Introducción a la Inferencia Estadistica

1. Introducción a la Inferencia Estadistica Dept. of Marine Science and Applied Biology Jose Jacobo Zubcoff

2. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Intervalos de confianza Intervalos de confianza: sirven para estimar el valor de un Parámetro de la población. Un intervalo de confianza del 1-α% para un parámetro es un intervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra Probabilidad 1-αde que contenga el verdadero valor del parámetro. El nivel de confianza suele ser 0,90 (90%), 0,95 (95%) ó 0,99 (99%). Interpretación práctica

3. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido

4. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido La media muestral y la desviación estándar son buenos estimadores Estos estimadores son a la vez variables aleatorias. Tienen una determinada distribución, en el caso de la media es Normal. Así pues podemos calcular un intervalo de valores [a,b] tales que = C

5. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. condistribución N(,) con conocida. Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimar la media de la población. El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral esconocida tendrá distribución normal estándar El estadístico

6. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Sobre la distribución N(0 , 1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -z/2 y z /2 , tales que P(-z /2Z z /2 ) = 1-

7. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Sustituyendo Z Despejando nos queda el intervalo de confianza,

8. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Gráficamente: para una normal tipificada, un intervalo de confianza del 95% se puede representar como: La probabilidad de que una variable normal tipificada tome valores en el intervalo [-1.96,1.96] es del 95%. 95% 2.5% 2.5%

9. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, • Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 25 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que 2 es de 400 kg2.

10. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, • Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 25 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que 2 es de 400 kg2.

11. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, • Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 25 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que 2 es de 400 kg2.

12. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Si la varianza poblacional es desconocida y la variable es normal (o se puede aproximar a la normal por el Teorema central del límite) • Se usa la t de Student, • Con n –1 grados de libertad • Desvíación típica muestral. El intervalo de confianza resulta

13. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio

14. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio

15. Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de confianza para la media poblacional,  conocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio

16. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Que es: hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de una población.  Ho : Hipótesis nula H1 : Hipótesis alternativa Errores que se pueden cometer Pueden ser unilaterales o bilaterales Conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, permite aceptar o rechazar la hipótesis nula

17. Introducción a la Inferencia Estadistica a=5% Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 H0: m=40 Contrastes de Hipótesis Ho : μ = μo H1 :μ≠μo Contraste bilateral

18. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Si supongo que H0 es cierta... ¿qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones? ...el resultado del experimento sería improbable. Sin embargoocurrió.

19. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Si supongo que H0 es cierta... Rechazo que H0 sea cierta. ...el resultado del experimento sería improbable. Sin embargoocurrió.

20. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Si supongo que H0 es cierta... • No hay evidencia contra H0 • No se rechaza H0 • El experimento no es concluyente • El contraste no es significativo ¿Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta? ...el resultado del experimento es coherente.

21. Región crítica Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H0 Nivel de significación: a Número pequeño: 1% , 5% Fijado apriori por el investigador Probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis a=5% Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 H0: m=40

22. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa H1: m¹40 Bilateral Unilateral Unilateral H1: m>40 H1: m<40

23. Introducción a la Inferencia Estadistica Significación: p-valor Contrastes de Hipótesis a H0: m=40

24. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis No se rechaza H0: m=40 a H0: m=40

25. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Significacion. P-valor Probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Probabilidad de obtener una muestra “más extraña” que la obtenida. P-valor es conocido después de realizar el experimento aleatorio El contraste es no significativo cuando p>a No se rechaza H0: m=40 P-valor a P a

26. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Se rechaza H0: m=40 Se acepta H1: m>40 a

27. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis El contraste es estadísticamente significativo cuando p<a Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori. a P Se rechaza H0: m=40 Se acepta H1: m>40 a P

28. Sobre a Número pequeño, elegido a priori antes de diseñar el experimento Conocido a sabemos todo sobre la región crítica Sobre p Es conocido tras realizar el experimento Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis • Sobre el criterio de rechazo • Contraste significativo = p menor que a

29. Estamos estudiando el efecto del estrés sobre la presión arterial. Nuestra hipótesis es que la presión sistólica media en varones jóvenes estresados es mayor que 18 cm de Hg. Estudiamos una muestra de 36 sujetos: X = 18,5 S = 3,6 Plantear Contraste Estadístico Zona de Rechazo P-valor Conclusiones β Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis t(35)0,05=1,69 T=0,833 No esta en Región Crítica No es > 1,69 P-valor para T=0,833, y para 35 g.l. es aproximadamente 0,20 NO Se rechaza H0: m<=18 H1: m>18

30. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis El contraste es estadísticamente significativo cuando p<a Pero que pasa cuando NO Rechazo? El error cometido es β Para calcularla se debe concretar H1 μ1= 20 (Cuidado: el criterio para este valor no es estadístico)

31. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Cuando Acepto Ho: El error β es P(Z<zα) tomando μ1= 20 Calculamos el Z correspondiente En este caso hemos calculado β para un n dado y para una μ1

32. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Calculo del Tamaño Muestral Se obtiene a partir de L2 Podemos fijar n y calcular β ó Podemos fijarβy entonces debemos calcular n para cumplir con ese error μo μ1 L2

33. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis Calculo del Tamaño Muestral Se obtiene a partir de L2 n = (zα + zβ)2 (σ/δ)2 En este caso hemos fijado βy entonces debemos calcular el n para cumplir con ese error μo μ1 L2 δ

34. Introducción a la Inferencia Estadistica μo μ1 Contrastes de Hipótesis Comportamiento de β, δ y el tamaño muestral n = (zα + zβ)2 (σ/δ)2 Si fijamos β nDISMINUYE cuando aumentoδ μo μ1 L2 δ

35. Intervalo de Confianza para la Varianza Introducción a la Inferencia Estadistica Intervalo de Confianza

36. Plantear Contraste Estadístico Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes de Hipótesis para Varianza

37. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones

38. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes Varianzas Conocidas ) -Δo ( Zexpt = σx2 σy2 Bilateral Unilateral P-valor = 2 P(z> |zexpt|) P-valor = P(z> zexpt)

39. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes Varianzas Iguales Varianzas Distintas

40. Introducción a la Inferencia Estadistica σx2 σy2 x Contrastes para dos Poblaciones Independientes Intervalo de confianza para diferencia de medias Varianzas Conocidas

41. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes Problema. Se quiere comprobar si los datos de número de resfriados durante el periodo de exámenes por estudiante influyen tomando vitamina C. Los sig. datos corresponden a muestras a las que se les ha suministrado placebo (x) y Acido Ascorbico (y). x = 2,2 y = 1,9 Sx = 0,12 Sy= 0,10 Nx= 155 Ny = 208

42. Introducción a la Inferencia Estadistica σx2 FNnum – 1 , Nden – 1 , 0.025 σy2 Contrastes para dos Poblaciones Independientes Placebo (x) y Acido Ascorbico (y). x = 2,2 y = 1,9 Sx = 0,12 Sy= 0,10 Nx= 155 Ny = 208 1,2 < 1,3637 Varianzas Iguales

43. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes Placebo (x) y Acido Ascorbico (y). x = 2,2 y = 1,9 Sx = 0,12 Sy= 0,10 Nx= 155 Ny = 208 (pero iguales)

44. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes Problema. 2 Los sig. datos corresponden a muestras de dos ciudades En las que se ha observado el nivel de contaminación de plomo en el agua corriente. Verificar si hay diferencias entre ambas ciudades. xy

45. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Independientes

46. Introducción a la Inferencia Estadistica Contrastes para dos Poblaciones Dependientes 1) Definimos la variable D como: D = {Antes - Despues} ó D = {Despues - Antes} ó D = { X - Y} ó D = { Y - X} 2) Proponemos el contraste 3) Calculamos el estadístico en función de la definición de D y del contraste propuesto, siendo D una variable Normal 4) Obtenemos las conclusiones y aportamos el p-valor