Logaritmos

1. Logaritmos

2. Qual é o tempo? • Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador. • Mas havia um problema: o computador que ela queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.

3. Qual é o tempo? • Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor-mariam nos 1500 reais de que precisava? • Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.

4. Veja os cálculos Capital aplicado: C = 1 000 Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t M = C.(1 + i)t 1,057 ≈ 1,407 1,058 ≈ 1,477 1,059 ≈ 1,551 ⇒ 1,05t = 1,5 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.

5. Qual é o expoente? • Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05t = 1,6? • A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.

6. História • A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. • Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculosnuméricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. • A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como

7. História • A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,382,5 √12,4 3 . 5,13,8 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1

8. História • Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

9. História • Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

10. Trabalhando compotências de base 10

11. A base 10 • Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos:

12. Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: A base 10

13. Exemplos • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base 10. • 4 = 22 = (100,301)2 = 100,602 10 10 • 5 = = = 101 – 0,301 = 100,699 2 100,301 = 100,301 + 0,477 • 6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,778

14. Exemplos • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, escreva o número 60 como potência de base 10. • 60 = 2.3.10 = 100,301 . 100,477 . 10 ⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1 ⇒ 60 = 101,778

15. Exemplos • Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477, resolva a equação exponencial 2x = 12. 2x = 12 ⇒ 2x = 22.3 ⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477 ⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477 ⇒ 0,301.x = 1,079 ⇒ 100,301.x = 101,079 1,079 ⇒ x ≈ 3,585 ⇒ x = 0,301

16. Logaritmocomo expoente

17. Logaritmo como expoente • O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2x = 8 ⇒ x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos, log2 8 = 3

18. Logaritmo como expoente • Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

19. Definição • Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente loga b = x). loga b = x ⇔ ax = b • a é a base; • b é o logaritmando ou antilogaritmo; • x é o logaritmo;

20. Exemplos • log2 32 = 5, porque 25 = 32 • log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81 • log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001 • log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252 3 3 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

21. Exemplos • Calcular log4 8. log4 8 = x ⇒4x = 8 ⇒ (22)x = 23 ⇒ x = 3 ⇒ 22x = 23

22. Exemplos • Calcular log1/3 √9. 5 x 1 log1/3 √9 = x √9 5 5 ⇒ = 3 ⇒ 3–x = 32/5 ⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ –x = 2/5 ⇒ x = –2/5

23. Condição de existência do logaritmo • Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1

24. Condição de existência • Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem definidos. log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível

25. Observação • Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

26. Exemplos • Resolver a equação logx (2x + 8) = 2. 1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. x > –4 2x + 8 > 0 x > 0 ⇒ ⇒ x > 0 x > 0 x ≠ 1 x ≠ 1 x ≠ 1 2o. Usando a definição de logaritmo. logx (2x + 8) = 2 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x2 = 2x + 8 ⇒S = {4} ⇒ x = –2 ou x = 4.

27. Conseqüências da definição

28. Conseqüências da definição • Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. loga1 = 0 porque a0 = 1 logaa = 1 porque a1 = a logaak = k porque ak = ak

29. Exemplos • log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1 • log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0 • log3 39 = 9 • log10 10–3 = –3

30. logak a =k Conseqüências da definição • Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade:

31. Exemplos log5 3 • 5 = 3 log2 6 1 + log2 6 • 2 = 21.2 = 2.6 = 12 log3 5 log3 5 2 log3 5 • 9 = (32) = = 52 = 25 3 1 – log15 3 15 151 • 15 = = = 5 log15 3 3 15

32. Sistema de logaritmos

33. Sistema de logaritmos • Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: • O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x. log x → logaritmo decimal de x (base 10)

34. Exemplos • log 1000 = log10 1000 = 3 • log 0,01 = log10 10–2 = –2 • log 1 = log10 1 = 0 • log 100 = log10 100 = 2

35. Sistema de logaritmos • O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza,como base, o número irracional e. • Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828. • O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x → logaritmo natural de x (basee)

36. Exemplos • Ln e = loge e = 1 • Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3 • Ln e3 = loge e3 = 3

37. Observação • Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b. cologb a = – logb a • colog2 8 = – log2 8 = –3 • colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2

38. Logaritmos decimais

39. Logaritmos decimais • O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631). • Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

40. Tábua de logaritmos decimais log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13 log 35 = 1,544 ou 101,544 = 35

41. Exemplos • Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log 10 000 c) log 1013 d) log 10–30 e) log 0,000001

42. Exemplos • Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 100,903 + 101,505 – 1000,69 c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e 1000y = 15

43. Exemplos • Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e 13y = 103,342.

44. Mudança de base

45. Mudança de base • Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). • Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? • Será possível achar, por exemplo, os valores de log3 5 e log7 23?

46. log7 23 = log10 23 log10 7 Mudança de base • Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log7 23. log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23 log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7 log7 23 = x ⇒7x = 23 ⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362 1,362 ⇒ 0,845.x = 1,362 ⇒ x = = 1,612 0,845

47. Fórmula de mudança de base • De modo geral, podemos calcular logba, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. logk a Logb a = logk b

48. Exemplos • Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log2 6. loge 6 Ln 6 1,792 = 2,586 log2 6 = = = loge 2 Ln 2 0,693

49. Exemplos • Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301. 5x = 20 ⇒ x = log5 20 log10 20 log 20 1,301 = 1,861 log5 20 = = = log10 5 log 5 0,699

50. Exemplos • Se logk x = 2, calcular logx (1/k). logk (1/k) –1 logx (1/k) = = logk x 2