Geometria

1. Geometria Własności figur płaskich Autorki:  Anita Greniuk i  Milena Sawicka 

2. Pojęcia • Punkt - oznaczony jest kropką i ma zerowy rozmiar. • Odcinek - prosta ograniczona z dwóch stron. • Prosta - to nie ograniczona linia. • Półprosta - jest to linia ograniczona z jednej strony. • Łamana - jest to figura zbudowana z odcinków połączonych końcami. • Kąt - to dwie proste o wspólnym początku dzielącym płaszczyznę na dwie części. • Wielokąt – to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą. • Figury przystające – są to dwie figury które można nałożyć na siebie. • Trójkąt – to figura zbudowana z trzech odcinków i trzech punktów. • Czworokąt – to wielokąt o czterech bokach. • Figury podobne – to figury o takich samych kątach i odpowiednich proporcjonalnych bokach.

3. Punkt • Punkty zaznaczamy kropkami a nazywamy dużymi literami alfabetu np.: A, K, M. • Przez jeden punkt można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych.

4. Punkt • Przez dwa różne punkty można przeprowadzić tylko jedną prostą. • Do prostej należy nieskończenie wiele punktów np.: punkt C należy do prostej i. • Punkty leżące na prostej z są punktami współliniowymi.

5. Odcinek • O odcinkach, które maja równe długości mówimy, że są przystające i zapisujemy AB ≡ CD • Prostymi prostopadłymi nazywamy proste przecinające się pod kątem prostym.

6. Prosta • Odległością punktu od prostej nazywamy długość najkrótszego odcinka łączącego dany punkt z punktami leżącymi na prostej. • Prostymi równoległymi nazywamy proste leżące w jednej płaszczyźnie nie przecinające się (nie mają punktu wspólnego) lub proste pokrywające się.

7. Łamana zwyczajna • Łamana zwyczajna otwarta to np.: ABCDE • Łamana zwyczajna zamknięta to np.: DRUKED

8. Półprosta Punkt K dzieli prostą na dwie półproste. Półprostą nazywamy każdą z dwóch części prostej, na które dzieli ją punkt leżący na niej wraz z tym punktem.Punkt ten nazywamy początkiem półprostej.

9. Łamana wiązana • Łamana wiązana otwarta np.: EFGHI • Łamana wiązana zamknięta np.: PRSTUP

10. Kąty • Kąt wypukły jest mniejszy lub równy 180˚. Jeżeli dwa dowolne punkty należące do kąta połączymy odcinkiem, to odcinek również należy do tego kąta. • Kąt wklęsły jest to kąt większy niż 180˚ i mniejszy od 360˚.

11. Kąty • Kąt prosty ma miarę 90 ˚ • Kąt ostry ma miarę większą niż 0˚, ale mniejszą od 90˚ • Kąt rozwarty ma miarę większą od 180˚ a mniejszą od 360˚ • Są to kąty wypukłe.

12. Kąty • Kąt zerowy to kąt wypukły. Ramiona tego kąta pokrywają się. Do kąta należą tylko punkty jego ramion. Miara kąta -0˚ • Ramiona kata półpełnego tworzą prostą. Miara tego kąta to 180˚. To kąt wypukły.

13. Kąty Ramiona kąta pełnego pokrywają się. Do kata należą wszystkie punkty płaszczyzny. Miara kąta to 360˚. Jest to kąt wypukły. Kąty wierzchołkowe mają równe miary i są kątami wypukłymi, przedłużenia ramion jednego kąta są ramionami drugiego kąta

14. Kąty • Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe tworzą prostą. Suma miar kątów to 180˚.

15. Kąty Jeżeli dwie proste są równoległe i przetniemy je trzecią prostą, to otrzymamy kąty: - odpowiadające np.: - naprzemianległe zewnętrzne np..: - naprzemianległe wewnętrzne np..:

16. Wielokąty • Punkty A, B, C, D,… nazywamy wierzchołkami wielokąta. • Odcinki, które łączą dwa sąsiednie wierzchołki wielokąta, na przykład AB, BC, CD, … nazywamy bokami wielokąta • Odcinki, które łączą dwa wierzchołki wielokąta, ale nie są jego bokami – to przekątne wielokąta, na przykład odcinki AC, DB.

17. Wielokąty • Jeżeli wszystkie kąty wielokąta są wypukłe to jest on wielokątem wypukłym • Jeżeli wielokąt posiada kąt wklęsły to jest on wielokątem wklęsłym.

18. Figury przystające • Dwie figury są przystające jeżeli jedną z tych figur można nałożyć na drugą,

19. Trójkąty • Suma miar kątów w trójkącie równa jest 180˚ • Trójkątem różnobocznym nazywamy trójkąt którego ramiona są różnej długości. Jest to trójkąt różnoboczny ostrokątny

20. Trójkąty • Trójkątem równobocznym nazywamy trójkąt którego wszystkie boki są równe i kąty wewnętrzne są takie same - 60˚. Jest to trójkąt równoboczny ostrokątny. • Trójkątem równoramiennym nazywamy trójkąt którego dwa ramiona są równe, kąty przy podstawie mają równe miary. Jest to trójkąt równoramienny ostrokątny.

21. Trójkąty • Trójkątem równoramiennym prostokątnym nazywamy trójkąt którego dwa ramiona są równe i jeden kąt wewnętrzny jest kątem prostym. • Trójkątem równoramiennym rozwartokątnym nazywamy trójkąt którego dwa boki są równe i jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

22. Trójkąty(wysokości) • Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem). Jest on zawsze prostopadły do tego boku ( lub jego przedłużenia). • Każdy trójkąt ma trzy wysokości. • Wysokość trójkąta (lub ich przedłużenia), przecinają się w jednym punkcie.

23. Obliczanie kątów w trójkącie • Korzystając z poprzednio zawartych informacji wiemy że dwa kąty przystające mają miarę 180˚. • Jeżeli mamy dane dwa kąt zewnętrzne możemy obliczyć wszystkie kąty wewnętrzne, np.: 180˚- 50˚=130˚

24. Własności trójkątów • W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe. Trzecia wysokość opuszczona na postawę dzieli ja na dwie równe części, a półprosta, w której leży ta wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach. • Wysokości trójkąta równobocznego dzielą każdy bok trójkąta na połowy, a półproste, w których leżą te wysokości, dzielą każdy kąt wewnętrzny trójkąta na dwa kąty o równych miarach.

25. Własności trójkątów • Jeżeli kąty ostre trójkąta prostokątnego są równe 30˚ i 60˚, to jego przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°. • W trójkącie równobocznym odległość punktu W ( punktu przecięcia się wysokości) od wierzchołka trójkąta jest równa ⅔ jego wysokości, od boku tego trójkąta jest równa ⅓ jego wysokości.

26. Czworokąty • Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360°. • W kwadracie wszystkie boki są równe i kąty wewnętrzne są proste.

27. Czworokąty • W prostokącie wszystkie kąty są proste. Boki prostokąta są parami równe i równoległe. • W rombie wszystkie boki są równe. Przekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.

28. Czworokąty • W równoległoboku są dwie pary boków równoległych. Przekątne równoległoboku, przecinając się, dzielą się na połowy. Równoległobok, który ma dwie pary boków różnej długości, ma dwie różne wysokości. • W trapezie jest co najmniej jedna para boków równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami trapezu, a boki nierównoległe nazywamy ramionami trapezu.

29. Czworokąty • W trapezie równoramiennym ramiona mają równe długości, a kąty przy podstawach mają równe miary. W trapezie wszystkie przekątne są równe. • W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. • W deltoidzie dwie pary sąsiednich boków są równe. Przekątne przecinają się pod kątem prostym i jedna z nich dzieli drugą na połowę.

30. Przykłady figur podobnych • Dwa trójkąty podobne mają odpowiednie kąty równe i odpowiednie boki proporcjonalne. • Dwa prostokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie boki są proporcjonalne.

31. Korzystałyśmy z wyszukiwarki internetowej: • www.google.pl • www.mozillafirefox.pl