Moti stratificati (3/5)

Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

Stratificazione e diffusione turbolenta Effetto della stratificazione (numero di Richardson) (definizione mediata) Coefficienti

Esercizi mix verticale: mezzo stratificato (cuneo salino) scarico caldo Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale): scarico caldo

Onde interne onde di superfici isopicne (denistà costante) stratificazione continua: “onde interne” stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie” Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)

Onde di interfaccia • ipotesi: • fluidi immiscibili • contorni superiori e inferiori rigidi • moto piano • moto inviscido (viscosità nulla, Re grande) • moto irrotazionale in ogni strato • onde di piccola ampiezza contorno rigido superiore interfaccia contorno rigido inferiore

Equazioni Potenziale di velocità f (moto irrotazionale) Equazione di continuità strato superiore strato inferiore Equazione del moto (inviscido)

Condizioni al contorno interfaccia: Condizione cinematica: in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2) Condizione dinamica: (le tensioni tangenziali sono nulle) Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo

Adimensionalizzazione e linearizzazione ampiezza dell’onda lunghezza d’onda onde di piccola ampiezza Condizione cinematica semplificata:

Condizione all’interfaccia (linearizzata) Equazione del moto semplificata (in ogni strato) costante lungo una linea di corrente Teorema di Bernoulli non stazionario Lungo l’interfaccia (linea di corrente)

Sistema da risolvere Equazioni Condizioni all’interfaccia (z=0) Condizioni al contorno Struttura della soluzione (notazione complessa)

Soluzione per lo strato j=1,2 soluzione generale Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj all’interfaccia (z=0) al contorno (z= zc) sistema di 4 equazioni in 4 incognite  C1, C2, D1, D2

Soluzione potenziale:  velocità nei due strati: posizione interfaccia: le intensità rimangono indeterminate

Relazione di dispersione condizione dinamica all’interfaccia relazione tra frequenza e numero d’onda frequenza-periodo numero-lunghezza d’onda celerità di propagazione

Casi particolari: dominio non limitato frequenza celerità la celerità dipende da k lunghezze d’onda diverse si separano onde di superficie frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità

Casi particolari: acqua bassa frequenza celerità la celerità non dipende da k onde non dispersive onde di superficie frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità

Effetto della superficie libera condizione in superficie libera relazione di dispersione onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate modo esterno - veloce (onda di superficie) modo interno - lento (interfaccia) moto baroclinico moto barotropico parallelo a inclinato rispetto a

Onde stazionarie effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze d’onda numeri d’onda possibili celerità modo esterno periodo modo interno (lento)

Onde di sessa (seiche) vento  eccita un’onda stazionaria con n=1 wind set-up: sollevamento equilibrio mentre soffia il vento spinte idrostatiche set-up superficie equilibrio tra le pressioni al fondo set-up interfaccia

Stratificazione continua Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq continuità q.d.m. orizzontale 3 equazioni in 4 incognite la quarta equazione viene dall’incomprimibilità q.d.m. verticale incomprimibilità

Stratificazione continua: relazione di dispersione modi orizzontali modi verticali equazioni + condizioni al contorno relazione di dispersione onde non possono esserci onde (frequenza di eccitazione maggiore dell’autofrequenza - Eigenfrequency)

Instabilità • Analisi di stabilità idrodinamica: • soluzione in moto laminare delle equazioni • perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e nello spazio) • sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione  problema agli autovalori (eigenvalues) • soluzione delle equazioni perturbate: • disturbo che cresce nel tempo  instabilità assoluta • disturbo che cresce nello spazio  instabilità convettiva • disturbo che decade  stabilità • Riferimenti bibliografici: • Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11) • Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004

Instabilità di Kelvin-Helmholtz

Lavoro delle forze di galleggiamento forze di galleggiamento lavoro particella 1 particella 2 lavoro totale

Variazione di energia cinetica prima variazione di energia cinetica dopo velocità media

Instabilità: approccio euristico instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido (senza viscosità)

Instabilità di Kelvin-Helmholtz moto irrotazionale fluido ideale piccole perturbazioni …

Formulazione del problema Equazioni Condizioni al contorno Condizione cinematica all’interfaccia (z=h) Condizione dinamica: (le tensioni tangenziali sono nulle) Teorema di Bernoulli non stazionario (z=h):

Soluzione del moto base interfaccia costanti del trinomio di Bernoulli  Perturbazione della soluzione interfaccia Linearizzazione

Sistema per le perturbazioni (linearizzato) Equazioni Condizioni al contorno Condizioni all’interfaccia (z=0) Struttura della soluzione (notazione complessa)

Relazione di dispersione numero d’onda totale soluzione trovata con Maple

Coefficiente di amplificazione stabilità neutrale >= curva marginale instabilità < r2=1000,r1=995

Casi particolari sempre stabili Onde di gravità Onde interne stabili  onde instabili Instabilità dovuta alle tensioni sempre instabili

Effetto della tensione superficiale z (condizione dinamica all’interfaccia) p1 soluzione trovata con Maple x esempio: onde generate sul mare velocità del vento minima, lunghezza d’onda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961) p2 curva marginale (DU)2crit kcrit

Moti stratificati (3/5)