Curso de Nivelamento Razão, Proporção e Regra de Três

1. Curso de NivelamentoRazão, Proporção e Regra de Três Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo Recife

2. Contatos • Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo • Apelido: Alexandre Cordel • E-mail/gtalk: alexandrecordel@gmail.comgreinaldo@fbv.edu.br • Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv • Celular: (81) 9801-1878

3. Roteiro • Razão • Proporção • Proporções Especiais • Porcentagem • Escala • Regra de Três Simples (Direta e Inversa) • Regra de Três Composta

4. a a e lê-se razão de a para b. ou : a b b b Razão • A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”. • A razão representa-se por uma fração: • Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por: Termos Antecedente Termos Consequente

5. Exemplo Razão • Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres. • Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres? • Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens? Numa razão é muito importante verificar a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas

6. Exemplo Razão. • A capacidade total de um reservatório é de 1000 L. Nesse momento, o reservatório contém 750 L de água. Qual é a razão entre a quantidade que o reservatório contém nesse momento e a sua capacidade total?

7. Exemplo Razão. • Qual é o número fracionário que representa a razão entre a área total e a área da região em vermelho deste retângulo?

8. a c a c d b d b = = : : c d a b = Proporção • Definição: • Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. lê-se“a está para b assim como c está para d”… Extremo Meio Extremo Extremo Meio Meio

9. a c b d = bc ad = Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Meio Extremo Meio Extremo

10. Proporção Exemplos: É proporção Não é proporção

11. Exercícios de aplicação 1. Descubra o termo que falta em cada uma das proporções: 2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9 5 x 20 = ? x 25 100 = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4 2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9. O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó? 2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54

12. Números Diretamente Proporcionais

13. Números Inversamente Proporcionais

14. Vejamos um exemplo: • Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade média. (V=Distância/tempo) • Obs: distância aproximada

15. Escala • Chamamos escala de um desenho à razão entre as dimensões da figura e as dimensões reais. Escala = • A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Como sabes, para representar a superfície da Terra no seu todo ou em parte numa folha de papel temos de reduzir a realidade. Por exemplo, se quiseres representar Portugal Continental numa folha de papel A4 tens de reduzir a dimensão do país cerca de 1,9 milhões de vezes.

16. Escala No modelismo ferroviário existem diversas escalas, - ou, para os menos familiarizados com esta matéria, diversos "tamanhos - de representação dos objectos reais. Por exemplo, a escala 1:160, significa que um centímetro do desenho representa 160 centímetros da realidade. Desenho Realidade Nota que… Escala é uma razão entre as medidas de um desenho e as que lhes correspondem na realidade.

17. Escala • O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção. Exemplo: Observemos as figuras dos barcos ao lado: • Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4 • Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8 • Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6

18. Exemplo Escala • Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins, é 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é 700km, qual a escala utilizada no mapa?

19. Proporções Especiais • Densidade Demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região. Densidade Demográfica = número de habitantes área

20. Exemplo Densidade Demográfica • De acordo com dados do IBGE ( Estimativa da população – julho de 2009), a população brasileira era de aproximadamente 191.480.630 habitantes. Se o Brasil ocupa uma área territorial de 8.514.876 km quadrados , qual era a densidade demográfica do Brasil em julho de 2009?

21. Proporções Especiais • Velocidade Média é a distância percorrida em determinado tempo. Velocidade Média = distância percorrida tempo gasto

22. Exemplo Velocidade Média • Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

23. Porcentagem • Toda razão onde o consequente b = 100, pode ser representada por % (por cento).

24. Calculando Porcentagens • De acordo com uma publicação da Divisão de População da Organização da Nações Unidas (ONU), a população mundial, em 2008, era de 6,8 bilhões de habitantes, aproximadamente. • Fazendo uma projeção para o ano 2050, esse mesmo órgão da ONU estimou o crescimento da população mundial em 35%, no período 2008-2050. De acordo com essa estimativa, qual seria, aproximadamente, a população mundial em 2050? Fonte:www.un.org/esa/population . Acesso em :26 ago.2009.

25. Regra de Três • A regra de três é simplesmente um método para resolver as proporções sem precisar de armá-las. • A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles. • Tabela de Valores • A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

26. Faz-se assim: Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão. Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo. Pesquisa google;julho 2008

27. Regra de Três • Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade. • Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

28. Primeiro colocamos o problema em uma tabela: Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou. Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais. • Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

29. No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo: Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

30. Regra de Três O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo? Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a: Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

31. Regra de Três composta Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior: Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m? Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

32. Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada. Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos. Obtemos então a solução: 2 meses

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