całą liczbą pisano poziomą kreskę , aby odróżnić ją od słowa. • Cyfry rzymskie zapisywano za pomocą liter I-1, V-5, X -10, L-50, C-100, D-500, M-1000

  8. Cyfry arabskie • Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego słowa as-sifr- co oznacza „pusty”, nazwa tą określano nasze zero. Powszechnie przez nas używane cyfry arabskie, czyli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, przywędrowały do Europy wraz z systemem pozycyjnym w późnym średniowieczu dzięki Arabom, którzy zapożyczyli je od Hindusów. Do upowszechnienia tych cyfr przyczynił się przedsiębiorca Leonardo z Pizy (ok.1170-1250). • Mimo niezwykłych walorów tych cyfr i systemu pozycyjnego, nie uznawano ich przez długi czas, zwłaszcza w sferach ludzi interesu. • Prawie dwa stulecia trwała walka tych cyfr o panowanie nad światem.

  9. Systemy liczbowe Egipski Babiloński Grecki

  10. Majów Rzymski Arabski

  11. Liczby naturalne • To liczby całkowite dodatnie takie jak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … • Zastosowanie liczb naturalnych- zliczanie elementów skończonych zbioru. • Inna szkoła do liczb naturalnych nie wlicza liczby zero, liczby naturalne zaczynają się wtedy od liczby jeden.

  12. Liczby całkowite • Liczby naturalne, liczba zero i liczby przeciwne do liczb naturalnych tworzą liczby całkowite. ….-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

  13. LICZBY WYMIERNE • To ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera. • Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest również dodatnia. • Jeśli licznik ma znak przeciwny do mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna. • m/n gdzie n jest różne od 0

  14. LICZBY NIEWYMIERNE • To liczby znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi , lecz nie dające się zapisać w postaci ułamka. • Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka m/n taki jak np. √2 , a więc nie są liczbami wymiernymi . • Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą.

  15. Liczby rzeczywiste • To liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi nie dające wyrazić się w postaci ułamka takie jak √3 czy π. • Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na osi liczbowej. Liczby rzeczywiste wymierne niewymierne

  16. Podzbiory liczb wymiernych Liczby wymierne Liczby całkowite Liczby naturalne

  17. Inne liczby • Oprócz znanych dotychczas liczb doszukaliśmy się istnienia przeróżnych innych liczb: • automorficzne, bliźniacze, doskonałe, dualne, Fermata, Fibonacciego, kardynalne, Mersennea, p-adyczne, piranidalne, podwójne, porządkowe, półpierwsze, przestępne, urojone, zaprzyjaźnione, zespolone…

  18. Liczby urojone zespolone • Liczby urojone to liczby których kwadraty są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. jednostka urojona i, dla któreji2=-1.Żadna liczba urojona oprócz 0 nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą. • Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej.

  19. Liczby trójkątne • Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

  20. Liczby kwadratowe • Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

  21. Liczby pięciokątne sześciokątne Liczby te graficznie można rozmieścić na obwodach coraz większych pięciokątów , sześciokątów

  22. Magiczne kwadraty • Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny, rzędu i przekątnej jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech i więcej pól. Najpopularniejsze maja zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty w Chinach i Indiach były popularne już 2000 lat temu. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami upowszechniło się i z Chin trafiły one do Europy. Pierwszy znany magiczny kwadrat pochodzi z Chin, ma 9 pól. Suma cyfr we wszystkich kolumnach, rzędach i przekątnych wynosi 15. Inny również znany magiczny kwadrat ma 16 pól. Tu suma wynosi 34.

  23. Liczby pierwsze i złożone • Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (jeden i samą siebie) nazywamy liczbą pierwszą. • Liczbę naturalną, która ma więcej niż dwa dzielniki i jest różna od zera nazywamy liczbą złożoną. • Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone • Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych. • Każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. • np. 30=2*3*5

  24. Sito Eratostenesa • Metodę poszukiwania liczb pierwszych polegającą na wykreślaniu wielokrotności kolejnych liczb wymyślił Eratostenes, grecki uczony żyjący na przełomie III i II w. p.n.e. w Aleksandrii. Do dzisiaj metodę tę nazywa się sitem Eratostenesa. • Przeszedł on do historii jako pierwszy człowiek, który obliczył przybliżony obwód Ziemi.

  25. Szukanie liczb pierwszych • Tak wygląda sito Eratostenesa dla pierwszych 100 liczb. • Znaleźliśmy w ten sposób liczby: 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

  26. Ciekawostka • Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. • Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Odkryta w 1999 r. największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna – ma ona 2098960 cyfr. Gdyby zapisać cyfry tej liczby jedna za drugą na pasku papieru, to miałby on długość ponad 4 km.

  27. Liczby bliźniacze • Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. • Przykłady: • 3 i 5 • 5 i 7 • 11 i 13 • 17 i 19

  28. Inne ciekawe liczby • Liczby doskonałe-liczby naturalne, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników np. 6, 28, 496 • Liczby zaprzyjaźnione np. 220 i 284 • Liczby lustrzane np. 23 i 32 • Liczby palindromiczne np. 292, 30503, 656, 21012

  29. Złota liczba • Złoty podział , podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnia geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

  30. Złoty podział odcinka Złota liczba

  31. Złoty podział w przyrodzie • W muszlach wytwarzanych przez liczne gatunki mięczaków od milionów lat pojawia się wciąż ten sam charakterystyczny rysunek spirali równokątnej. • Nazwa "równokątna" wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. • Kształt spirali równokątnej jest ściśle związany ze złotym podziałem dlatego czasem nazywa się ją złotą spiralą.

  32. Złoty podział w płatkach roślin • Złoty podział występuje też powszechnie w przyrodzie, a zwłaszcza tam, gdzie występują foremne pięciokąty. W takim stosunku pozostają przekątna i bok w pięciokącie foremnym, w takim stosunku dzielą się przekątne pięciokąta foremnego wypukłego (czyli boki pentagramu). • Poniższa galeria kilku zdjęć ilustruje bogactwo foremnych pięciokątów w świecie roślin kwiatowych. Okazuje się, że rośliny o 5-płatkowych kwiatach dominują w przyrodzie (różnych gatunków takich kwiatów jest więcej niż tych o dowolnej innej liczbie płatków). Wszystkie mają tę własność, że odległość między co drugim płatkiem podzielona przez odległość między sąsiednimi płatkami jest liczbą złotą.

  33. Ciąg Fibonacciego • Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. • Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach. Początkowe wartości tego ciągu to: • 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

  34. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie • Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach. W niektórych gatunkach tych roślin jest 21 spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i 55. Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego

  35. Liczba π • Liczba π jest liczba niewymierną, określa ona stosunek długości okręgu do długości jego średnicy i jest równa 3,141592653589793238… • Liczba π nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa ta pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby π z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.

  36. Historia liczby π • Liczba π ma ciekawą historię. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7 która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, podanego przez Shanksa.

  37. ciekawostki • Liczba 31415926535897932384626433832795028841, zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. • Rok świetlny równa się w przybliżeniu π* 107 *c , gdzie c oznacza prędkość światła ( w km/s) • Liczba sekund w roku jest równa 365*24*60*60=31536000, • co w przybliżeniu jest równe π* 107 *c • Uczeni, którzy szukali kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają te liczbę i rozpoznają ten komunikat.

  38. Liczby olbrzymy i liczby liliputy • Każdy z nas zna doskonale liczbę 1000000 (milion) • Ale, czy wiesz, że włos ludzki powiększony na grubość milion razy będzie miał średnicę 70 metrów. • Atom powiększony milion razy zmieniłby się w maleńką kropeczkę – mniejszą niż kropka na końcu zdania. • A zwykły komar powiększony milion razy będzie miał 5 kilometrów długości.

  39. Bardzo duże liczby • Miliard=109 Bilion= 1012 Biliard= 1015 Trylion= 1018 …………………………………………………………………………. • Sekstylion= 1036 • Septylion= 1042 • Oktylion= 1048 • Nonilion= 1054 • Decylion= 1060

  40. Duże liczby często używane są do opisywania obiektów znajdujących się we wszechświecie • Masa Księżyca • 73480000000000000000000 kg • Masa Ziemi • 5974000000000000000000000 kg • Masa Słońca • 1998910000000000000000000000000 kg

  41. Skrócony zapis- notacja wykładnicza • Bardzo duże i bardzo małe liczby można zapisać w krótszej formie stosując notacje wykładniczą- naukową • 3000000=3*106 • W ten sposób można zapisać np. masę Księżyca w kilogramach • 73 480 000 000 000 000 000 000 =7,348*1022

  42. Liczby liliputy • Bardzo małe liczby służą najczęściej do określania masy cząsteczek, atomów, itd. • Masa protonu w kg: • 16726*10-31 = 1,6726*10-27 • Masa cząsteczki wody 3*10-26 kg • Masa elektronu 9,1095*10-31 kg • Gdybyśmy chcieli porównać rozmiary atomu z wielkością pyłu, to rzec by można, że elektron tak się ma do pyłu, jak pyłek do globu ziemskiego.

  43. Nasze zadania

  44. Zadania tego typu można rozwiązać różnymi metodami: wykorzystując rysunek, proporcje czy układając równanie. • W zadaniu o dyni- do pełnej wagi dyni brakuje 1/10 jej wagi, zatem • 1/10 to 9/10 kg • 10/10 to x kg • czyli x= 9 kg • Odp: Dynia waży 9 kilogramów.

  45. Zadanie o słoniu • X- waga małego słonia • 0,999x+1,5=x • Po rozwiązaniu tego równania otrzymujemy x=1500 • Odp: mały słoń waży 1500 kilogramów.

  46. Kwadrat magiczny • Wpisz brakujące liczby od 1 do 25 tak by powstał kwadrat magiczny którego suma wynosi 65 • Nie było to proste, wspólne mozolenie dało taki efekt:

  47. Jaki jest następny wyraz ciągu ? • 983, 147, 49, 18, …? • Odp.4 Ponieważ: (98*3) /2=147 (14*7)/2=49 (4*9)/2=18 (1*8)/2=4

  48. zagadka 5 żab łapie 5 much w ciągu 5 minut. Ile żab trzeba, żeby złapać 50 much w ciągu 50 minut? Odp.5 żab • 1 żaba-1 mucha-5 minut • 1 żaba-10 much-50 minut • 5 żab- 50much- 50 minut

  49. Koty i kanarki • W sklepie zoologicznym wystawiono na sprzedaż koty i kanarki. Wystawiono łącznie 72 sztyki i miały one w sumie 200 nóg. Ile było kanarków? • To zadanie można rozwiązać za pomocą układu równań, ale my proponujemy metodę prostszą i szybszą. • 72*2=144 • 200-144=56 • 56/2=28- ilość kotów • 72-28=44 • Odp: Było 44 kanarków

More Related