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UNIDAD 2: ALGEBRA

UNIDAD 2: ALGEBRA. “Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones”. En esta actividad aprenderás a:. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, sean éstas numéricas, literales o fraccionarias.

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UNIDAD 2: ALGEBRA

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  1. UNIDAD 2: ALGEBRA “Ecuaciones de primer y segundo grado. Sistemas de ecuaciones”

  2. En esta actividad aprenderás a: • Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, sean éstas numéricas, literales o fraccionarias . • Reconocer los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, estableciendo las diferencias entre un procedimiento y otro. • Reconocer cuándo un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y cuándo no tiene solución. • Aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas de planteo.

  3. Contenidos Ecuación de primer grado con una incógnita Ecuaciones numéricas Ecuaciones literales Ecuaciones fraccionarias Función cuadrática Concavidad Ecuación de 2º grado Raíces de una ecuación cuadrática Discriminante Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución Igualación Sustitución Reducción

  4. Ecuación de primer grado Es aquella, en que el mayor exponente de la incógnita es 1 y, por lo tanto, tiene una solución.

  5. a) 5x + 10 = 2x + 22 4 es solución de la ecuación, es decir, al reemplazar 4 en la ecuación, se cumple la igualdad. 3x = 12 3 3 Ecuaciones numéricas Ejemplos: / Restando 2x 5x - 2x +10 = 2x + 22 -2x 3x + 10 = 22 / Restando 10 3x + 10 – 10 = 22 - 10 / Dividiendo por 3 3x = 12  x = 4

  6. b) 10x + 7 - 6x + 9 = 4x + 16 / Reduciendo términos semejantes / Restando 16 4x + 16 = 4x + 16 4x + 16 – 16 = 4x + 16 - 16 / Restando 4x 4x = 4x 4x – 4x = 4x – 4x 0 = 0 Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y se llega a una igualdad, la ecuación tiene “INFINITAS SOLUCIONES”, es decir, para cualquier valor de x se cumple la igualdad.

  7. c) 8x + 2 + 3x = 9x + 12 +2x / Reduciendo términos semejantes 11x + 2 = 11x + 12 / Restando 2 11x + 2 -2 = 11x + 12 -2 11x = 11x + 10 / Restando 11x 11x – 11x = 11x + 10 – 11x 0 = 10 Cuando en una ecuación, las incógnitas se eliminan y NO se llega a una igualdad, la ecuación “ NO TIENE SOLUCIÓN”, es decir, no existe un valor para x que cumpla la igualdad.

  8. a) px + q = qx + p / Dividiendo por (p-q), con p = q. Ecuaciones literales Ejemplos: Determinar el valor de x en las siguientes ecuaciones: / - qx px + q – qx = qx + p - qx px + q – qx= p / - q px + q – qx - q = p - q / Factorizando por x px – qx = p - q x(p– q) = p - q x = 1

  9. b) a(x + b) = ac - ax / Dividiendo por 2a, con a = 0 x = (c – b) 2ax = a(c – b) 2a 2 2a / Multiplicando ax + ab = ac - ax / Sumando ax ax + ax + ab = ac - ax + ax 2ax + ab = ac / Restando ab 2ax + ab - ab = ac - ab 2ax = ac - ab / Factorizando por a 2ax = a(c – b)

  10. . 3 3 1 3 3 1 3 x + = x - 2 5 5 10 5 10 10 15 3 x + = x - 2 5 3 10∙ x + x – 10∙2 10∙ 10∙ = 5 Ecuaciones fraccionarias Un método muy útil para resolverlas es eliminar los denominadores y dejarlas lineales. Ejemplo: Determine el valor de x en la siguiente ecuación: / Simplificando / Multiplicando por 10 / Simplificando 2∙3x + 2∙1 = 1∙3x - 20 6x + 2 = 3x - 20

  11. 3x = -22 3 3 x = -22 3 6x + 2 = 3x -20 / Restando 3x 6x - 3x + 2= 3x – 3x - 20 / Restando 2 3x + 2= -20 3x + 2 - 2 = -20 - 2 3x = -22 / Dividiendo por 3

  12. con a =0; a,b,c  R Función Cuadrática Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c y su gráfica es una parábola. Ejemplos: a = 2, b = 3 y c = 1 a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1  b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 a = 4, b = -5 y c = -2 

  13. Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

  14. Ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces, que corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + ccon el eje X. x1 x2

  15. y x Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4, la ecuación asociada: x2 - 3x - 4= 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intercepta al eje X en esos puntos. x1 x2

  16. -b ± b2 – 4ac x = 2a -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) x = 2 3 ± 9 + 16 x = 2 Raíces de una ecuación de 2° grado Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado: Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0

  17. x = 2 3 ± 5 x = 2 -2 8 x = x = 2 2 3 ± 25 x1 = 4 x2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomio: x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0  (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x1 = 4 x2 = -1

  18. Δ = b2 -4ac Discriminante El discriminante se define como: a)Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0

  19. b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática tiene no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

  20. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene única solución. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. Δ = 0

  21. Sistemas de Ecuaciones Es un conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita. Para determinar el valor numérico de cada una de ellas, debe existir la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, es decir, si hay 3 incógnitas, debe haber 3 ecuaciones distintas.

  22. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas • Igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema.

  23. 1) 2x + 3y = 7 2) x - 4y = -2 x = 7 - 3y 7 - 3y 2 2 = -2 + 4y Ejemplo: Despejando x en ambas ecuaciones: 1) 2x + 3y = 7 2) x - 4y = -2 2x = 7 - 3y x = -2 + 4y Igualando ambas ecuaciones:

  24. = -2 + 4y 7 - 3y 2 / Multiplicando por 2 / + 3y 7 – 3y = -4 + 8y 7 – 3y + 3y = -4 + 8y + 3y / + 4 7 = -4 + 11y 7 + 4= -4 + 11y + 4 / :11 11= 11y 1= y Reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema se determina el valor de x.

  25. Reemplazando y = 1 en la ecuación 2) : x = -2 + 4y x = -2 + 4 · (1) x = -2 + 4 x = 2 La solución corresponde al punto de intersección de 2 rectas. Las rectas se intersectan en el punto (x,y), en este caso,(2,1). Si las rectas son paralelas, no existe solución. Si las rectas son coincidentes, tiene infinitas soluciones.

  26. 1) 2x + 3y = 7 2) x - 4y = -2 • Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se reemplaza en la otra ecuación, despejando la única variable que queda. El resultado que se obtiene se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema. Ejemplo:

  27. Despejando x en la ecuación 2) 2) x - 4y = -2 x = -2 + 4y Reemplazando x en la ecuación 1) 1) 2x + 3y = 7 2(-2 + 4y) + 3y = 7 / Multiplicando -4 + 8y + 3y = 7 / Sumando 4 11y = 7 + 4 11y = 11 / Dividiendo por 11 y = 1 x = -2 + 4y  Como x = -2 + 4 ·(1)  x = 2

  28. 1) 2x + 3y = 7 2) x - 4y = -2 • Reducción: Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema Luego, se suman o restan ambas ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo:

  29. 1) 2x + 3y = 7 1) 2x + 3y = 7 2) x - 4y = -2 2)-2x + 8y = 4 Para eliminar x, multiplicaremos la ecuación 2) por -2 / · (-2) / Sumando ambas ecuaciones (+) 11y = 11 / Dividiendo por 11 / Reemplazando y=1 en la ec. 2) y = 1 2) x - 4y = -2 x - 4 ·(1) = -2 x = -2 + 4 x = 2

  30. 1) c + k = 55  2) 2c + 4k = 170  Ejerciciosde Aplicación 1. Se tienen canguros y koalas, si hay 55 cabezas y 170 patas, ¿cuántos canguros y koalas hay? Solución: Sea c: N° de canguros y k: N° de koalas Como los canguros tienen 2 patas y los koalas 4, la cantidad total de patas de canguro será 2c y el total de patas de koala 4k.

  31. 1) c + k = 55 2) 2c + 4k = 170 1) -2c - 2k = -110 2) 2c + 4k = 170 Con estas dos ecuaciones se forma el siguiente sistema de ecuaciones: /·(-2) / Sumando ambas ecuaciones (+) 2k = 60 k = 30 / Reemplazando K=30 en la ec. 1)  1) c + k = 55 c + 30 = 55  c = 55 - 30  c = 25 Por lo tanto, hay 25 canguros y 30 koalas.

  32. 2. 3x + 2y = 4 3x + 2y = 4 9x + 6y = 12 9x + 6y = 12 -9x + -6y = -12 9x + 6y = 12 Determinar x e y. Solución: /·(-3) / Sumando ambas ecuaciones (+) 0 = 0 Se eliminaron las incógnitas y llegamos a una igualdad, por lo tanto, el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.

  33. a + 2b + 3c = 51 2a + 3b + c = 72 3a + b + 2c = 57 (a + b + c) = 180 6 3. Determinar: a + b + c. / Sumando las tres ecuaciones (+) 6a + 6b + 6c = 180 / Factorizando por 6 6(a + b + c) = 180 / Dividiendo por 6 (a + b + c) = 30

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