Rotación de un cuerpo rígido

1. Rotación de un cuerpo rígido Física I

2. Contenido • Velocidad angular y aceleración angular • Cinemática rotacional • Relaciones angulares y lineales • Energía rotacional • Cálculo de los momentos de inercia • Teorema de los ejes paralelos • Ejemplos de momento de inercia • Momento de torsión • Momento de torsión y aceleración angular • Trabajo, potencia y energía

3. Velocidad angular y aceleración angular El punto P se mueve a lo largo de un círculo de radio r. El arco que describe esta dado por: Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa por O. y P r Donde q está medido en radianes. La velocidad angular promedio se define como: x q O

4. La velocidad angular instantánea es: La aceleración angular promedio se define como: La aceleración angular instantánea es: Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.

5. Cinemática rotacional Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por q, v por w, a por a. De esta forma si w = w0 y q = q0 en t0 = 0 se tiene:

6. Relaciones angulares y lineales La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera: Similarmente para la aceleración:

7. Ejemplo En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s. Calcule la rapidez en las pistas interior y exterior. El tiempo de reproducción es de 74 min y 38 s ¿Cuántas revoluciones de el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleración angular durante todo el intervalo?

8. y y at a P v ar P r r x x q q O O La velocidad v siempre es tangente a la trayectoria La aceleración lineal en un punto es a = at +ar

9. y vi mi ri x q O Energía rotacional Un objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular w. La energía cinética de la partícula es: La energía total del objeto es: Donde I es el momento de inercia definido como: La energía total de rotación es la suma de todos los Ki:

10. Ejemplo Molécula de oxígeno mO = 2.66 x 10-26 kg d = 1.21 x 10-10 m w = 4.60 x 1012 rad/s Calcular I, KR z d x y

11. Ejemplo Calcular Iy e Iz m b M M a a b m

12. Cálculo de los momentos de inercia El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante la integral: Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen: Entonces:

13. Teorema de los ejes paralelos El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es I = ICM + MD2

14. Ejemplos de momento de inercia Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el extremo. Cilindro sólido o disco Aro o cascarón cilíndrico Cilindro hueco Placa rectangular Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro. Esfera sólida Esfera hueca

15. F f F sen f F cos f F1 d1 r f O Línea de acción d2 F2 O d Momento de torsión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a hacer girar se le llaman momento de torsiónt. El momento de torsión asociado con la fuerza F es: trFsen f = Fd Donde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F. La fuerza F1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F2 a favor de las manecillas del reloj. El momento de torsión es: tneto = t1 + t2 = F1d1-F2d2

16. Ejemplo y Calcular momento de torsión neto F1 = 5 N, R1 = 1 m, F2 = 15 N, R2 = 0.5 m F1 R1 R2 x z F2

17. Ft m Fr r Momento de torsión y aceleración angular Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r, el momento de torsión alrededor del centro del círculo es: t = Ftr = (mat)r = (mar)r = mr2a O bien: t = Ia El momento de torsión que actúa sobre la partícula es proporcional a su aceleración angular.

18. y dFt dm r x O Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración angular at. Entonces dFt = (dm)at El momento de torsión será: dt = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)a El momento de torsión total es la integral de este diferencial:

19. ejemplo El momento de torsión es: t = Fd = Mg(L/2) La aceleración angular es L/2 Mg pivote La aceleración lineal del extremo es a = La = 3/2 g

20. Ejemplo M La 2a ley de Newton T R T m M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg

21. Máquina de Atwood Segunda ley m1g – T1 = m1a T3– m2g = m2a Momento de torsión sobre las poleas (T1 – T2) = Ia (T2 – T3) = Ia Resolviendo se obtiene para la aceleración T2 + T1 T3 m1 m2 + T1 T3 n1 n2 T2 T2 m1 m2 T1 mPg mPg T3 m1g m2g

22. F f ds P dq r O Trabajo, potencia y energía El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es: dW = F·ds = (F sen f) rdq = tdq La tasa a la cual se hace trabajo es: Es fácil mostrar que: El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girar un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del objeto.

23. Ejemplo Ei = U = MgL/2 Ef = KR = Iw2/2

24. Ejemplo R DK = Kf – Ki = (½m1vf2 + ½m2vf2 + ½Iwf2 ) – 0 DK + DU1 + DU2= 0 DU1= m1gh DU2= m2gh m2 h h m1