Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia

1. ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia Anno scolastico 2008/2009

2. INDICE • Introduzione • Definizionedi limite, definizione topologica e grafico • Definizione limite destro e limite sinistro e grafico

3. CALCOLO DEI LIMITI Per limite di una funzione Y = f(x) per X tendente ad un certo valore che indichiamo con X0, si intende il valore che la funzione tende a raggiungere quando alla variabile indipendente X attribuiamo i valori che si avvicinano sempre più a X0.

4. Una funzione ammette limite L per x→xo quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→xo Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL 0 a X0 b X

5. Una funzione ammette limite L per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→ + Y Il l ∀ILƎI+:f(I+)CIL 0 X +

6. Una funzione ammette limite L per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Lim f(x)= L x→ - Y l Il ∀ILƎI-:f(I-)CIL X 0 -

7. Lim f(x)= L x→  Una funzione ammette limite L per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L. Y ∀ILƎI  :f(I )CIL 0 X I - I +

8. Lim f(x)= + x→xo Una funzione ammette limite + per x→ xoquando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + 0 ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ X I xo

9. Lim f(x)= + x→ + Una funzione ammette limite + per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ 0 X I +

10. Lim f(x)= + x→ - Una funzione ammette limite + per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ 0 X I -

11. Una funzione ammette limite + per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +. Lim f(x)= + x→  Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X 0 I - I +

12. Una funzione ammette limite - per x→ xoquando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Lim f(x)= - x→ xo I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- 0 xo X I -

13. Lim f(x)= - x→ + Una funzione ammette limite - per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. I + Y 0 X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

14. Lim f(x)= - x→ - Una funzione ammette limite - per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Y I - 0 X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

15. Una funzione ammette limite - per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -. Lim f(x)= - x→  I - I + Y 0 X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

16. Lim f(x)=  x→ xo Una funzione ammette limite  per x→ xoquando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y 0 X I xo ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I -

17. Lim f(x)=  x→ + Una funzione ammette limite  per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y I - ∀IƎI+:f(I+)CI 0 X I -

18. Lim f(x)=  x→ - Una funzione ammette limite  per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . I + Y 0 X ∀IƎI-:f(I-)CI I -

19. Lim f(x)=  x→  Una funzione ammette limite  per x→  quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di . Y I + I - X 0 ∀IƎI:f(I)CI I + I -

20. LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO Essendo L1≠L2 diremo che per x→xo contemporaneamente da destra e da sinistra, la funzione non presenta un unico limite. Una funzione può ammettere un certo limite per x→xo quando esiste il limite destro, esiste il limite sinistro e i due valori sono coincidenti.

21. Y= f(X) Y Y L2 Y= f(X) I L2 n I n f (xo) = n m L1 0 0 a xo X a xo b X I xo I xo

22. INDIS • Introduzion • Definision di limits, definision topologiche e grafiche • Definision di limit diestri e sinistri e grafiche

23. CALCUL DAI LIMITS Par limit di une funzion Y = f(x) par X tindint a un cert valôr che indichin cun X0, si intindt il valôr che le funzion tind a raggiungi cuànt a le variabile indipendent X e attribuin i valôrs che si avisinin simpri di pui a X0.

24. Une funzion e amet el limit L par x→ xo cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di xo, par dutes les x dal qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. Lim f(x)= L x→xo Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL 0 a X0 b X

25. Lim f(x)= L x→ + Une funzion e amet el limit L par x→ + cuànd, cjapat un cualsiasi intorn di L, esist amàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L. Y Il l ∀ILƎI+ :f(I+)CIL 0 X +

26. Lim f(x)= L x→ - Une funzion ammet limit L par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. Y l Il ∀ILƎI- :f(I-)CIL 0 X -

27. Lim f(x)= L x→  Une funzion ammet limit L par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di L, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L. Y ∀ILƎI:f(I)CIL 0 X I - I +

28. Lim f(x)= + x→ xo Une funzion ammet limit + par x→ xocuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ 0 X I xo

29. Lim f(x)= + x→ + Une funzion ammet limit + par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ 0 X I +

30. Lim f(x)= + x→ - Une funzion ammet limit + par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ 0 X I -

31. Lim f(x)= + x→  Une funzion ammet limit + par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +. Y I + ∀I+ƎI:f(I)CI+ X 0 I - I +

32. Lim f(x)= - x→ xo Une funzion ammet limit - par x→ xocuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I xo Y ∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI- 0 xo X I -

33. Lim f(x)= - x→ + Une funzion ammet limit - par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I + Y 0 X ∀I-ƎI+:f(I+)CI- I -

34. Lim f(x)= - x→ - Une funzion ammet limit - par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. Y I - 0 X ∀I-ƎI-:f(I-)CI- I -

35. Lim f(x)= - x→  Une funzion ammet limit - par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -. I - I + Y 0 X ∀I-ƎI:f(I)CI- I -

36. Lim f(x)=  x→ xo Une funzion ammet limit  par x→ xocuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y 0 X ∀IƎIxo:f(Ixo)CI I xo I -

37. Lim f(x)=  x→ + Une funzion ammet limit  par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y I - ∀IƎI+:f(I+)CI 0 X I -

38. Lim f(x)=  x→ - Une funzion ammet limit  par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . I + Y ∀IƎI-:f(I-)CI 0 X I -

39. Lim f(x)=  x→  Une funzion ammit limit  par x→  cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di , esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di . Y I + I - X ∀IƎI:f(I)CI 0 I + I -

40. LIMIT DIESTRI E LIMIT SINISTRI Essind L1≠L2 e disin che par x→ xo contemporaneamentri di diestri e di sinistre, le funzion no presente un unic limit. Une funzion e po ameti un cert limit par x→ xo cuànt cal esist el limit diestri, esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens.

41. Y= f(X) Y Y L2 Y= f(X) I L2 n I n I n f (xo) = n m L1 0 0 a xo X a xo b X I xo I xo

42. INDEX • Introduction • Definition of limit, definition topologies and graph • Definition of right limit, left and graph

43. CALCULATION OF LIMITS For limit of a function Y = f(x) for X tending about at some value to denote by X0, means the value that the function tends to reach when we attach to the independent variable X values that were close to more X0.

44. Lim f(x)= L x→xo One function admits limit L for x→ xo when, taken any around of L, there is at least one around of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y a l ∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL 0 a X0 b X

45. One function admits limit L for x→+ when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Lim f(x)= L x→ + Y Il l ∀ILƎI+:f(I+)CIL 0 X +

46. Lim f(x)= L x→ - One function admits limit L for x→- when, taken any around of L, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y l Il ∀ILƎI-:f(I-)CIL 0 X -

47. Lim f(x)= L x→  One function admits limit L for x→  when, taken any around of L, there is at least one around of, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of L. Y ∀ILƎI:f(I)CIL 0 X I - I +

48. Lim f(x)= + x→xo One function admits limit + for x→xowhen, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+ 0 X I xo

49. Lim f(x)= + x→ + One function admits limit + for x→+ when, taken any around of +, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎI+:f(I+)CI+ 0 X I +

50. Lim f(x)= + x→ - One function admits limit + for x→- when, taken any around of +, there is at least one around of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of +. Y I + ∀I+ƎI-:f(I-)CI+ 0 X I -