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LOGARITMOS DÍA 05 * 1º BAD CS

LOGARITMOS DÍA 05 * 1º BAD CS. Raíces y logaritmos. La potenciación tiene dos operaciones inversas: n a = √ b Raíz n-sima. a n = b n = log b Logaritmo a

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LOGARITMOS DÍA 05 * 1º BAD CS

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  1. LOGARITMOSDÍA 05 * 1º BAD CS

  2. Raíces y logaritmos • La potenciación tiene dos operaciones inversas: • n • a = √ b Raíz n-sima. • an = b • n = log b Logaritmo • a • IMPORTANTE: • En toda expresión o ecuación algebraica donde la incógnita esté en el exponente, para resolverla hay que aplicar logaritmos. • Ejemplo: 2x = 5

  3. 2.1 LOGARITMOS • DEFINICIÓN • Si a > o y a <> 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. • loga P = x ↔ ax = P • Ejemplos: • log3 9 = 2 ↔ 32 = 9 • log5 125 = 3 ↔ 53 = 125 • log10 10000 = 4 ↔ 104 = 10000

  4. Más ejemplos: • log3 81 = 4 ↔ 34 = 81 • log5 0,2 = - 1 ↔ 5-1 = 1 / 5 = 0,2 • log10 0,001 = - 3 ↔ 10 -3 = 1 / 1000 = 0,001 • log36 6 = 1/2 ↔ 361/2 = 6 (Raíz cuadrada) • log2 1/8 = - 3 ↔ 2 - 3 = 1 / 23 = 1 / 8 • Log1/2 1/4 = 2 ↔ (1/2)2 = 1 / 22 = 1 / 4

  5. Logaritmos decimales • Sea la expresión: • loga P = x ↔ ax = P • Cuando el logaritmo es de base 10 se suele omitir el subíndice que indica la base. • log P = x ↔ 10x = P • Cuando presenta dicha base (a=10) se llama LOGARITMO DECIMAL. En la calculadora la tecla log • log 2 = 0,301030 • log 20 = 1,301030 • log 200 = 2,301030 • log 2000 = 3,301030

  6. Logaritmos neperianos • Cuando el logaritmo es de base e también se omite el subíndice que indica la base, pero modificando la notación de la siguiente manera: • ln P = x ↔ ex = P • Cuando presentan dicha base se llaman LOGARITMOS NEPERIANOS, en honor a su creador, Neper, hacia 1614 . • En la calculadora la tecla ln • ln 2 = 0,693147 • ln 20 = 2,995732 • ln 200 = 5,298317 • ln 2000 = 7,600902

  7. 2.1 PROPIEDADES • 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. • Si P <> Q  log P <> log Q • a a • Y además si a > 1 y P < Q  log P < log Q • a a • Ejemplos • Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 • Sea - 2 <> 2  log (-2) <> log 2  No existen logaritmos de base negativa. • Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 • Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 • 1/2 1/2

  8. 2.- El logaritmo de la base es 1 • log a = 1  a1 = a • a • Ejemplos • Log 2 = 1 , pues 21 = 2 • 2 • Log 5 = 1 , pues 51 = 5 • 5 • 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base • log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad. • a • Ejemplo • Log 1 = 0 , pues 10 0 = 1 • ln 1 = 0 , pues e 0 = 1

  9. 4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. • loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 6 • log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 • b) log 48 • Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = • = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,778151 = 1,982271

  10. 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. • loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 0,5 • log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 • b) log 250 • Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = • = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 • c) log 2/3 • Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091

  11. 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. • p • p.loga x= loga x • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 1024 • log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 • b) log 81 • Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484

  12. Ejemplos • Halla el valor de x en la expresión: • 32000 . 23000 • x = ---------------------- • 52657 • Tomamos logaritmos decimales: • log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= • = log 32000 + log 23000 - log 52657 )= • = 2000.log 3 + 3000. log 2- 2657.log 5 = • = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = • = 0,179208 • Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803

  13. 7.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando , partido por el índice de la raíz. • n • loga√ x = loga x / n • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: • a) log √2 • log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 • 3 • b) log √ 9 • 3 • log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 32) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = • = 0,318080

  14. 8.- El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base, a, en base b. • Sea y = loga x  ay = x • Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: • logb ay = logb x • y. logb a = logb x • Y despejando el valor de y tenemos: • logb x logb x • y = -----------  loga x = ---------- • logb a logb a • Nota: Lo más frecuente es que la nueva base b sea 10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o neperianos para realizar el cambio de base.

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