尤善培 2005-03-05

1. 数学文化与数学教学 尤善培2005-03-05

2. 数学文化与数学教学 诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之，出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气，出乎其外，故有高致。 ——王国维《人间词话》

3. 数学文化的价值，近几年来在数学教育界引起了普遍的关注，也逐渐被确认。1992年和1996年分别颁布的初、高中《数学教学大纲》在承认数学对科技的工具作用的同时，又认定数学的“内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分”。“对学生良好的个性品质和辩证唯物主义世界观的形成有积极作用”。 2000年颁布的高中《数学教学大纲》和新的《全日制义务教育数学课程标准》指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。新的《高中数学课程标准》也明确指出：数学是人类文化的重要组成部分。确定课程应介绍数学发展的历史、应用和趋势。注意体现数学的社会需要，数学家的创新精神，数学科学的思想体系，数学的美学价值，以帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，使之成为正确世界观的组成部分。 因此，使学生受到必要的数学文化教育，具有一定的数学文化素养，对于提高全民族文化素质，为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的。

4. 数学是文化 • 数学与文化 在数学与文化的关系上，有这样的过程：数学与文化，似乎意味着这是两件事，然后再去讨论它们之间的关系；数学的文化，仅仅意味着数学中存在文化成分或文化因素的那些东西；数学文化，这就是说数学本身就是一种文化。 • 数学是文化 　　文化：人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。狭义来说：指社会的意识形态以及与之相适应的制度和组织机构。即某种因素联系起来的各个群体所特有的行为、观念和态度等，即特有的“生活方式”。 齐民友教授在《数学与文化》中不仅论证了数学就是文化而且还指出了数学文化的育人价值。数学追求一种完全确定，完全可靠的知识(物质的)；数学追求最简单的、最深层次的、超出人类感观所及的宇宙的根本(观念、精神的)；数学不仅研究宇宙的规律，也研究自己(独特的)。

5. 一个式子的透视 　 式子：eiπ+1=0中有5个数字：0，1，i，e，π，按照历史的顺序：1最早出现，0的出现要晚得多；i代表的数的合理性讨论是16世纪以后的事，至于e和π，则更为神秘，直到19世纪，才揭开它们神秘的面纱。这个式子就是一部历史，一部数学的历史，一部文明的历史，一部文化的历史。 • 拉普拉斯盛赞0，1，2，…9这一组符号的创造是对人类文明的发展作出了具大的贡献。 • i的出现是人们能认识二元数的开始，这使得数学成为人类认识世界的更强有力的思想武器。0，1，i分别是方程x2=0,x2=1,x2=-1的根，留下了数集概念扩充的痕迹。 • e和π不是任何整系数方程的根，结论更是来之不易，也是人类认识史上的一次飞跃。 五世同堂，这种五个不同时期出现又在性质上相去甚远的不同数字，却统一在一个如此简洁的式子eiπ+1=0中。它的美学价值不仅溢于它的外表，更是隐藏在它的历史和它的内涵之中。如果进一步研究这一个式子的历史中隐含的那一个个动人的故事时，眼前飞扬出那一个个鲜活的历史镜头，就会更加深切地感受到它的美妙。

6. 数学的作用 　　 承认了数学是人类精神文明和物质文明的产物，这就更要关注到数学是人类精神文明的成果。它不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且，也充分体现了人类为真理而孜孜追求乃至奋不顾身的精神以及对美和善的崇高追求。 　　 张恭庆院士将数学的作用分为三个层次。 • 作为理论思维的数学，为其地学科提供语言、概念、思想、理论和方法。 • 作为技术应用的数学，直接应用于工程技术、生产活动。 • 作为文化修养的数学，对全社会的成员起着潜移默化的作用。 　　 齐民友说：没有现代的数学就不会有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为文化的民族也是注定要衰落的。

7. 数学知识使人有学问。华罗庚先生曾说：宇宙之大，粒子之微，地球之变，化工之巧，火箭之速，生物之谜，无处不用数学。欧阳维诚认为：数学是科学与人文的共同基因。 数学思维使人聪明。学生在学习数学的过程中，通过思维活动，不仅知识逐步增加，更重要的是使知识保持生命力，智力也同步增长，这就是古人讲的“积学以储宝，酌理以富才”。数学文化使人高尚。数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，是一种深层次的动力，由它引出的精神，滋养着我们的精神品格，温润着我们的生命。

8. 等腰三角形的两个底角相等

9. A B C 已 知 在△ABC中，AB=AC， 求 证 ∠B=∠C。

10. A A B C B C 念 头 要证两角相等，可设想它们为全等三角形的对应角。 思 路用刀劈三角形。

11. 新念头 可以将等腰三角形拿起来，作一个空中翻转，使其与原来的位置重合。 （这正是全等三角形的定义，△ABC≌△ACB，从而∠B与∠C重合，而这正是角相等的定义。） 新思路 用数学语言表述出来，就是证明。 （直觉发现，逻辑证明）

12. 分 析解题过程的结构分析 • 画图（根据题意），写出已知求证（根据图形）认清形势和任务。（当前在什么地方，要到那里去） • 寻找解题思路，沟通已知和求证。调动了全等三角形的知识，数形结合地应用直觉思维（空中翻转、图形重合、角重合） • 给出证明，用到三角形全等的判定定理和性质定理，还是一个严格的推理论证过程。 在数学解题中，有形象思维、直觉思维和逻辑思维等思维活动。

13. 数学是文化，教育的本质是过程，因此根本上说来，数学教育是一个文化过程。数学是人类共同的精神财富，是人类智慧的结晶，它表达了人类思维中生动活泼的意念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求完美和谐的愿望。

14. 数学对人的文化素质的影响 • 培养严谨的思维方式 前苏联教育家加里宁说过：“数学是思维的体操”。说的就是数学在严谨的逻辑思维中有非常重要的作用，尽管将来绝大多数学生都不会成为数学家，但是条理化和逻辑性作为文化素质对他们将来从事任何一种职业都是需要的。 • 培养学生的创新精神 数学是人类世纪文明高度发展的结晶，体现出巨大的创造力。同时数学又是人类创新的锐利工具。无论是数学知识的应用，还是数学知识的发展，都需要研究新问题。根据实际情况，作出恰如其分的分析，并由此找到解决问题的途径，这里没有现成的答案可循，因而创新不仅是数学的显著特点，也是数学文化发展的强大活力。

15. 培养科学的审美观 　　数学教育有利于美学教育和科学教育相结合，培养科学的审美观。虽然人对美的理解和感悟、各不相同，但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等互相联系，而数学本身体现出来的简洁美(抽象美、符号美、统一美)和谐美(对称、形式)、奇异美(有限、神秘美)会给学生以美的熏陶。数学美广泛的存在于数学的各个细胞之中，可谓是“天涯何处无芳草”，关键是要善于发现，发现以后要学会那怕是片刻的专注和逗留，这片刻的审美专注会对数学美构示的规律加深理解，而学习数学的过程会成为学生体验和享受数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美感的过程。 • 数学的功能 　　数学的功能主要有两点：一个是科技功能，一个是文化功能。但我们往往在数学教学中，是把数学当作一种工具，教的只是解题技术，这是一种目光短浅的数学教育。对数学人文思想的挖掘，直到今天没有引起足够的重视，甚至还是一个空白，因而这就是一块大有作为的土壤。

16. 数学的素养 　　数学的素养，包括数学意识（观念和眼光）、问题解决、逻辑推理和信息交流四个层面，其中最基本的是数学的观念，态度和意识。 • 数学的历史 数学是一种文化，回顾数学发展的历史，一方面数学的产生与发展是在一定的文化背景中实现的，那一定的文化背景制约着数学的发展；另一方面，数学的发展又反过来影响整个文明进程，数学不仅自身属于人类社会的一种文化现象，而且数学尚拥有广泛的超越数学自身意义的因素以及这些因素对人类文化（进步）的巨大影响，从而我们应从数学的发生、发展、数学教育方法及整个社会文化背景，去观察与认识。因此，我们的数学教育应当努力还原、再现这一发明、发现的过程，从数学家的废纸篓里寻找数学知识的源泉，从而看到和充分发挥它的文化功能。 　　因此数学文化素质应包括：数学语言的初步交流与使用，数学的基本思想，数学的论证思想，初步的数学审美意识和能力，数学对人的良好品质的形成起着积极的作用，以及数学对人类文明进步所起作用的初步认识。

17. 作为文化的数学教学 • 数学向科学提供了真理的基础，又提供了正确的标准。数学就是这样一种东西，她提醒你有无形的灵魂；她赋于她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她涤尽我们有生以来的朦昧与无知。 • 数学提供了有特色的思考方式，建立模型，抽象化、最优化。 逻辑分析，从数据进行判断，运用符号……它使人们能批判地阅读，识别谬误，探察偏见，估计风险，提出变通办法。更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。 • 数学课程必须突出数学思想，一个只强调计算与规则的数学课程，正如一个只强调语法和拼写的写作课程，无疑是一种本末倒置。

18. 数学教学观 新的数学教学观：在文化这一更加广阔的背景下讨论数学的发展，数学的作用以及数学的价值，从历史的文化和哲学的高度鸟瞰数学的全貌。这就要求： • 在教学内容上：要引导学生去了解社会、联系生活、联系实际；在教学思想上：要启发学生用数学描述现象，去分析、去演变、去思考；在教学方式上：要调动学生的积极性、主体性，应用新技术，敢于探索，勇于实践。 • 数学是无数个活生生的人创造的知识、方法、体系，数学教育则是教师作为活生生的人和学生作为活生生的人共同参与的活动。数学是人的数学，数学教育是人的数学教育。人文价值的追求，完整人格的建构，绝非人文学科的专利，同样也是数学教育的题内之意。

19. 数学本身是一个具有多重含义的整体，除了知识要素之外，还有更丰富的内涵，数学是一种建制，一种方法，一种积累的知识系统，一种维持和发展生产的主要因素，一种重要的观念来源。数学在使人求知，求真的同时，也使人受到深刻的精神教育，因为数学知识的形成过程是一个逐渐积累的过程，有“迎来日出送走晚霞”的艰辛，有“踏平坎坷成大道”的喜悦。如果我们把数学当成一种知识、一种方法、一种自然观和科学观、一种精神来教的话，人文价值就得以体现。数学本身是一个具有多重含义的整体，除了知识要素之外，还有更丰富的内涵，数学是一种建制，一种方法，一种积累的知识系统，一种维持和发展生产的主要因素，一种重要的观念来源。数学在使人求知，求真的同时，也使人受到深刻的精神教育，因为数学知识的形成过程是一个逐渐积累的过程，有“迎来日出送走晚霞”的艰辛，有“踏平坎坷成大道”的喜悦。如果我们把数学当成一种知识、一种方法、一种自然观和科学观、一种精神来教的话，人文价值就得以体现。 • 在数学课堂上，教师要娴熟应用教学技艺创设问题情景、形成氛围，师生之间相互激发出情感(信任、宽容、尊敬、喜爱等)，教师在传授知识的过程中闸发对数学的态度，有意无意地讲述数学史上杰出人物的感人事迹，师生共同探讨人生观念和社会景象，无不闪耀着人文的光辉，真切地走进学生的心灵，使学生的人格受到潜移默化的熏陶。

20. 数学教学建议 • 引入数学史进行数学文化教育 • 树立正确的数学观 　　数学有两个侧面，其一是由概念、定义、定理、公理等材料经演绎组成的，是系统的演绎科学。另一面是体验性的归纳科学，它是创造数学的过程。在得到一个结论之前，先猜猜结论，然后再一次一次地尝试着去证明，从而得到严密的证明，因而证明的方法是丰富多彩的，不仅需要逻辑，更要借助于形象。教科书往往隐去了这样的过程，也就掩盖了数学的本来面目，正如英国哲学家席勒所说：“逻辑分析没有去描述科学实际发展所凭借的方法，而是任意按照自己的偏见重新安排了实际行动的步骤，用求证的规程代替发现的规程。” • 理解教学的难点 数学史中不仅有知识的结论，更是记录了知识形成的思维过程。学习数学史，就能对所教内容有更深刻地理解乃至欣赏，领悟问题的本质，逐渐模仿数学家的心智活动方式去体会教材，处理教材，解决问题时才不照本宣科，而是分析一个个有用的念头，导出思路，从而改造我们的课堂教学，搞清楚是什么?为什么?怎样证?怎样更好。从而根据皮亚杰的观点，真正理解一个概念或理论意味着主体重新创造这个理论。新课程理念要求我们返朴归真，了解数学的发现、发展及演变过程，还需要数学以本来面目，这应该就是教学生再创造的方法。

21. 如引入i之前，先求：已知x2+x+1=0，求x14 + 1/x14 = ? x3+x2+x=0，x3=-x2-x=1，x14 + 1/x14 =1。 但是x2+x+1=0无实数解，矛盾表明…… 这一问题的发现，概念形成，论证推导过程很重要。 • 用数学思想方法武装学生 　　可以这样讲数学史就是数学思想方法史，唯有深深扎根在学生头脑中的数学思想方法，随时随地地发挥作用，使他受益终身。 　　数学家拉普拉斯说过：“对数用缩短计算的时间使天文学家的寿命加倍。”对数学的应用(用途)清楚了，学生不仅不易忘记，而且有助灵活应用。数学思想方法的教学，要寓于知识教学这一载体之中。按照波利亚的观点，在解决问题时，让学生回顾解题方法，进行再思考，可将零碎的知识和方法上升为数学思想方法，为解决其它问题提供有力武器。

22. 数学教学要重视过程的教学 • 数学教育是一个文化过程 　　数学是文化，教育的本质是过程，因此从根本上说来，数学教育是一个文化过程。 • 充分揭示数学知识产生、发展的全过程 　　不仅让学生看到活跃的前台，还应当让学生了解丰富的后台，特别重视思维过程的教学，创设“再发现、再创造”的情境。达到“山是山，山是山吗？山还是那个山”的境地。 • 数学教学要设计情节 　　相声要有包袱，讲故事要有情节，数学教学也要设计情节，特别是“平淡的”内容更要设计情节。设计情节，就要从问题开始，不断提出、解决、产生新的问题情境，让学生在这种有情节、有波澜的鲜活的过程中受到数学文化的感染和熏陶。

23. 课题：去括号

24. 问题：用火柴棒搭正方形，怎样计算所需要的火柴棒的根数? 创设情境，引入新课

25. 第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根。那么搭x个正方形就需要火柴棒第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根。那么搭x个正方形就需要火柴棒 [4+3(x-1)]根.

26. 把每个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减多算的根数，那搭x个正方形就需要火柴棒 根 。 4x-(x-1)

27. 第一个正方形可以看成是3根火柴棒加1根搭成的，此后每增加一个正方形就增加3根火柴棒，搭x个正方形共需要 (3x+1)根。

28. 活动探究，发现规律 三个代数式之间有何关系呢？ 怎样说明呢？（运用分配律说明） 4+3(x-1) = 4+3x-3 (乘法分配律) = 3x+1 (合并同类项) 4x-(x-1) = 4x+(-1)(x-1) = 4x+(-1)x+(-1)(-1) = 4x-x+1 = 3x+1 去括号的依据：乘法分配律

29. 评价与分析 解释与应用 问题 发现问题 尝试 实际问题 结论 情景性 注意点 结果不同 经验 一般 功能性 括号前符号 借鉴 科学性 思考 括号前系数

30. 数学教学要重视“数学眼光”的培养 • 数学眼光 眼光可以理解为人们在观察、思考、分析、解决、评价问题时的角度、宽度、广度和深度。 　　数学眼光则是指接受了数学文化陶冶的人在上述思维活动的过程中表现出来的求真、求善、求美和求新等意识和精神。 • 数学地观察生活 　　生活是数学的源泉。今天，人类生活的空间越来越广阔，内容越来越丰富。这绚丽多彩的生活正是数学的温床；而人类又不断地把数学应用于实践，使自己的生活更加丰富多彩、美满幸福。数学地去观察、理解生活，将会使生活和数学相互影响、相互促进，不断发展。 • 数学地理解问题 　　“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州，孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”这是一首离别诗，用数学的眼光可以这种理解，随着时间的推移(→+∞)，空间中的船和送客间的距离愈大(→+∞)，视野中的孤帆在水天一色中消逝(→+0)，而心情却愈加凝重，感伤心理油然而生(+∞)。这里把数学中极限思想与文学美整合到了一起，形成了一幅感人的画面。由此，我们不仅寻找到了数学的源泉，而且将抽象的极限概念经过具有时间、地点、人物和情节的唐诗诠释后变得情真意切。

31. 　总之，作为数学教师应该站在数学文化的制高点上，以深邃的数学眼光、辽阔的数学视野、宽广的数学胸怀、浓郁的人文气息、鲜明的人文关怀，努力在数学教学的同时，实现学生智慧潜能的开发、数学文化素质的提高和创新精神与实践能力的培养。　总之，作为数学教师应该站在数学文化的制高点上，以深邃的数学眼光、辽阔的数学视野、宽广的数学胸怀、浓郁的人文气息、鲜明的人文关怀，努力在数学教学的同时，实现学生智慧潜能的开发、数学文化素质的提高和创新精神与实践能力的培养。 　　可以相信，当数学文化的魅力真正渗入教材，到达课堂，溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、爱好数学、创造数学。 　　昨夜江边春水生，艨艟巨舰一毛轻，向来枉费推移力，此日中流自在行。 ——朱 熹 让我们共同努力，做这一江春水吧！

32. 参考文献： ［1］《数学文化学》 郑毓信等著 四川教育出版社 2001年1月； ［2］《数学与文化》 邓东皋等编 北京大学出版社 1990年5月； ［3］《数学文化》 张楚廷著 高等教育出版社 2000年7月； ［4］《数学与文化》 齐名友著 湖南教育出版社 1990年6月； ［5］《数学科学与人文的共同基因》 欧阳维诚著 湖南师范大学出版社 2000年7月。

33. 谢谢！