GEOMETRIA

1. GEOMETRIA Pitagora: Pitagora nella storia Teorema di Pitagora Applicazioni alla vita reale Euclide: • Euclide nella storia • Primo teorema di Euclide • Secondo teorema di Euclide

2. Pitagora nella storia Pitagora (Samo, 570 a.C. circa – Metaponto, 495 a.C. circa) è stato un matematico, legislatore, filosofo, astronomo, scienziato e politico greco antico secondo quanto tramandato dalla tradizione. Pitagora viene ricordato ancor oggi per essere stato il fondatore storico della scuola a lui intitolata nel cui ambito si svilupparono le conoscenze matematiche e le sue applicazioni come il noto teorema di Pitagora. Tale teorema però era già noto agli antichi Babilonesi ma alcune testimonianze, tra cui Proclo riferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validità. Francobollo greco in cui è raffigurata la legge del famoso teorema.

3. Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su di una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti. La dimostrazione è la seguente: • l'area di ciascuna delle piastrelle adiacenti ai cateti era di: 2 mezze piastrelle (=1 piastrella); • la somma delle due aree era quindi di: 4 mezze piastrelle (=2 piastrelle); • l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (diagonale della piastrella) era di: 4 mezze piastrelle.

4. Tavoletta babilonese. Possedevano inoltre tabelle logaritmiche, con cui di 15’ in 15’ stabilivano le potenze delle secanti e dei coseni. Erano popoli avanzatissimi. Nel 1950 circa, sono state rinvenute delle tavolette di argilla nella Mesopotamia, dove si supponeva che A² + B² dava C². Erano gli architetti, i costruttori delle Ziggurat che avevano stabilito questi rapporti. E infatti esisteva una specie di prova di maturità, un esame che dovevano affrontare gli aspiranti architetti. Menù

5. La Ziggurat è la tipica costruzione templare dei popoli mesopotamici, come i Babilonesi. Essa fungeva nelle zone più sottostanti da magazzino, mentre in alto era presente il tempio, dove avvenivano le cerimonie religiose per le divinità presenti negli astri celesti.

6. Euclide (367 a.C. ca. - 283 a.C.) è stato sicuramente il più importante matematico della storia antica, e uno dei più importanti e riconosciuti di ogni tempo e luogo. Euclide è noto soprattutto come autore degli Elementi' la più importante opera di geometria dell'antichità; tuttavia di lui si sa pochissimo. Euclide è menzionato in un brano di Pappo, ma la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra i più giovani discepoli di Platone. Euclide nella storia.

7. Primo Teorema di euclide. A AB²= BC x BF B F C Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

8. Vogliamo dimostrare che il quadrato Q è equivalente al rettangolo R. Consideriamo i triangoli rettangoli ABC e IEB, essi sono uguali poiché hanno: AB=EB, come lati del quadrato Q β=β1, perché complementari dello stesso angolo. Segue da ciò che BC=BH e BI=BH e quindi BC=BI . Il rettangolo R e il parallelogrammo P, avendo le basi BH e BI uguali ed uguali altezze (essendo essi compresi fra le parallele HI e GK) sono equivalenti. Dimostrazione:

9. TEOREMA DI PITAGORA. A AC²= AB²xBC² C B Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

10. Dimostrazione: Per il primo teorema precedente abbiamo che: R1=Q1R2=Q2 Per il postulato: i poligoni somma di poligoni rispettivamente uguali o equi composti, sono equi composti segue che: R1 + R2 = Q1 + Q2 Si ha quindi che il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Sussiste anche il teorema inverso: un triangolo è rettangolo se il quadrato costruito su un suo lato è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri e due.

11. SECONDO TEROMA DI EUCLIDE. A AD²=BD x CD d C B D Enunciato: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

12. Dimostrazione: Osserviamo che essendo BC= BF e BK=BD, abbiamo IF=DC, dove DC è la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa BC.Quindi il rettangolo IFEK (R) ha i lati uguali alle due proiezioni dei cateti del triangolo dato sull’ipotenusa. Vogliamo dimostrare che il quadrato Q1 è equivalente al rettangolo R. Per il primo teorema di Euclide abbiamo: Q3=Q2+R E per il teorema di Pitagora applicato a ABD abbiamo: Q3=Q1+Q2 E quindi per la proprietà transitiva dell’equivalenza : Q1+Q2=Q2+R Sottraendo Q2 dai due membri possiamo concludere che Q1=R

13. Applicazioni alla vita realeTeorema di pitagora i Dovendo conoscere la superficie della falda di un tetto, note h ed l, applico il teorema di Pitagora e calcolo la lunghezza della falda (i).Moltiplico questa per la lunghezza del tetto e ottengo la superficie necessaria. h l

14. Realizzato da:Beatrice Di PirroAurelia Volpe