Capítulo 7

1. Capítulo 7 Teoría de Colas

2. Objetivos del Capítulo • La distribución Poisson y exponencial. • Cumplimiento de las medidas de seguridad para los modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m. • Análisis económico de los sistemas de colas • Balance de líneas de ensamble

3. 7.1 Introducción • Se estudian las filas de espera o colas. • El objetivo del análisis de colas es diseñar un sistema que permita la organización óptima de acuerdo a alguno criterios. • Criterios Posibles: - Ganancia máxima - Nivel de atención de deseado

4. El análisis de los sistemas de colas requiere de una comprensión de la medida del servicio apropiada. • Posibles medidas del servicio - Tiempo promedio de atención de clientes - Largo promedio de la cola - La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la cola para ser atendido.

5. 7.2 Elementos del proceso de colas • Un sistema de colas consta de tres componentes básicas: - Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de acuerdo a un patrón de llegada. -El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en una o más colas por el servicio. -Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.

6. Proceso de llegada a la cola. - Existen 2 tipos de procesos de llegada: * Proceso de llegada deterministico. * Proceso de llegada aleatoria. - El proceso aleatorio es más común en la empresa. - Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede describir el proceso aleatorio.

7. Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson : * Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo. * Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud. * Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro. - Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.

8. - l t k ( l t) e P ( X = k ) = k ! • Distribución de llegada Poisson Donde: l = esperanza de llegada de un cliente por unidad de tiempo t = intervalo de tiempo. e = 2.7182818 (base del logaritmo natural). k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

9. HARDWARE HANK’S • Un problema que ilustra la distribución Poisson. - Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución Poisson. - Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial. - ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana?

10. 0 0 SOLUCION 0 0 0 • Valores de entrada para la Dist. Poisson l= 6 clientes por hora. • t = 0.5 horas. • l t = (6)(0.5) = 3. 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 0 3 0 = 1 0.049787 0.149361 0.224042 0.224042 2 3 0! 1! 2! 3!

11. La fila de espera. - Factores que influyen en el modelo de colas: * Configuración de la fila * Tramposos * Contrariedades * Prioridades * Colas Tendem * Homogeneidad.

12. - Configuración de la fila * Una sola cola de servicio * Múltiples colas de servicio con una sola fila de espera * Múltiples colas de servicio con múltiples filas de espera. * Colas Tendem (sistema de servicios múltiples) - Tramposos * Corresponden a clientes que se mueven a través de la cola sin seguir los criterios de avance. - Contrariedades * Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.

13. - Reglas de prioridad * Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila. * Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido * Criterios de selección comúnmente usados: - Primero en entrar primero en salir (FCFS). - Ultimo en entrar primero en salir (LCFS). - Tiempo estimado de atención - Atención de clientes aleatoria. - Homogeneidad * Una población homogénea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio. * Una población no homogénea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo : + A los patrones de llegada + Al tipo de servicio requerido.

14. El proceso de servicio - Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención fijo. - Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía de acuerdo a la cantidad de clientes. - Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una variable aleatoria. - La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atención del cliente.

15. f(X) = me-mX Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.” P(X t) = 1 - e-mt • Distribución exponencial del tiempo de atención donde m = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo.

16. Ilustración esquemática de la distribución exponencial f(X) Probabilidad de que la atención sea completada dentro de “ t “ unidades de tiempo X = t

17. 7.3 Medida del performance de los sistemas de colas • El performance puede ser medido concentrandose en: - Los clientes en la cola - Los clientes en el sistema • Los períodos transitorios y estáticos complican el análisis del tiempo de atención.

18. Un período transitorio ocurre al inicio de la operación. - Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución. • Un período estacionario sigue al período transitorio. - En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo. - De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva. l< m l< m1 +m2+…+mk l< km Para un servidorPara k servidoresPara k servidores con tasa se serv. m cada uno

19. Medida del performance en períodos estacionarios. P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist. Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema. L = número de clientes promedio en el sistema. Lq = número de clientes promedio en la cola. W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido. r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).

20. Formulas - Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq. - Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones: * Sistemas de colas simples * Los clientes llegan según una tasa finita de llegada * El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios. L = l W Lq = l Wq L = Lq + l / m Para el caso de una población infinita.

21. Clasificación de las colas. - Los sistemas de colas pueden ser clasificados por: + Proceso de llegada de clientes + Proceso de atención + Número de servidores + Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas) + Tamaño de la población - Notación + M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención exponencial. +D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención +G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención Ejempo: M / M / 6 / 10 / 20

22. 7.4 Sistema de colas M/M/1 • Características - Proceso de llegada Poisson. - El tiempo de atención se distribuye exponencialmente - Existe un solo servidor - Cola de capacidad infinita - Población infinita.

23. Medidas del Performance para la cola M / M /1 • P0 = 1- (l/m) • Pn = [1 - (l/m)] (l/m)n • L = l/(m - l) • Lq = l2/ [m(m - l)] • W = 1 / (m - l) • Wq = l/ [m(m - l)] • Pw = l/m • r = l/m La probabilidad de que un cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-(m - l)t

24. Zapatería Mary’s • Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson. • El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente. • La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

25. Pw = l/m = 0.6667 r = l/m = 0.6667 SOLUCION • Datos de entrada • l = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora. • m = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora. • Calculo del performance • P0 = 1- (l/m) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333 • Pn = [1 - (l/m)] (l/m) = (0.3333)(0.6667)n • L = l/ (m - l) = 2 • Lq = l2/ [m(m - l)] = 1.3333 • W = 1 / (m - l) = 0.4 horas = 24 minutos • Wq = l/ [m(m - l)] = 0.26667 horas = 16 minutos

26. m l Datos de entrada para WINQSB

27. Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance Medidas de performance

29. 7.5 Sistema de cola M/M/k • Características - Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza l. - El tiempo de atención se distribuye exponencialmente. - Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de m clientes. - Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.

30. Medidas de performance Para n<= k Para n > k

31. Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas por las formulas.

32. La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a: • La evaluación del nivel de servicio prestado. • El efecto de reducir el personal en un dependiente. OFICINA POSTAL TOWN • La oficina postal Town atiende público los Sábados entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m. • Datos - En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes. - Cada atención dura 1.5 minutos en promedio. - La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.

33. SOLUCION • Se trata de un sistema de colas M / M / 3 . • Datos de entrada l = 100 clientes por hora. m = 40 clientes por hora (60 / 1.5). Existe un período estacionario (l < km )? l = 100 < km = 3(40) = 120.

36. 7.6 Sistemas de colas M/G/1 • Supuestos - Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza l. - El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza m. - Existe un solo servidor. - Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.

37. Formula para L de Pollaczek - Khintchine. - Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar son necesarias.

38. TALLER DE REPARACIONES TED • Ted repara televisores y videograbadores. • Datos - El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas. - La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45 minutos. - Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson. - Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes. - El compra todos los repuestos necesarios. + En promedio, el tiempo de reparación esperado debería ser de 2 horas. + La desviación estándar esperada debería ser de 40 minutos.

39. Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para: 1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos; 2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

40. SOLUCION • Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención no es exponencial pues s1/m). • Datos • Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos) l = 1/ 2.5 = 0.4 clientes por hora. m = 1/ 2.25 = 0.4444 clientes por hora. s = 45/ 60 = 0.75 horas. • Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos) m = 1/2 = 0.5 clientes por hora. s = 40/ 60 = 0.6667 horas.

41. 7.7 Sistemas de colas M/M/k/F • Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamaño límite. • Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunquede todas formas la cola debe ser limitada. • Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite para la fila en el modelo.

42. Características del sistema M/M/k/F - La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza l. - Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se distribuye exponencialmente, con esperanza m. - El número máximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es “F”. - Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.

43. le = l(1 - PF) • Tasa de llegada efectiva. - Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo. - La probabilidad de que el sistema se complete es PF. - La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema (le).

44. COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN • Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio. • Datos - Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas. - Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio - En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.

45. Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria este disponible. • Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia. • El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson, y el proceso de atención se distribuye exponencialmente.

46. La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con: - La menor cantidad de líneas necesarias. - A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas. La gerencia esta interesada en la siguiente información: El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada. EL número promedio de clientes que están es espera. El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos. El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.

47. Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 • Datos de entrada • l = 10 por hora. • m = 20 por hora (1/ 3 por minuto). • WINQSB entrega: • P0 = 0.533, P1 = 0.133, P3 = 0.06 • 6.7% de los clientes encuentran las líneas ocupadas. • Esto es alrededor de la meta del 2%. sistema M / M / 1 / 5 sistema M / M / 1 / 4 SOLUCION P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032 P5 = 0.016 1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas La meta del 2% puede ser alcanzada. P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032 3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas Aún se puede alcanzar la meta del 2%

48. Con 5 líneas telefónicas 4 clientes pueden esperar en línea • Otros resultados de WINQSB Datos de entrada para WINQSB

50. 7.8 Sistemas de colas M/M/1//m • En este sistema el número de clientes potenciales es finito y relativamente pequeño. • Como resultado, el número de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes. • Características - Un solo servidor - Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada Poisson. - El tamaño de la población es de m clientes (m finito).