1 / 50

Információelmélet

Információelmélet. Nagy Szilvia 8. Hamming-kódok. Információelmélet – Hamming-kódok. Hamming-kódok. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód. A Hamming-kódok olyan perfekt kódok, amelyek egy egyszerű hibát képesek kijavítani.

cheryl
Download Presentation

Információelmélet

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Információelmélet Nagy Szilvia 8. Hamming-kódok 2005.

  2. Információelmélet – Hamming-kódok Hamming-kódok Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A Hamming-kódok olyan perfekt kódok, amelyek egy egyszerű hibát képesek kijavítani. Megközelítés: adott nk paritásszegmens-hosszhoz megtalálni a maximális k üzenethosszt, amelyre a kód egy hibát még tud javítani (azaz amelyre a kódtávolság még 2-nél nem kisebb).

  3. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Bináris Hamming-kódok esetén mind a tömörített üzenet, mind a kódszavak csak 0-kból és 1-esekből állnak: b{0,1}k, c{0,1}n. A csatorna által a v-ben létrehozott (egyetlen) hiba csak 1 nagyságú lehet, csak a pozíciója kérdéses.

  4. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Legyen a paritásmátrix Egy hiba esetén Δc egyetlen 1-est (és nk1 db nullát) tartalmaz, ha az az egyetlen 1-es az i-edik helyen van,

  5. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Írjuk egymás alá az összes lehetséges nem nulla szindrómát – az összes nem csupa nullából álló nk hosszúságú vektort: • Az így kapott HT paritásmátrixszal szorozzunk meg egy vektort, • A kapott szindrómát keressük meg HT-ben: ahányadik sorban az van, annyiadik helyen hibázott a csatorna. • Arra a helyre ellentétes bitet írunk, és a vektort kijavítottuk. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  6. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód HT oszlopainak száma nk, az összes lehetséges nk hosszú, 0-kból és 1-ekbők álló vektorok száma: Ebből egy tiszta nullából áll, így a HT sorainak száma: Néhány össze- tartozó n és k érték: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  7. a tiszta 0 vektor nem kell. egységmátrixot alkotnak, ők lesznek HT alsó 4 sora Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Nézzük az n=15, k=11 esetet, ha a kód szisz-tematikus. A HT oszlopainak száma 4, a 4 hosszúságú, 0-ból és 1-ből álló vektorok: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk HT felső n−k sorát

  8. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód A HT felső n−k sorát meghagyjuk, ez P’. P’ ellentettje – P – önmaga. Eléírjuk az egységmátrixot és megkapjuk G-t: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  9. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Legyen a k=11 hosszú üzenet: b=( 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ). A hozzárendelt c kódszó: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód c paritásszegmense c üzenetszegmense

  10. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája (HT-vel vett szorzata): Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  11. 8. helyen van a hiba 8. sor ezt a bitet kell kicserélni a paritás-szegmenst el kell hagyni dekódolt üzenet Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája (HT-vel vett szorzata): Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  12. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. és 12. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája (HT-vel vett szorzata): Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  13. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Tegyük fel, hogy a 8. és 12. helyen hibázott a csatorna, a kapott vektor helyett A szindrómája (HT-vel vett szorzata): Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód eszerint a 13. helyen van a hiba, ott javítva rossz üzenetet kapunk a Hamming-kód egynél több hiba javítására nem alkalmas, nem is módosítható úgy, hogy alkalmas legyen

  14. a tiszta 0 vektor nem kell. egységmátrixot alkotnak, ők lesznek HT alsó 3 sora A többi vektort tetszőleges (itt csökkenő) sorrendben felírva megkapjuk HT felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Nézzük az n=7, k=4 esetet, szisztematikus kódra. A HT paritásmátrix oszlopainak száma 3, a 3 hosszúságú, 0-ból és 1-ből álló vektorok: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  15. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód A HT felső n−k sorát meghagyjuk, eléírjuk az egységmátrixot és megkapjuk G-t: Legyen a vett (csatornakódolt és torzult) üzenet 1 1 0 0 0 1 0 és 1 1 0 0 1 0 0. Mik lehettek az eredeti (tömörített) üzenetek, mivé dekódolja a vevő őket? Hányadik pozícióban rontott a csatorna?( Emlékeztetőül a paritásmátrix: ) Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  16. Információelmélet – Hamming-kódok Bináris Hamming-kód Ellenőrizük, hogy GHT=0: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  17. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1}halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és uV elemei között egy összeadás ( t + u GF(N)) és egy szorzás ( t  u GF(N)) amelyekre: 1.) • t + u = u + t (az összeadás kommutatív) • ha s GF(N), ( s + t )+ u = s + ( t + u ) (asszociatív) •  0, melyre  t  GF(N): t + 0 = t •  t  GF(N)-re  −t , melyre t + (−t ) = 0 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  18. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1}halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és uV elemei között egy összeadás ( t + u GF(N)) és egy szorzás ( t  u GF(N)) amelyekre: 2.) • tu = ut (a szorzás kommutatív) • ha s GF(N), ( st ) u = s ( tu ) (asszociatív) •  1, melyre  t  GF(N): t  1 = t •  t  GF(N)-re  t −1 , melyre t  ( t −1) = 1 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  19. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Egy számokból álló GF(N)={0, 1, …, N−1}halmaz véges test, vagy Galois-test, ha értelmezve van a t és uV elemei között egy összeadás ( t + u GF(N)) és egy szorzás ( t  u GF(N)) amelyekre: 3.) • ha s GF(N), s(t + u ) = st + su (+ és  disztributív) •  t  GF(N): t  0 = 0. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  20. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Példa: a {0,1} halmaz a következő szorzó és összeadó táblával: Ez a hagyományos összeadás és szorzás azzal a kitétellel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor a 2-vel való osztás utánimaradékát vesszük. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  21. Ezek teljesülése egyértelmű: a modulo 5 osztás és az összeadás felcserélhető a nullelem a 0 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4}elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 1.) • t + u = u + t • ha s GF(N), ( s + t )+ u = s + ( t + u ) •  0, melyre  t  GF(N): t + 0 = t •  t  GF(N)-re  −t , melyre t + (−t ) = 0 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  22. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről 1.) •  t  GF(N)-re  −t , melyre t + (−t ) = 0 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód nem véges testek esetén egy szám ellentettje negatív lenne. Vegyük ennek 5-tel való osztása után keletkező maradékot, ez lesz a szám ellentettje:

  23. Ezek teljesülése egyértelmű: a modulo 5 osztás és a szorzás felcserélhető az egységelem az 1 Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4}elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 2.) • tu = ut • ha s GF(N), ( st ) u = s ( tu ) •  1, melyre  t  GF(N): t  1 = t •  t  GF(N)-re  t −1 , melyre t  ( t −1) = 1 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  24. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről 2.) •  t  GF(N)-re  t −1 , melyre t  ( t −1) = 1 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód nem véges testek esetén egy szám inverze tört lenne. Az 5 prímszám, sem 2, sem 3, sem pedig 4 nem osztója, ha ezek közül kettőt összeszorzunk, nem kaphatunk 0 maradékot. A szorzótáblájuk:2 inverze 3, 3-é 2, 4-é pedig önmaga. (1 inverze eleve önmaga)

  25. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről 2.) •  t  GF(N)-re  t −1 , melyre t  ( t −1) = 1 Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód nem véges testek esetén egy szám inverze tört lenne. Az 5 prímszám, sem 2, sem 3, sem pedig 4 nem osztója, ha ezek közül kettőt összeszorzunk, nem kaphatunk 0 maradékot. A szorzótáblájuk: Egy t szám inverze a GF(5) véges testen belül az az elem amellyel összeszorozva az eredmény 5-tel osztva 1 maradékot ad.

  26. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Legyen GF(5)={0, 1, 2, 3, 4}elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak 5-tel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló 5 összeadás és szorzás) 3.) • ha s GF(N), s(t + u ) = st + su •  t  GF(N): t  0 = 0. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Ez a két feltétel is teljesül. Például: 3(2+1)=9≡4 mod 5 32+31=9≡4 mod 5

  27. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Az iménti eljárás általánosítható tetszőleges Nprímszámra: Legyen GF(N)={0, 1, …, N−1}elemei között értelmezett összeadás és szorzás a szokásos számok közötti összeadás és szorzás azzal a megkötéssel, hogy ha az eredmény kivezetne a halmazból, akkor annak N-nel való osztása utáni maradékát vesszük eredménynek (moduló N összeadás és szorzás). A véges számtest feltételei közül az ellentett és az inverz létezését kivéve mindegyik triviálisan teljesül. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  28. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Inverz és ellentett elemet az 5-ös esethez hasonlóan: • −t = N − t • A t−1: t  GF(N)={t0 + t 1 + t 2 + …+ +t (N−1)} számok mindegyike más és más, így közülük az egyik biztosan 1 (az t inverze, amelyikkel összeszorozva az 1-et adja). Indoklás: Legyen s ≠ u , s, u GF(N). Ha ts = tu , akkor így s −u = 0, ami ellentmond a kezdőfeltételnek. (vagy t=0, de az nem érdekes) Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  29. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Egy tGF(N) elem hatványait is lehet értelmezni, mint önmagával vett szorzatait: Rekurzív definícióval tn-edik hatványa: • adott t1=t • amíg i < n • t i + 1 = t i  t. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  30. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről A tGF(N) elem rendje Az 1 rendje 1, a 0-nak nincs rendje. Az a tGF(N) elem, amelyre t első N−1 hatványa mind különböző a véges test primitíveleme. Minden sGF(N) előáll a primitívelem hatványaként. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  31. mindkettő lehet primitívelem, a 3-at választjuk. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Nézzük meg a GF(5) elemeinek hatványait, rendjeit és azt, hogy hogyan állnak elő a primitívelemből: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  32. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Nézzük a GF(7) elemeinek szorzótábláját, inverzeit, hatványait, rendjeit és azt, hogy hogy állnak elő a primitívelemből: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Minden „≡” jel modulo 7 ekvivalenciát jelent.

  33. Információelmélet – Hamming-kódok Matematikai kitérő – Véges testekről Nézzük a GF(7) elemeinek szorzótábláját, inverzeit, hatványait, rendjeit és azt, hogy hogy állnak elő a primitívelemből: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Minden „≡” jel modulo 7 ekvivalenciát jelent.

  34. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Nembináris Hamming-kódok esetén mind a tömörített üzenet, mind a kódszavak csak 0-n és 1-esen kívül más egész számokat is tartalmaznak: b{0, 1, …, N1}k, c{0, 1, …, N1}n, ahol N prím. A csatorna által a v-ben létrehozott (egyetlen) hiba nem csak 1 nagyságú lehet, így a pozícióján kívül a nagyságát is ki kell találni. Írjuk fel a paritásmátrixot itt is alakban. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  35. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Egyetlen hiba esetén a Δc hibavektor egyetlen nem nulla elemet (és nk1 db nullát) tartalmaz. Legyen a hiba nagysága Δc, és legyen az i-edik pozícióban. Ekkor a szindróma: Ha HT sorainak – hi-knek – első nem nulla eleme 1, akkor a szindróma első nem nulla eleme pont Δc lesz. Írjuk egymás alá az összes lehetséges olyan nem nulla, nk hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  36. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Írjuk egymás alá az összes lehetséges olyan nem nulla, nk hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1: ha az így kapott HT paritásmátrixszal szorzunk meg egy vektort, a kapott szindróma első nem nulla eleme lesz a hiba nagysága (Δc). A szindrómát a hiba nagyságával elosztva kapott új vektort (s/Δc) megkeressük HT-ben, ahányadik sorban az van, annyiadik helyen hibázott a csatorna. Azon a helyen a kapott hibanagysággal (Δc-vel) korrigálunk, és a vektort kijavítottuk. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  37. a nem csupa nulla nk hosszú vektorok száma Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Az összes lehetséges olyan nem nulla, nk hosszúságú vektort, amelynek az első nem nulla eleme 1 száma, azaz az n kódszóhossz: Átrendezve: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód az első nem nulla elem N1-féle lehet, ebből nekünk egy felel meg (az 1-es)

  38. a Hamming-kódok perfekt kódok Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A gömbpakolási korlát (Hamming-korlát) n=1 hibára (r=N):

  39. egységmátrixot alkotnak, ők lesznek HT alsó 2 sora A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk HT felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Legyen N=7, nk =2 és a kód szisztematikus. Ekkor n=8, k=6. A HT oszlopainak száma 2, az olyan 2 hosszúságú vektorok, amelyeknek az első nem 0 eleme 1: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  40. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód HT felső hat sorának ellentetteiből álló P mátrix: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  41. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Eléírva a 6×6-os egységmátrixot megkapjuk a kód generátormátrixát. Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Legyen a kódolandó üzenet b = 3 5 1 2 2 6. A kapott kódszó c=b∙G = 3 5 1 2 2 62 3

  42. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód A csatorna hibázzon a negyedik pozícióban 3-at. Az üzenet ekkor3 5 1 2 2 6 2 3 helyett3 5 1 5 2 6 2 3 lesz. A kapott szindróma: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  43. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A szindróma első nem nulla eleme 3, azzal osztva a kapott vektor (1 1). Ez a HT mátrix negyedik sora. A negyedik helyen levő számból levonunk 3-at, majd elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet: (3 5 1 2 2 6) -ot

  44. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód A csatorna hibázzon a nyolcadik pozícióban 5-öt. Az üzenet ekkor 3 5 1 2 2 6 2 3 helyett 3 5 1 2 2 6 2 1 lesz. A kapott szindróma: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  45. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód A csatorna hibázzon a nyolcadik pozícióban 5-öt. Az üzenet ekkor 3 5 1 2 2 6 2 3 helyett 3 5 1 2 2 6 2 1 lesz. A kapott szindróma: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A szindróma első nem nulla eleme 5, azzal osztva a kapott vektor (0 1). Ez a HT mátrix nyolcadik sora. A 8. helyen levő számból levonunk 5-öt. (Az 5 levonása ekviva-lens 5≡2 mod 7 hozzáadásával) Elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet: (3 5 1 2 2 6) -ot

  46. egységmátrixot alkotnak, ők lesznek HT alsó 3 sora A többi vektort tetszőleges sorrendben felírva megkapjuk HT felső n−k sorát Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Legyen N=3, nk =3 és a kód szisztematikus. Ekkor n=13, k=10. A HT oszlopainak száma 3, az olyan 3 hosz-szúságú vektorok, amelyeknek az első nem 0 eleme 1: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  47. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód HT felső hat sorának ellentetteiből álló P mátrix: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  48. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód A P mátrixból keletkezett G: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód Legyen a kódolni kívánt üzenet b = 1 1 0 2 1 2 0 0 1 2 . A kapott kódszó c = b ∙ G = 1 1 0 2 1 2 0 0 1 21 1 1

  49. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód A csatorna hibázzon a negyedik pozícióban 2-t. Az üzenet ekkor1 1 0 2 1 2 0 0 1 2 1 1 1 helyett1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 lesz, mivel 2+2=4≡1 mod 3. A kapott szindróma: Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód

  50. A negyedik helyen levő számból levonunk 2-t azaz hozzáadunk 32=1-et, majd elhagyjuk a paritásszegmenst, így megkapjuk az eredeti üzenetet. Információelmélet – Hamming-kódok Nembináris Hamming-kód Hamming-kódok Definíció Bináris Hamming-kód Véges számtestek Nembináris Hamming-kód A szindróma első nem nulla eleme 2, azzal osztva a kapott vektor: (1 0 2), mivel 1/2 = 1 ∙ 21 = 1 ∙ 2 (2∙2=4≡1 mod 3, így 2 inverze önmaga). Ez a HT mátrix negyedik sora.

More Related