geometria

1. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA Ten Villa Nova CMCG - 2012

2. Conceitos primitivos • Conceitos que não são definidos pois são o início da teoria. Ponto • A • r • α • Reta • Plano

3. Postulados (Axiomas) • São verdades iniciais da teoria, não há recursos suficientes para demonstrá-los. • Da Existência • P.1 – Existem infinitos pontos • P.2 – Existe reta. Uma reta é um conjunto r de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem a r. • P.3 – Existe plano. Um plano α é um conjunto de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem aα.

4. Postulados (Axiomas) • Da Determinação • P.4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta. • P.5 – Três pontos não colineares determinam um único plano.

5. Exemplos: 1) Considerando dois pontos distintos P e Q, responda as questões: • P e Q são colineares? Justifique. • Qual o número de retas que passa por P e Q? Justifique. • Quantos planos esses pontos determinam? Justifique.

6. Exemplos: 2) Determine se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. • Por dois pontos coincidentes passa uma única reta. • Três pontos não colineares determinam apenas três retas, de modo que cada uma delas contenha dois desses pontos. • Se uma reta contém dez pontos, estes são colineares. • Em um plano existem infinitas retas. • Três pontos distintos e colineares determinam um único plano. F V V V F

7. Outros elementos • Segmento de reta AB • Semirreta AB • Reta AB • B • A • B • A • A • B

8. Outros elementos • Semiplano • Semiespaço • spl (r, A) • . A • α • r • E’ • α

9. Outros elementos • Conjunto convexo Um conjunto U de pontos é convexo se, e somente se, dois pontos quaisquer de U são extremos de um segmento de reta contido em U. Conjunto convexo Conjunto não convexo

10. Posições Relativas - Duas retas Retas Coincidentes • r = s • r ∩ s = r = s Retas Concorrentes • r ∩ s = {P} • r • s • . • P • r ⊂ α, s ⊂α • α = (r, s) • α

11. Posições Relativas - Duas retas Retas Paralelas r//s • r ∩ s = Ø • r • r ⊂ α, s ⊂α • s • α = (r, s) Retas Reversas • r • s • r ∩ s = Ø • α • Não existe plano que contenha r e s

12. Perpendicularidade Retas ortogonais • r • r //r’ • r‘ ⊥ s • r ’ • s Se duas retas formam ângulo reto entre si, são: ‣‣Ortogonais, se forem reversas • ‣‣Perpendiculares, se forem retas coplanares

13. Resumo Duas retas no espaço Distintas Coincidentes Reversas Coplanares Ortogonais Oblíquas Concorrentes Paralelas (não –ortogonais) Perpendiculares Oblíquas

14. Exemplos: 1) Determine se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. • Duas retas coincidentes também são concorrentes. • Retas que não se cruzam podem ser paralelas ou reversas. • Sejam as retas r, s e t. Sabendo que r//s e r ⊥ t, pode-se afirmar que s ⊥ t. • Duas retas que têm dois pontos em comum são coincidentes. • Se as retas r e s são perpendiculares a t, então r//s. F V F V F

15. Posições Relativas – reta e plano Reta contida no plano • . • r ⊂ α • r ∩α = r • r • . • B • A Reta e plano concorrentes (secantes) • r ∩α = {P} • . • P • P é o traço de r em α • α • α

16. Posições Relativas – reta e plano Reta paralela ao plano • r • r ∩ α = Ø • r ⊄ α • r // s • s ⊂ α • s • α

17. Perpendicularidade Retas e plano perpendiculares t ⊥ α • t • t ⊥ r • t ⊥ s • s • . • . • r ⊂ α, s ⊂α • r ∩ s = {P} • P • r Se uma reta t é perpendicular a duas retas, r e s, concorrentes de um plano α, então ela é perpendicular ao plano. • . • α

18. Obs. Se a reta t passa através do plano α e t não é perpendicular α, dizemos que t e α são oblíquos. • t • . • P • α

19. Resumo Uma reta e um plano no espaço Reta concorrente ao plano Reta Paralela ao plano Reta contida no plano Reta Oblíqua ao plano Reta perpendicular ao plano

20. Exemplos: 1) Determine se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. • Se a reta u é perpendicular ao plano β, então u é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano que passam pelo ponto comum a u e β. • Se r e s são retas perpendiculares e apenas r está contida no plano α, podemos afirmar que s ⊥ α. • Se as retas v e t são paralelas e somente v está contida no plano β, pode-se afirmar que t//β. • Se r é uma reta perpendicular a duas outras retas contidas no plano α, a reta s paralela a α é perpendicular a r se, e somente se, r e s forem concorrentes. V F V V

21. Posições Relativas – Dois planos Coincidentes (paralelos iguais) • α ∩β = α = β α =β Secantes (concorrentes) • r β • α ∩β = r α

22. Posições Relativas – Dois planos Paralelos distintos • α ∩β =Ø β • α //β α

23. Planos perpendiculares (α⊥β) r β • . • r ⊂β • ⇒ α⊥β • r ⊥α • α

24. Obs. Se dois planos secantes não são perpendiculares, eles são chamados de oblíquos. • β • α

25. Resumo Dois planos no espaço Coincidentes Distintos (paralelos iguais) Paralelos Secantes Oblíquos Perpendiculares

26. Exemplos: 1) Determine se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. • Se a reta r é paralela aos planos α e β, estes são paralelos. • Se uma reta está contida no plano α, e α//β, então a reta é paralela ao plano β. • Nem sempre dois planos perpendiculares são concorrentes. • A intersecção de dois planos secantes é uma reta. • Se dois planos são concorrentes não coincidentes, não existe um terceiro plano que é concorrente a apenas um deles. F V F V F