1 / 44

Powerpoint Templates

Kombinatorial. Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi. Powerpoint Templates. Pendahuluan. Sebuah sandi-lewat ( password ) panjangnya 6 sampai 8 karakter . Karakter boleh berupa huruf atau angka . Berapa banyak kemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat ? Penyelesaian abcdef aaaade

chin
Download Presentation

Powerpoint Templates

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kombinatorial DosenPembimbingGisoesiloAbudi Powerpoint Templates

  2. Pendahuluan Sebuahsandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakterbolehberupahurufatauangka. Berapabanyakkemungkinansandi-lewat yang dapatdibuat ? Penyelesaian abcdef aaaade a123fr … erhtgahn yutresik … ????

  3. Definisi Kombinatorialadalahcabangmatematikauntukmenghitungjumlahpenyusunanobjek-objektanpaharusmengenumerasisemuakemungkinansusunannya.

  4. KaidahDasarMenghitung • Kaidahperkalian (rule of product) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 danpercobaan 2: pqhasil • Kaidahpenjumlahan (rule of sum) Percobaan 1: phasil Percobaan 2: qhasil Percobaan 1 ataupercobaan 2: p + qhasil

  5. Contoh 1. Ketuaangkatan MAT 2002 hanya 1 orang (priaatauwanita, tidakbisa gender). Jumlahpria MAT2002 = 65 orangdanjumlahwanita = 15 orang. Berapabanyakcaramemilihketuaangkatan? Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara. • Contoh 2. Duaorangperwakilan MAT2002 mendatangaiBapakDosenuntukprotesnilaiujian. Wakil yang dipilih 1 orangpriadan 1 orangwanita. Berapabanyakcaramemilih 2 orangwakiltesrebut? Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.

  6. PerluasanKaidahDasarMenghitung Misalkanadanpercobaan, masing-masing dg pihasil 1. Kaidahperkalian (rule of product) p1p2 … pnhasil 2. Kaidahpenjumlahan (rule of sum) p1 + p2 + … + pnhasil

  7. Contoh. Bit binerhanya 0 dan 1. Berapabanyakstringbiner yang dapatdibentukjika: (a) panjangstring 5 bit (b) panjangstring 8 bit (= 1 byte) Penyelesaian: (a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah (b) 28 = 256 buah

  8. Contoh.Berapabanyakbilanganganjilantara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itusendiri) yang (a) semuaangkanyaberbeda (b) bolehadaangka yang berulang. Penyelesaian: (a) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (1, 3, 5, 7, 9) posisiribuan: 8 kemungkinanangka posisiratusan: 8 kemungkinanangka posisipuluhan: 7 kemungkinanangka Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240 buah. (b) posisisatuan: 5 kemungkinanangka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9); posisiribuan: 9 kemungkinanangka (1 sampai 9) posisiratusan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) posisipuluhan: 10 kemungkinanangka (0 sampai 9) Banyakbilanganganjilseluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

  9. Contoh. Sandi-lewat (password) sistemkomputerpanjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakterbolehberupahurufatauangka; hurufbesardanhurufkeciltidakdibedakan. Berapabanyaksandi-lewat yang dapatdibuat? Penyelesaian: Jumlahkarakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter. Jumlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 6 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336 Jumlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 7 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096 umlahkemungkinansandi-lewatdenganpanjang 8 karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456 Jumlahseluruhsandi-lewat (kaidahpenjumlahan) adalah   2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

  10. Latihan • (a) Berapabanyakbilangangenap 2-angka? (b) Berapabanyakbilanganganjil 2-angka dengansetiapangkaberbeda ? • Dari 100.000 buahbilanganbulatpositifpertama, berapabanyakbilangan yang mengandungtepat 1 buahangka 3, 1 buahangka 4, dan 1 buahangka 5 ?

  11. Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapajumlahpengurutan 3 hurufjika: (a) tidakadahuruf yang diulang; (b) bolehadahuruf yang berulang; (c) tidakbolehadahuruf yang diulang, tetapihurufeharusada; (d) bolehadahuruf yang berulang, hurufeharusada • Tentukanbanyakcarapengaturan agar 3 orangmahasiswaJurusanTeknikInformatika (IF), 4 orangmahasiswaTeknik Kimia (TK), 4 orangmahasiswaTeknikGeologi (GL), dan 2 orangmahasiswaFarmasi (FA) dapatdudukdalamsatubarissehinggamerekadaridepartemen yang samadudukberdampingan?

  12. PrinsipInklusi-Eksklusi

  13. Permutasi • Bola • m k p • Kotak • Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut !

  14. Permutasi • k p mkp • M • p k mpk • m p kmp • K • p m kpm • m k pmk • P • k m pkm • Jumlahurutanberbeda yang dapatdibuat (3)(2)(1) = 3! = 6

  15. Definisi: Permutasiadalahjumlahurutanberbedadaripengaturanobjek-objek. • Permutasimerupakanbentukkhususaplikasikaidahperkalian. • Misalkanjumlahobjekadalahn, maka • urutanpertamadipilihdarinobjek, • urutankeduadipilihdarin – 1 objek, • urutanketigadipilihdarin – 2 objek, • … • urutanterakhirdipilihdari 1 objek yang tersisa. Menurutkaidahperkalian, permutasidarinobjekadalah n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

  16. Contoh.Berapabanyak “kata” yang terbentukdarikata “HAPUS”? Penyelesaian: Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buahkata Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buahkata • Contoh.Berapabanyakcaramengurutkannama 25 orangmahasiswa? Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

  17. Permutasirdarinelemen • Adaenambuah bola yang berbedawarnanyadan 3 buahkotak. Masing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola. Berapajumlahurutanberbeda yang mungkindibuatdaripenempatan bola kedalamkotak-kotaktersebut? • Bola • m k h p b c Kotak Penyelesaian: kotak 1 dapatdiisiolehsalahsatudari 6 bola (ada 6 pilihan); kotak 2 dapatdiisiolehsalahsatudari 5 bola (ada 5 pilihan); kotak 3 dapatdiisiolehsalahsatudari 4 bola (ada 4 pilihan). Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola = (6)(5)(4) = 120

  18. Perampatan: Adanbuah bola yang berbedawarnanyadanrbuahkotak (rn), maka kotak ke-1 dapatdiisiolehsalahsatudarin bola  (adanpilihan) ; kotak ke-2 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 1) bola  (adan – 1 pilihan); kotak ke-3 dapatdiisiolehsalahsatudari (n – 2) bola  (adan – 2) pilihan; … kotakke-rdapatdiisiolehsalahsatudari (n – (r – 1) bola  (adan – r + 1 pilihan) Jumlahurutanberbedadaripenempatan bola adalah: n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))

  19. Definisi Permutasi r dari n elemenadalahjumlahkemungkinanurutan r buahelemen yang dipilihdari n buahelemen, dengan r ≤ n, yang dalamhalini, padasetiapkemungkinanurutantidakadaelemen yang sama. P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1)) =

  20. Contoh Berapakahjumlahkemungkinanmembentuk 3 angkadari 5 angkaberikut : 1, 2, 3, 4, dan 5, jika : • Tidakbolehadapengulanganangka, dan • bolehadapengulanganangka • Penyelesaian. • Dengankaidahperkalian (5)(4)(3) = 120 buah • Denganrumuspermutasi P(5, 3) = 5! / (5 – 3)! = 120 buah • Tidakdapatdiselesaikandenganrumuspermutasi • dengankaidahperkalian (5)(5)(5) = 125 buah

  21. Contoh Kodebukudisebuahperpustakaanpanjangnya 7 karakter, terdiridari 4 hurufberbedadandiikutidengan 3 angka yang berbeda pula. Tentukanbanyaksusunan yang mungkindapatdibuat ! Penyelesaian P(26, 4) = 26! / (26 – 4)! = 358.800 P(10, 3) = 10! / (10 – 3)! = 720 Jadi P(26, 4) x P(10, 3) = 258.336.000

  22. Latihan • Sebuahmobilmempunyai 4 tempatduduk. Berapabanyakcara 3 orangdidudukkanjikadiandaikansatuorangharusdudukdikursisopir? • coba

  23. Kombinasi • Bentukkhususdaripermutasiadalahkombinasi. Jikapadapermutasiurutankemunculandiperhitungkan, makapadakombinasi, urutankemunculandiabaikan. • Misalkanada 2 buah bola yang warnanyasama 3 buahkotak. Setiapkotakhanyabolehberisi paling banyak 1 bola.

  24. Bilasekarangjumlah bola 10 danjumlahkotak 3, makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah … • Karenaada 3! Cara memasukkan bola yang warnanyasama. • Secaraumum, jumlahcaramemasukkan r buah bola yang berwarnasamakedalam n buahkotakadalah

  25. C(n, r) seringdibaca "ndiambilr", artinyarobjekdiambildarinbuahobjek. • Definisi.Kombinasirelemendarinelemen, atauC(n, r), adalahjumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen.

  26. InterpretasiKombinasi C(n, r) = banyaknyahimpunanbagian yang terdiridari r elemen yang dapatdibentukdengan n elemen. Misalkan A = {1, 2, 3} Jumlahhimpunanbagiandengan 2 elemen : {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} 3 buah {2, 3} = {3, 2}

  27. C(n, r) = caramemilih r buahelemendari n buahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting. Contoh Berapabanyakcaramembentukpanitia (komite, komisi, dsb) yang beranggotakan 5 orangdarisebuahfraksidi DPR yang beranggotakan 25 orang ? Penyelesaian. Panitiaataukomiteadalahkelompok yang tidakterurut, artinyasetiapanggotadidalampanitiakedudukannyasama.

  28. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, makaurutanpenempatanmasing-masingnyadidalampanitiatidakpenting (ABCDE samasajadengan ACBDE, ABDCE, danseterusnya) Banyaknyacaramemilihanggotapanitia yang terdiridari 5 oranganggotaadalah

  29. Contoh Diantara 10 orangmahasiswaMatematikaAngkatan 2002, berapabanyakcaramembentuksebuahperwakilanberanggotakan 5 orangsedemikiansehingga : Mahasiswabernama A selalutermasukdidalamnya Mahasiswabernama A tidaktermasukdidalamnya Mahasiswabernama A selalutermasukdidalamnya, tetapi B tidak Mahasiswabernama B selalutermasukdididalamnya, tetapi A idak Mahasiswabernama A dan B termasukdidalamnya Setidaknyasalahsatudarimahasiwa yang bernama A atau B termasukdidalamnya.

  30. Penyelesaian C(9, 4) = 126 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A selalutermasukdidalamnya (b) C(9, 5) = 126 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A tidaktermasukdidalamnya. (c) C(8, 4) = 70 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A termasukdidalamnya, tetapi B tidak (d) C(8, 4) = 70 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga B termasukdidalamnya, tetapi A tidak

  31. Penyelesaian (e) C(8, 3) = 56 carauntukmembentukperwakilan yang beranggotakan 5 orangsedemikiansehingga A dan B selalutermasukdidalamnya. (f) Jumlahcaramembentukperwakilansedemikiansehinggasetidaknyasalahsatudari A atau B termasukdidalamnya = (jumlahcaramembentukperwakilansehingga A termasukdidalamnya, B tidak) + (jumlahcaramembentukperwakilansehingga B termasukdidalamnya, A tidak) + (jumlahcaramembentukperwakilansehingga A dan B termasukdidalamnya). = 70 + 70 + 56 = 196 cara.

  32. Prinsipinklusi-eksklusi X = jumlahcaramembentukperwakilan yang menyertakan A Y = jumlahcaramembentukperwakilan yang meyertakan B X ∩ Y = jumlahcaramembentukperwakilan yang meyertakan A dan B, maka : |X| = C(9, 4) = 126; |Y| = C(9, 4) = 126; | X ∩ Y| = C(8, 3) = 56 |X Ụ Y| = |X| + |Y| - |X ∩ Y| = 126 + 126 – 56 = 196

  33. Latihan • Kursi-kursidisebuahbioskopdisusundalambaris-baris, satubarisberisi 10 buahkursi. Berapabanyakcaramendudukkan 6 orangpenontonpadasatubariskursi: (a) jikabioskopdalamkeadaanterang (b) jikabioskopdalamkeadaangelap 2. Berapabanyakcaramembentuksebuahpanitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilihdari 7 orangpriadan 5 orangwanita, jikadidalampanitiatersebut paling sedikitberanggotakan 2 orangwanita?

  34. Latihan • 3. Ada 5 orangmahasiswajurusanMatematikadan 7 orangmahasiswajurusanInformatika. Berapabanyakcaramembentukpanitia yang terdiridari 4 orangjika: (a) tidakadabatasanjurusan (b) semuaanggotapanitiaharusdarijurusanMatematika (c) semuaanggotapanitiaharusdarijurusanInformatika (d) semuaanggotapanitiaharusdarijurusan yang sama (e) 2 orangmahasiswa per jurusanharusmewakili.

  35. PermutasidanKombinasiBentukUmum • Misalkan : ada n buah bola yang tidakseluruhnyaberbedawarna (jadi, adabeberapa bola yang warnanyasama – indistinguishable) • n1 bola diantaranyaberwarna 1 • N2 bola diantaranyaberwarna 2 • . • . • . • nk bola diantaranyaberwarna k, dan n1 + n2 + … + nk = n • Berapajumlahcarapengaturan n buah bola kedalamkotak-kotaktersebut (tiapkotakmaks 1 buah bola)

  36. Jika n buah bola itukitaanggapberbedasemuanya, makajumlahcarapengaturan n buah bola kedalam n buahkotakadalah : • P(n, n) = n! • Dari pengaturan n buah bola itu, • Adan1 ! Cara memasukkan bola berwarna 1 • ada n2 ! Cara memasukkan bola berwarna 2 • . • . • . • adank ! Cara memasukkan bola berwarna k • Permutasi n buah bola yang mana n1diantaranyaberwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah :

  37. Contoh • Berapabanyakkata yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikata “MISSISSIPPI” ! • Penyelesaian • S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P, P, I} • Huruf M = 1 buah (n1) • Huruf I = 4 buah (n2) • Huruf S = 4 buah (n3) • Huruf P = 2 buah (n4) • n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = |S|

  38. Cara 1 : • Jumlah string = P(11: 1,4,4,2} • = 34650 buah • Cara 2 : • Jumlah string = C(11, 1)C(10, 4)C(6, 4)C(2, 2) • = 34650 buah

  39. Contoh • Berapabanyakcaramembagikandelapanbuahmanggakepada 3 oranganak, bila Billy mendapatempatbuahmangga, danAndiserta Toni masing-masingmemperoleh 2 buahmangga. • Penyelesaian : • n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2 dan • n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8 • Jumlahcaramembagiseluruhmanggaadalah • = 420 cara

  40. Contoh • 12 buahlampuberwarna (4 merah, 3 putih, dan 5 biru) dipasangpada 18 buahsoketdalamsebuahbaris (sisanya 6 buahsoketdibiarkankosong). Berapajumlahcarapengaturanlampu ? • Penyelesaian : • n = 18, n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 dan n4 = 6 (soketkosong) • Jumlahcarapengaturanlampuadalah • = .... cara

  41. Latihan • 100 orangmahasiswadikirimke 5 negara, masing-masingnegara 20 orangmahasiswa. Berapabanyakcarapengirimanmahasiswa? • Berapabanyakstring yang dapatdibentukdarihuruf-hurufkata “CONGRESS” sedemikiansehinggaduabuahhuruf “S” tidakterletakberdampingan?

  42. Latihan 3. Tentukanbanyaknyacara agar 4 bukumatematika, 3 bukusejarah, 3 bukukimia, dan 2 bukusosiologidapatdisusundalamsatubarissedemikiansehingga (untukmasing-masingsoal) (a) semuabuku yang topiknyasamaletaknyabersebelahan, (b) urutanbukudalamsusunanbebas.

More Related