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Laplace 变换 ---- 拉氏变换

象函数. 原函数. Laplace 变换 ---- 拉氏变换. 1 当 t<0 时，； t≥0 时， f(t) 在每个有限区间上是分段连续的； 2 当 t→Q 时， f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 M>0 及 c≥0 ，使得. f(t) 的拉氏变换. 拉氏逆变换. 从拉氏变换 F ( s ) 求时间函数 f ( t ) 的过程。. t ≥ 0. 常用函数的拉氏变换. (1) 指数函数. A 和 α 为常数. 指数函数在复平面内将产生一个 极点 。. A =1. 单位阶跃信号. (2) 阶跃函数. A 为常数. A =1.

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Presentation Transcript

  1. 象函数 原函数 Laplace变换----拉氏变换 1 当t<0时，； t≥0时，f(t)在每个有限区间上是分段连续的； 2 当t→Q时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M>0及c≥0，使得 f(t)的拉氏变换

  2. 拉氏逆变换 从拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的过程。 t≥0

  3. 常用函数的拉氏变换 (1) 指数函数 A和α为常数 指数函数在复平面内将产生一个极点。

  4. A=1 单位阶跃信号 (2) 阶跃函数 A为常数

  5. A=1 单位斜坡信号 (3) 斜坡函数 A为常数

  6. 欧拉公式 (4) 正弦函数 A和ω为常数

  7. 0 (5) 脉动函数 A和t0为常数 脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成

  8. A=1，ε→0时，称为单位脉冲信号或狄拉克(Disac)函数A=1，ε→0时，称为单位脉冲信号或狄拉克(Disac)函数 (6) 脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。

  9. A=1/2 单位抛物线信号 (7) 加速度函数 A为常数

  10. 若 K1、K2为常数 则 证明： 拉氏变换的性质 1 线性性质 线性性质也称叠加性质，即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时，其变换式也乘以相同的常数K。 这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。

  11. 求 的拉氏变换 解 根据欧拉公式 由拉氏变换的线性性质可知 用同样的方法可求得

  12. 若 ，则 是 在t=0时的初始值。 对于给定的时间函数， 和 的值可能 相同，也可能不同。 和 当 在t＝0处具有间断点时， 之间的差别很重要，因为此时df (t)/dt在t＝0处将包含一个脉冲函数 。即 证明：根据拉氏变换的定义，有 2 微分性质 则

  13. 是df (t)/dt在t＝0时的值 证明： 这个性质表明了一个时间函数f (t)求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以s，再减去这个函数的初始值f (0)。 一阶导数的微分性质可以推广到高阶导数。

  14. 在t＝0时的值。 是r阶导数 的各阶导数的拉氏变换存在， 为了保证 (n＝1,2,3,…)必须能够进行拉氏变换 及其各阶导数的所有初始值全都为零，则 如果 导出时间函数 的n阶导数微分性质

  15. 求余弦函数 的拉氏变换。 解 由于正弦函数 的拉氏变换 根据拉氏变换的微分性质，可以求得

  16. 化简得 求以下微分方程的拉氏变换，已知其各阶导数的初始值为零。 解 对上式两端取拉氏变换，得

  17. ，则 若 在t=0的值。 是 在t＝0处包含一个脉冲函数 如果 ，即 。 证明：借助部分积分法进行积分，得 3 积分性质

  18. … 为 的各重积分在t=0时的值 ， ， ， ，则有 如果 如果积分的初值为零，则 对于多重积分的拉氏变换，有

  19. 求图(a)所示的时间函数的拉氏变换。 时间函数f(t)、f′(t)和f″(t)的波形 解 时间函数f (t)的一阶、二阶导数如图(b)、(c)所示。

  20. f(t)的二阶导数为 由于 由位移和线性性质得 由积分性质得

  21. 若 ，则 此性质表明：时间函数乘以 ，相当于变换式 在复频域内平移α。 证明：根据拉氏变换的定义，得 上式的右方只是在F(s)中把s换成s+α，所以 4 位移性质

  22. 求 和 的拉氏变换。 解 已知 由拉氏变换的位移性质 同理，因 故有

  23. ，则 若 证明： 令 则 ，代入上式得 5 延迟性质

  24. 此性质表明：如下图所示的时间函数f(t)u(t)，若此性质表明：如下图所示的时间函数f(t)u(t)，若 在时间轴上延迟t0得到时间函数 ，则它的拉氏变换应乘以 0 0 函数f(t)u(t)和函数f(t－t0)u(t－t0)

  25. 已知 求 的拉氏变换。 解 因为 根据拉氏变换的延迟性质，得 又因为 根据拉氏变换的线性性质，得

  26. 若 ，则 证明： 令 ，则上式变成 6 尺度变换

  27. 解法一 由延迟性质得 再由尺度变换，即可求得结果 解法二 先用尺度变换性质。 然后由延迟性质求出 也即 已知 ，若a＞0，b＞0，求 。 解 此题既要用到尺度变换，也要用到延迟性质 两种解法其结果一致

  28. 若 存在，则 ，且 或 证明： 根据拉氏变换的微分性质，有 令 取极限得 内， 在时间区间 因此 于是 即 7 初值定理、终值定理 （1）初值定理

  29. 若时间函数 及其一阶导数都是可拉氏变 证明： 根据拉氏变换的微分性质，有 存在，则 换的, 而且 令 取极限得 于是 （2）终值定理

  30. 终值定理表明：时间函数 的稳态值与复频域中s＝0附近的 的值相同。因此， 在 时的值可以直接从 得到。 利用该性质，可在复频域中得到控制系统在时间域中的稳态值，利用该性质还可以求得控制系统的稳态误差。

  31. 已知 和 ，求 解 由于 由初值定理，得 由终值定理，得

  32. 拉氏逆变换 由象函数F(s)求原函数f (t)，可根据公式 t≥0 对于简单的象函数，可直接应用拉氏变换对照表，查出相应的原函数。 对于有理分式这类复杂象函数，通常先用部分分式展开法(也称海维赛德展开定理)，将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表，即可写出相应的原函数。

  33. 的拉氏逆变换 试求 解

  34. 一般系统，通常有如下形式的有理分式 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm都是实常数；m，n为正整数，通常m < n。 当分母A(s)=0时s的根，称为F(s)的极点； 当分子B(s)=0时s的根，称为F(s)的零点。

  35. 1. 只含不同极点的情况

  36. 试求 的拉氏逆变换 解 F(s)的部分分式展开为 又 则

  37. 试求 的拉氏逆变换。 解 因为分子多项式的阶次比分母多项式的阶次高，所以必须用分母去除分子。于是

  38. 2. 含共轭复极点的情况

  39. 的拉氏逆变换 试求 解 将F(s)分解因式为 则共轭复极点 分别求系数K1、K2和a3：

  40. 3. 含多重极点的情况

  41. 【例2.13】试求 的拉氏逆变换 解 当分母A(s)=0，s有四个极点，即：二重极点p1=－1和非重极点p3=0，p4=－3。 将F(s)展开成部分分式

  42. 得到F(s)的原函数f(t)为

  43. 卷积 1 概念 由傅氏变换的卷积性质得知：两个函数 的卷积是指 和 当t < 0时，

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