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Le soluzioni delle equazioni equazioni differenziali ordinarie sono:

6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2 (ultima modifica 04/12/2012) Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2. 6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2 (ultima modifica 20/11/2011) Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2

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Le soluzioni delle equazioni equazioni differenziali ordinarie sono:

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  1. 6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2(ultima modifica 04/12/2012) Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  2. 6g_EAIEE_LINEE DI TRASMISSIONE_2(ultima modifica 20/11/2011) Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_2 Dalle equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo si possono ottenere le seguenti equazioni differenziali ordinarie di secondo grado in V(z) e I(z) rispettivamente: dove la costante di propagazione è parte reale costante di attenuazione della linea in[Np/m] e parte immaginaria costante di fase della linea in [rad/m]. Queste grandezze non sono delle costanti reali perché in generale dipendono da  in modo complesso. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  3. Le soluzioni delle equazioni equazioni differenziali ordinarie sono: gli apici + e – di V0 e I0 indicano onde che viaggiano nelle direzioni +z e -z rispettivamente e le ampiezza delle onde (V0+, I0+) e (V0-, I0-) sono legate dalle equazioni precedenti. Si può facilmente verificare che : 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  4. Per una linea di lunghezza infinita il termine , relativo all’onda riflessa, contenente il fattore ez si annulla , non ci saranno onde riflesse e viaggeranno solo onde nella direzione z + per cui si ha: Il rapporto della tensione per la corrente, per ciascun valore di z nel caso di una linea infinitamente lunga (per la quale si può ritenere che l’onda riflessa è nulla) è indipendente da z ed è chiamata: impedenza caratteristica della linea: Z0e  sono proprietà caratteristiche della linea, sia nel caso di linea di lunghezza infinita che di linea di lunghezza finita. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  5. Per le linee di lunghezza infinita le soluzioni sono: • Queste relazioni sono valide anche per le linee di lunghezza finitache terminano con una impedenza caratteristica, ossia per le linee adattate. • Dalla teoria dei circuiti si ha che il massimo trasferimento di potenza al carico, per una sorgente di tensione data, si ha in “condizioni di adattamento” quando l’impedenza del carico è il complesso coniugato della impedenza della sorgente: . • Nella terminologia della linea di trasmissione,una linea è adattata quando l’impedenza del carico è uguale alla impedenza caratteristica della linea: ( e non al complesso coniugato della impedenza caratteristica). 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  6. z 0 IL + + + Zg (,Z0) ZL Vg Zi VL Vi - - - z z’=l-z z=0 z’=l z=l z’=0 z’ 0’ Per verificare le condizioni di linea adattata, si consideri il caso generale di una linea di trasmissione finita con impedenza caratteristica pari a Z0 con una impedenza di carico alla estremità pari a ZL : Ponendo z=lnelle equazioni e risolvendo in : 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  7. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  8. Ponendo e sostituendo le espressioni trovate di nelle relazioni di partenza, si ottiene: e introducendo la variabile z’=l-z(distanza misurata dal carico) si ha: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  9. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  10. Utilizzando la nuova variabile z’, le equazioni precedenti, si possono compattare ulteriormente con le funzioni iperboliche: da cui, mettendo in evidenza i termini in ZL e in Z0: si ottiene: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  11. Dalle relazioni: facendo il rapporto tra V(z’) e I(z’) si ottiene l’impedenza vista dal carico verso la linea alla distanza z’: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  12. Zg Ii + + Zi Vg Vi - - Alla estremità della linea, dal lato della sorgente per z=0 ez’=l-z=l, il generatore vede una impedenza d’ingresso Zi: da cui il circuito equivalente sarà: Questo modello circuitale consente di determinare facilmente la tensione Vie la corrente Iiin ingresso nella linea e in qualunque altro punto della linea. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  13. La potenza media trasmessa dal generatore ai terminali di ingresso (input) della linea è: La potenza media trasmessa al carico: Per una linea priva di perdite deve essere la potenza media trasmessa dal generatore deve essere uguale alla potenza media trasmessa al carico : 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  14. Se la linea si chiude sulla impedenza caratteristica Zl = Z0l’impedenza della linea vista dal carico a qualunque distanza z’ dal carico sarà: Z(z’) = Z0, essendo: ed essendo z’=l-z per la tensione e la corrente si ottiene: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  15. Le relazioni trovate dimostrano che, quando una linea di trasmissione finita si chiude all’estremità con la sua impedenza caratteristica, ossia quando una linea finita è adattata: ,  le distribuzioni della tensione e della corrente sulla linea sono esattamente le stesse di una linea di lunghezza infinita, per cui non sono presenti onde riflesse. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  16. Linee di trasmissione utilizzate come elementi circuitali per ottenere il massimo trasferimento di potenza Le linee di trasmissione possono essere usate non solo come: strutture per guide d’onda per trasferire potenza e informazione da un punto ad un’altro della linea, ma anche come elementi circuitaliper le altissime frequenze UHF (Ultra High Frequency)ossia per: frequenze: f=300MHz  3 GHz e lunghezze d’onda: =c/f=1m 0.1m con c=300 106m/s  velocità delle onde nel vuoto. A tali frequenze gli elementi circuitali a parametri concentrati sono difficili da realizzare e i campi dispersi diventano importanti e quindi non trascurabili. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  17. La progettazione di sezioni di linee di trasmissione può essere finalizzata ad ottenere una impedenza induttiva o capacitiva per adattare un carico arbitrario alla impedenza interna del generatore, condizione per la quale è massimo il trasferimento di potenza. Le lunghezze delle linee richieste per ottenere elementi circuitali, è realizzabile in pratica nel campo delle UHF . Al di fuori di questo campo di frequenze (f=300MHz  3 GHz) il loro uso non risulta praticabile, infatti: alle frequenze più basse di 300 MHz le linee richieste tendono ad essere troppo lunghe e per frequenze più alte di 3 GHz le dimensioni fisiche diventano sconvenientemente piccole per essere dimensionate, per cui sarebbe vantaggioso usare componenti di guide d’onda. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  18. In molti casi i settori di linea di trasmissione possono essere considerati privi di perditeγ=+jβ≃ jβe l’impedenza di ingresso diventa: Attraverso questa espressione di Zi è possibile verificare come il comportamento delle onde piane incidenti normalmente contro una interfaccia, sia del tutto simile alla propagazione di un’onda lungo una linea di trasmissione di lunghezza limitata. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  19. Per studiare il comportamento delle onde piane nelle linee in relazione alla impedenza di uscita Zl, si possono esaminare diversi casi particolari: Linea aperta ZL=∞ Linea in corto circuito ZL=0 Linea in quarto d’onda ( di lunghezza pari l=/4) Linea in metà onda (di lunghezza pari a l=/2) Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza caratteristica, ZL=Z0 . 6.Linea con impedenza di carico arbitraria pari a: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  20. 1) Linea aperta ZL= 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  21. Reattanza induttiva l Reattanza capacitiva 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  22. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  23. 2) Linea in corto circuito ZL=0 L’impedenza di ingresso è puramente reattiva e in funzione del valore di l può essere induttiva o capacitiva e in particolare: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  24. Reattanza induttiva l Reattanza capacitiva 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  25. 3) Linea di lunghezza pari a un quarto d’onda l=/4 Quando la lunghezza della linea è un multiplo dispari di /4, z=(2n-1) /4 per n=1,2,3,…  z=[(2/ )(2n-1) /4 ] tan z=tan[(2/ )(2n-1) /4 ]  ± da cui: Una linea senza perdite con lunghezza pari a un quarto della lunghezza d’onda, trasforma l’impedenza ai terminali d’ingresso nel prodotto del suo inverso per la resistenza caratteristica al quadrato. Essa agisce come un invertitore di impedenza, in particolare: in un circuito aperto, la linea in quarto d’onda equivale ad un corto circuito ai terminali di ingresso . in un circuito in corto circuito, la linea in quarto d’onda equivale ad un circuito aperto . 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  26. In realtà se la resistenza serie della linea in quarto d’onda non è trascurabile, l’impedenza d’ingresso della linea in quarto d’onda in corto circuito è una impedenza di valore molto elevato simile a quella di un circuito risonate parallelo, ma non infinita. 4) Linea con lunghezza pari a metà della lunghezza d’onda l=n /2 Quando la lunghezza della linea è un multiplo intero di /2, z=n /2 per n=1, 2, 3,…  z=[(2/ )n /4 ]= n   tan z=tan[n  ]=0 da cui Una linea senza perdite con lunghezza pari a metà della lunghezza d’onda trasferisce l’impedenza del carico ai terminali d’ingresso senza variazioni. Ciò non è verificato per una linea con lunghezza pari a metà della lunghezza d’onda, ma con perdite. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  27. L’impedenza caratteristica Z0 e la costante di propagazione della lineaγ può essere determinata di una sezione di linea attraverso le le misure della impedenza di ingresso in a) condizioni di circuito aperto e b) condizioni di corto circuito. Infatti in base alla relazione: relazioni generali valide per linee con e senza perdite. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  28. 5) Linea con l’impedenza di carico uguale all’impedenza caratteristica ZL=Z0 infatti, per qualunque valore di z: Zi(z)=Z0= costante. In questo caso ZL=Z0 l’onda riflessa si annulla. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  29. 6) Linea con impedenza di carico arbitraria L’espressione generica della impedenza di linea sarà: Si tratta di una espressione generica funzione Z(z) = f ( , ZL, Z0 , z). Quando una linea di trasmissionesi richiudealla sua estremità su una impedenza di carico ZLdiversa dalla impedenza caratteristica Z0,sono presenti nella linea sia l’onda incidente (dal generatore), che l’onda riflessa (dal carico). 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  30. Linea terminata sull’impedenza arbitraria Essendo: Mettendo in evidenza il termine: e indicando con: si ottiene: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  31. Il rapporto delle ampiezze delle onde di tensione riflessa e incidente nel carico (z’=0) è chiamato coefficiente di riflessione della tensione della impedenza del carico ZL***. Procedendo in maniera analoga per la corrente si ottiene: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*** Esso ha una espressione analoga al coefficiente di riflessione di un’onda piana incidente normalmente su una interfaccia piana tra due dielettrici, per la quale: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  32. Per linee senza perdite le equazioni diventano: - 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  33. Ponendo VL=IL ZLe ricordando che cosh j = jcos  e che sinh j = jsin  , si ottengono le equazioni semplificate: Se l’impedenza ZL=RLle ampiezza della corrente e della tensione rispettivamente diventano: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  34. In generale per le linee senza perdite : 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  35. Si definisce lo standing wave ratioS (SWR), rapporto d’onda stazionaria, ossia il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima lungo una linea finita: Si ha che: = 0 S=1 quando ZL=Z0 ( carico adattato) = -1 S quando ZL=0 ( corto circuito) = +1 S  quando ZL  ( circuito aperto) S viene espresso in dB, poiché ha un campo di definizione molto grande. Un valore di S elevato indica una potenza persa elevata. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  36. Se la linea con impedenza di carico è priva di perdite e solo resistiva: ZL=RL e Z0=R0 il coefficiente di riflessione diventa reale reale: e si hanno due casi: RL > R0  > 0 positivo e   = 0 alla estremità della linea z’=0 la condizione (1) è verificata per n=0, ossia |Vmax| e |Imin| si verificano anche per multipli pari di : RL < R0  < 0 negativo e   = - alla estremità della linea z’=0 la condizione (2) è verificata per n=0 ossia |Vmin| e |Imax| si verificano anche per multipli pari di : 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  37. Le condizioni |Vmax| e |Imin| si verificano insieme per: (1) e le condizioni |Vmin| e |Imax| si verificano insieme per: (2) 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  38. Per RL > R0  |Vmax| e |Imin| si verificano per: Per RL < R0  |Vmin| e |Imax| si verificano per: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  39. Carta di Smith Il calcolo delle linee di trasmissione, la determinazione della impedenza di ingesso,l’impedenza di carico o il coefficiente di riflessione spesso richiedono dei calcoli tediosi con i numeri complessi, si può ovviare a ciò usando un metodo grafico di soluzione. Il più conosciuto e largamente usato è la carta grafica di P.H Smith. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  40. La carta si Smith è una rappresentazione grafica delle funzioni resistenza e reattanza del carico ZL, normalizzate nel piano del coefficiente di riflessione. Per comprendere come la carta di Smith sia stata strutturata per le linee di trasmissione prive di perdite, si esamini il coefficiente di riflessione di tensione della impedenza del carico: Si consideri l’impedenza del caricoZL normalizzata rispetto all’impedenza caratteristica R0 della linea. Dove r e x sono la resistenza e la reattanza normalizzate rispettivamente. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  41. L’equazione precedente può essere così scritta: dove r e i sono rispettivamente le parti reale e immaginaria del coefficiente di riflessione . La relazione inversa è: Moltiplicando sia il numeratore che il denominatore per il complesso coniugato del denominatore e separando le parti reale e immaginaria si ottiene: 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  42. Se si riporta la prima di queste funzioni nel piano r - i per un dato valore di r, il grafico risultante è il luogo per questo valore di r. Il luogo può essere ottenuto esprimendo l’equazione come: Questa è l’equazione di un cerchioavente un raggio pari a R=1/(1+r) e centrato in r =a= (r/(1+r) e i = 0: Per diversi valori di r si ottengono cerchi con raggio diverso centrati in posizioni diverse sull’asse r. La famiglia di cerchi r è mostrata nelle figure con linee a tratto continuo riportate di seguito. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  43. Carta di Smith in coordinate cartesiane 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  44. Carta di Smith in coordinate polari 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  45. Poichè per le linee prive di perditesolo la parte del grafico all’interno del cerchio unitario nel piano (r , i) è significativa la parte esterna può non essere considerata. Si possono notare diverse proprietà salienti dei cerchi r: 1) I centri dei cerchi r giacciono sull’asse r . 2) Il cerchio r = 0 con raggio unitario centrato sull’origine è il più grande. 3) I cerchi r diventano progressivamente più piccoli come r aumenta da 0 a  fino al punto (r=1, i=0) per circuito aperto. 4) Tutti i cerchi r passano per il punto (r=1, i=0) 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  46. Analogamente la seconda equazione può essere espressa come: Questa è l’equazione di un cerchioavente un raggio R=1/|x| e centrato in r=a=1, i=b=1/x: Per diversi valori di x si ottengono cerchi con raggio diverso centrati in punti diversi della retta r=1. La famiglia dei cerchi x, giacente all’intero del contorno | |=1, è mostrata con linee tratteggiate. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  47. Questi luoghi hanno le seguenti proprietà: I centri di tutti i cerchi x giacciono sulla retta r=1; quelli per x>0 (reattanza induttiva) giacciono al di sopra dell’asse r , e quelli per x <0 (reattanza capacitiva) giacciono al di sotto dell’asse r. 2) Per x = 0 il luogo diventa l’asse r . 3) Il cerchio x diventa progressivamente più piccolo come |x| aumenta da 0 verso , sino al punto (r=1, i=0), di corto circuito. 4) Tutti i cerchi x passano per il punto (r=1, i=0) . La carta di Smith è una carta di cerchi r e di cerchi x nel piano r- i per | |1 . Si può provare che i cerchi r e i cerchi x sono ovunque ortogonali tra di loro. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  48. L’intersezione di un cerchio r e di un cerchio x definisce un punto che rappresenta l’impedenza di carico normalizzata zL= r + jx. L’impedenza del carico reale è ZL=R0(r+jx). La stessa carta può essere utilizzata in coordinate polari così che ogni punto del piano z sia specificato dal modulo di | | e dall’angolo di fase  . Ciò è illustrato nella figura precedente dove diversi cerchi | | sono riportati con linee tratteggiate e diversi angoli   sono riportati intorno al cerchio =1 . I cerchi | | non sono normalmente riportati nelle carte di Smith commerciali, ma una volta che viene rappresentata una certa zL=r+jx in un punto P, diventa semplice disegnare un cerchio centrato nell’origine O con raggio OP. La distanza dal centro al punto è pari al modulo | | del coefficiente di riflessione e la fase  é l’angolo che la linea passante per OP forma con l’asse reale. 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  49. Questa determinazione grafica consente di evitare il calcolo di  utilizzando equazioni tediose. Riassumendo: 1) Tutti i cerchi | | sono centrati nell’origine e i loro raggi variano uniformemente da 0 a 1 2) l’angolo misurato rispetto all’asse positivo delle x, della linea passante per l’origine e il punto rappresentativo di zL é uguale a . 3) il valore nel cerchio r passante per l’intersezione del cerchio | | e l’asse reale positivo (punto PM), é uguale al rapporto d’onda stazionaria S (*) (*) vedi pagina successiva 6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

  50. (*) Infatti il cerchio || interseca l’asse reale in due punti PM sull’asse reale negativo e Pm sull’asse reale negativo. Questi punti rappresentano condizioni di carico puramente resistivo essendo sull’asse reale x=0 e ZL=RL. In particolare: in PM r>1 e RL > R0 e in Pm r<1 e RL < R0. poiché per carichi puramente ohmici RL=SR0  6g_EAIEE_ LINEE DI TRASMISSIONE_2

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