Lezione VII: Competizione oligopolistica

1. Lezione VII: Competizione oligopolistica • Oligopolio: poche imprese, non così piccole da implicare che le loro decisioni non abbia-no un significativo impatto sulle rivali. • Ex:1) Coca Cola vs Pepsi Cola; 2) Compaq vs Dell; 3) Tim vs Vodafone. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

2. Il modello di Bertrand (1883) Punti di partenza: • La fissazione dei prezzi è una componente cruciale del processo decisionale di un’im-presa. • In oligopolio, la domanda che si rivolge ad un’impresa (e quindi i suoi profitti) dipende anche dai prezzi praticati dalle concorrenti. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

3. 0 se pi > pj Di(pi, pj) = D(pi)/2 se pi = pj D(pi) se pi < pj domanda per il prodotto dell’impresa i. Nella sua versione duopolistica, il modello di Bertrand assume: • due imprese (1 e 2), indicate da i e j (i, j = 1,2, ij); • costi marginali/medi costanti e identici: Ci(qi) = cqi; • prodotto omogeneo (e consumatori informati). Segue da (3) che (con D(p) domanda di mercato): IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

4. pi D(p): curva di domanda di mercato · pj Di(pi, pj) qi D(pj)/2 D(pj) La domanda per il prodotto dell’impresa i, Di(pi, pj) . IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

5. Si supponga che le imprese debbano scegliere simultaneamente i loro prezzi. Chiaramente, la situazione descritta è quella di un gioco di strate-gia, in cui le decisioni di ciascuna impresa dipen-dono dalle congetture sul prezzo della rivale. Le funzioni di payoff rilevanti sono date, ovviamente, dal valore dei profitti: • i(pi, pj) = pi Di(pi, pj) – Ci(Di(pi, pj)) • = (pi - c)Di(pi, pj) IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

6. Si ragioni in termini di risposta ottima dell’impresa i: se pj > pm——>pi* = pm, se pm  pj > c ——> pi* = pj -  (cioè, “appena meno”, del rivale) se c  pj ——> pi* = c (ovvero, pi* > pj, sicco- me il profitto è comunque nul- lo). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

7. pi 45° pm pi*(pj) Risposta ottima o “curva di reazione” di i c pj pm c Graficamente: IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

8. Un NE del gioco di Bertrand è null’altro che una coppia di prezzi (p1, p2) (detta Equilibrio di Bertrand) tale che nessuna impresa possa deviare convenientemente. • Ciò richiede che debba valere: • p1 = p1*(p2) e p2 = p2*(p1), • ovvero che le curve di reazione si interse-chino ad un NE. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

9. N = Equilibrio di Bertrand Curva di reazione di j pj*(pi) pi 45° pm pi*(pj) N Curva di reazione di i c pj pm c Graficamente: IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

10. Chiaramente, la coppia di prezzi (p1N = c,p2N = c) è l’unico equilibrio di Bertrand! • L’aspetto cruciale è l’incentivo a ribassare il prezzo della concorrente. • Si supponga che pj = p > c: • se pi = pj = p——>i = D(p)(p - c)/2 • se pi = p -  ——>i = D(p - )(p -  - c) • con i  2i se  è sufficientemente piccolo. •  nessuna coppia (p, p) può essere un NE (poiché il gioco è simmetrico è naturale che lo sia anche il suo equilibrio). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

11. Si noti il cosiddetto Paradosso di Bertrand: • Persino con due sole imprese (al posto di un monopo-lio) il prezzo di equilibrio risulta (come in concorren-za perfetta) uguale al costo marginale, e dunque i pro-fitti sono nulli (e sarebbero negativi se vi fossero dei costi fissi)! • Questo risultato è contraddetto dall’evidenza empiri-ca, che suggerisce: 1) normalmente i duopolisti fanno profitti elevati; 2) l’aumento del numero dei competitori diminuis-ce gradualmente il prezzo di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

12. Il paradosso di Bertrand: spiegazioni • Possibili “spiegazioni” fanno riferimento alla pos-sibilità che non basti un piccolo ribasso per otte-nere tutta la domanda, o comunque che non sia conveniente ribassare il prezzo delle concorrenti. Ciò accade se: • 1) i prodotti sono differenziati (non basta un pic-colo ribasso per ottenere lo spostamento di tutti i consumatori: cap. 12); • 2) l’interazione è “dinamica” (abbiamo visto che nei “giochi ripetuti” occorre esaminare l’effetto collegato a possibili future ritorsioni a comporta-menti “opportunistici”: cap. 8). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

13. Modello di Bertrand: estensioni 1) Prima di esaminare una terza “via di fuga” dal paradossale risultato di Bertrand, consideriamo cosa accadrebbe in una versione oligopolistica, con n > 2 imprese simmetriche, del precedente modello di duopolio. Non è difficile capire che in tale versione l’equili-brio di Nash prevede che almeno due imprese scelgano il prezzo uguale al costo marginale, men-tre tutte le altre sceglieranno un qualunque prezzo non inferiore. Si conferma dunque l’irrilevanza del numero di imprese (purché maggiore di 1). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

14. Modello di Bertrand: estensioni continuazione 2) Si consideri il caso asimmetrico in cui: C1’(q1) = c1 > c2 = C2’(q2). Si rammenti ora che il prezzo di monopolio di un’impresa dipende dal suo costo margi-nale (a parità di domanda). Perciò la prece-dente assunzione implica anche che, in generale: p1m > p2m. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

15. N = Equilibrio di Bertrand asimmetrico Graficamente: p1 p2*(p1) 45° p1m p1*(p2) p2m N c1 c2 c2 p2m p1m p2 c1 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

16. Nell’equilibrio asimmetrico sopra descritto: • NE: (p1N = c1, p2N = c1 -  ) • Ovvero, l’impresa 2, “più efficiente”, “spiazza” l’impresa 1, ribassando il costo marginale della concorrente e ottenendo il profitto: • 2N = (c1 -  – c2) D(c1 - )  (c1 – c2) D(c1) • L’impresa 1, “meno efficiente”, pratica un prezzo marginalmente superiore alla concorrente, non vende pertanto nulla e ottiene un profitto nullo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

17. Duopolio di Bertrand asimmetrico: continuazione • Si noti che l’equilibrio asimmetrico è sostanzial-mente equivalente alla coppia di prezzi: • (p1= c1 + , p2= c1). • Si noti inoltre che esso è valido se i costi marginali non sono “troppo” differenti (c1p2m). • Se invece fosse c1 > p2m, allora l’equilibrio sareb-be: (p1N= c1, p2N= p2m), con 2N = 2m e 1N = 0. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

18. Un altro modo di sfuggire al risultato di Bertrand è supporre che vi siano vincoli di capacità (Edgeworth, 1897) • Ex: supponiamo che l’impresa i abbia capacità produttiva ki (quindi qiki), i = 1,2. • Ne segue che persino se fosse pi > pj l’impresa i dovrebbe disporre di una “domanda residuale” positiva se D(pi) > kj (data appunto da D(pi) - kj). • E’ facile vedere che, in tale contesto, il risultato di Bertrand non si applica se le capacità produttive, appunto, non sono “troppo grandi”. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

19. p p* = P2(k2) = P(k1 + k2) p* R2’(k2) P(q) R2’(q) P2(q) q 0 k1 k2 k1+k2 Graficamente (P2(q) = P(q +k1) è la curva di do-manda residuale dell’impresa 2): IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

20. Supponiamo per semplicità che i costi marginali siano nulli (cioè C1’(q1) = C2’(q2) = 0). • (p1 = p*, p2 = p*) è un NE del gioco di Bertrand con i vincoli di capacità indicati graficamente. • Per vederlo, consideriamo l’impresa 2 (per l’altra impresa il ragionamento sarebbe simile), supponendo p1 = p* : • a) un prezzo p2 < p* non sarebbe conve-niente, poiché si venderebbe comunque la quantità k2 ad un prezzo inferiore. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

21. Vincoli di capacità: continuazione • b) un prezzo p2 > p* non sarebbe invece conve-niente perché l’impresa per la quantità q2 = k2 ha un ricavo marginale, R2’(k2), maggiore del costo marginale, C2’(k2) = 0, e dunque vorrebbe sem-mai vendere di più (anche ad un prezzo inferiore). • Q.E.D. • Più in generale, se ki < D(c) il risultato di Bertrand non vale. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

22. Inoltre: • Si può mostrare che, se le imprese decidono prima quanta capacità produttiva installare e poi quali prezzi praticare (in un gioco a due stadi), nell’unico SPNE di tale gioco emerge esattamente la situazio-ne sopra illustrata (Kreps & Sheinkman, 1983). • Le imprese scelgono cioè strategicamente la capa-cità installata (nel lungo periodo) per rendere credi-bile che non abbasseranno (nel breve periodo) il prezzo sino al costo marginale, ottenendo così pro-fitti positivi . IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

23. Infine: • Si noti che il precedente risultato con vincoli di capacità si applicherebbe anche al caso nel quale le quantità di prodotto da vendere (se non troppo elevate) venissero realizzate prima della determinazione dei prezzi. • In tal caso, cioè, il prezzo di equlibrio (pi = p*) sarebbe quello in grado di far assorbire al mercato tutto l’output prodotto dalle im-prese (p* = P(q1 + q2)). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

24. Il Duopolio di Cournot (1838) • Il modello di Cournot si basa esattamente su que-st’ultima ipotesi. Ovvero, assumendo omogeneità del prodotto, immagina che le (due) imprese scel-gano simultaneamentele loro quantità (piuttosto che i loro prezzi), nell’ipotesi che il prezzo sarà quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè: • p = P(q1 + q2), • dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del mercato, e q = q1 + q2 la quantità prodotta com-plessivamente. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

25. Duopolio di Cournot: continuazione Nella forma normale del gioco di Cournot: • a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso base) scelgono simultaneamente q1 e q2; • b) le funzioni di payoff per ciascuna impresa sono date dal valore del loro profitto: • i(qi, qj) = P(q1 + q2)qi – cqi (assumendo costi unitari costanti). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

26. Ancora una volta, per risolvere il gioco, si con-sideri la funzione di risposta ottima (o “curva di reazione”) dell’impresa i, qi*(qj): Se l’impresa i si aspetta la produzione della quan-tità qj da parte del suo concorrente, il suo compor-tamento ottimale è quello di un monopolista che abbia come curva di domanda la domanda resi-duale data da: Pi(qi) = P(qi +qj), e dunque “ricavo marginale” pari a: Ri’(qi) = Pi’(qi)qi + Pi(qi) = P’(q)qi + P(q). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

27. p Ri’(qi) = P’(q)qi + P’(q) q = qi + qj Pi(qi*) C’ c P(q) Ri’(qi) Pi(qi) q 0 qj qi* qi*+ qj Ex: qi*è la risposta ottimale a qj. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

28. Si notino i due casi particolari: • 1) se qj = 0  qi* = qm(poiché Pi(qi) = P(qi)) • 2) se qj = qe (dove P(qe) = c)  qi* = 0 (poiché Pi(0) = c) • Il risultato (2) dipende dall’assunzione di co-sti marginali costanti, ed è illustrato nel pros-simo grafico. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

29. p C’ c P(q) Pi(qi) q qi* = 0 qj = qe Ri’(qi) Ex: qi* = 0è la risposta ottimale a qj = qe. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

30. L’aumentare di qj diminuisce necessaria-mente la curva di domanda residuale di i. • Ciò suggerisce che la funzioneqi*(qj) sia decre-scente, compresa tra un valore massimo pari alla quantità di monopolio e un valore minimo nullo. • Tale congettura risulta confermata nel caso, cui ora rivolgiamo la nostra attenzione, in cui anche la domanda risulti lineare. • Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la funzione di costo non fosse convessa), tale risulta-to non sarebbe garantito. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

31. Ex: il caso lineare (P(q) = a – bq, a > c) • i(qi, qj) = Ri(qi,qj) – C(qi) = P(qi + qj)qi – cqi La FOC per la massimizzazione dei profitti di iconfer-ma che una sua risposta ottima alla quantità qj della concorrente deve soddisfare la condizione che il suo “ricavo marginale”, Ri/qi= P’(q)qi + P(q), sia pari al suo costo marginale, c: • i/qi = P’(q)qi + P(q) – c = 0. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

32. Il caso lineare: continuazione • Sostituendo i parametri della domanda si ottiene: • - bqi + a – bqi – bqj – c = 0 •  • qi*(qj) =(a – c)/(2b) – qj/2 • (si noti che la SOC 2i/qi2 = P’’(q)qi + 2P’(q) = 2Ri/qi2 = - 2b < 0 è soddisfatta). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

33. Il caso lineare: continuazione • Si noti che : • dqi*/dqj = - ½, • qi*(0) =(a – c)/(2b) = qm, • qi*(qe) =0 (dove qe = (a – c)/b). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

34. qi tg  = 1/2 qm qi*(qj)  qj 0 qe qi*(qj) è la curva di reazione di i. Il caso lineare graficamente: IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

35. Come nel caso del modello di Bertrand, l’equilibrio di Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come intersezione delle curve di reazione. Ovvero, un “Equilibrio di Cournot” è costituito da una coppia di quantità (q1, q2) tali che: q1 = q1*(q2) e q2 = q2*(q1) (ovviamente, le curve di reazione saranno sim-metriche se lo sono le imprese, e simmetrico sa-rà l’equilibrio, che può pertanto essere identifi-cato anche attraverso la condizioneqiN = qi*(qiN), dove l’apice N indica i valori di equilibrio). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

36. qi qe 45°  qj*(qi) qm tg  = 1/2 N qiN qi*(qj)  qj 0 qjN qm qe N è l’Equilibrio di Nash del gioco di Cournot. Graficamente (caso lineare): IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

37. Il caso lineare - conclusione: Risolvendo il sistema dato dalle due curve di reazione si ottiene in effetti facilmente che: • q1N =(a – c)/(3b) = q2N, • qN = q1N + q2N, pN = P(qN) = (a + 2c)/3. • Perciò: • qe > qN > qm e pm > pN > pe = c, e anche • We > WN > Wm. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

38. qi qe tg = 1 qi + qj = qe qj* qm N qi* qi + qj = qm   qj 0 qm qe . Graficamente: qe > qN > qm. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

39. I precedenti risultati suggeriscono che, dal pun-to di vista del benessere collettivo, il duopolio (à la Cournot) sia una forma di mercato in-termedia tra il monopolio e la concorrenza per-fetta. • Con imprese identiche (e costi unitari costanti) tale conclusione vale in effetti in generale e non nel solo caso lineare. • Nelle valutazioni di efficienza comparata occorre in-vece tenere conto delle differenze di costo, e della presenza di eventuali economie di scala, se le tecno-logie sono differenti e/o con costi unitari variabili. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

40. Modello di Cournot: estensioni • Il modello duopolistico sopra presentato si estende comunque facilmente al caso di imprese asimme-triche ecosti marginali crescenti. • Supponiamo che sia C1’ > C2’. Ciò implica che risulti: • q1m < q2m e q1e < q2e come mostriamo nel grafico seguente. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

41. C1’ C2’ R’(q) P(q) q 0 q1m q2m q1e q2e Imprese asimmetriche: C1’(q) > C2’(q) IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

42. Modello di Cournot: estensioni • Manipolando la FOC che definisce la curva di reazione si ottiene facilmente che: • P’(q)qi + P(q) = Ci’(qi) ovvero • Li (qi, qj) = (P(q) - Ci’(qi))/P(q) = -P’(q)qi/P(q) = si (qi, qj)/(q) dove  è l’elasticità della domanda, Li è l’indice di Lerner dell’impresa i e si = qi/q è la sua quota di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

43. Modello di Cournot: estensioni • Perciò, nell’equilibrio di Cournot: • LiN = siN/N, • dove LiN = Li (qiN, qjN), siN = si (qiN, qjN) e N = (qN). • Poiché il prezzo di equilibrio sul mercato è unico, ne segue che l’impresa col costo marginale più elevato avrà la minore quota di mercato. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

44. Imprese asimmetriche – il caso lineare • Si noti che, nel caso lineare, (q) = (a - bq)/(bq). • Perciò, se le imprese sono simmetriche, la precedente condizione diventa: • (a – bqN – c)/(a – bqN) = siN bqN/(a – bqN), ovvero (siN = ½) • a – bqN - c = bqN/2, e quindi • qN = 2(a – c)/(3b) = 2qe/3 , come già sapevamo. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

45. Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione • Si noti che la quantità del monopolista si ottiene dalla formula precedente ponendo siN = 1. Intuitivamente, poiché se diminuisse il proprio prezzo ciascuna impresa sottrarrebbe anche clienti al competitore, tutto è come sel’elasticità della domanda fosse aumentata (da  a /si). • Se ora C1’ = c1 > c2 = C2’, la precedente condizione si sdoppia in: • a – bqN – c1 = bq1N e • a – bqN – c2 = bq2N. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

46. Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione • Sommando le due precedenti espressioni si ottiene facil-mente: • qN = (2a – c1 – c2)/3b = 2(a – (c1 + c2)/2)/3b, • pN = P(qN) = (a + c1 + c2)/3, e perciò • qiN = (a + cj – 2ci)/3b, • siN = (a + cj – 2ci)/(2a – ci – cj), • LiN = (a + cj – 2ci)/(a + ci + cj). con siN > sjN e LiN > LjNse e solo seci < cj. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

47. Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 1 • I medesimi risultati si ottengono riderivando le curve di reazione e mettendole a sistema. • In particolare, dalla FOC: • i/qi = P’(q)qi + P(q) – ci = 0, • si ottiene immediatamente che: • qi*(qj) =(a – ci)/(2b) – qj/2. IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

48. q2 q2N > q1N q1e 45°  q1*(q2) q2m tg  = 1/2 N q2N q2*(q1)  q1 0 q1N q1m q2e q2m<q1e Imprese asimmetriche(caso lineare): p2m > c1 > c2 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

49. Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 2 • Si noti graficamente che l’equilibrio fin qui descritto richiede che q2mq1e, ovvero: • p2m = (a + c2)/2  c1. • Se invece fosse c1 > p2m, ovvero le differenze tra i costi marginali fossero così grandi da “spiazzare” del tutto l’impresa “meno efficiente”, allora si otterrebbe: • q1N = 0, q2N = (a - c2)/2b = q2m come indicato nel grafico seguente (si rammenti che, nel caso lineare, qi*(qj) = 0 seqj qie). IO: VII Lezione (P. Bertoletti)

50. q2 45° N q2N =q2m tg  = 1/2 q1e q2*(q1)  q1*(q2)  q1 q1m q2e q1N = 0 q2m>q1e Impreseasimmetriche(caso lineare): c1 > p2m IO: VII Lezione (P. Bertoletti)