TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA

1. TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS A. CS II Matemáticas 2º Bachillerato CS

2. Tema 14.6 * 2º B CS NIVEL DE CONFIANZA Matemáticas 2º Bachillerato CS

3. NIVEL DE CONFIANZA, ERROR Y TAMAÑO • El (1 – α).100% de las muestras cumplen que: • |x – μ| < zα/2 . σ/√n • El valor E = zα/2 . σ/√n se llama error máximo admisible. • Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra menor será el error, pues se reduce el tamaño del intervalo y podemos afinar más en la estimación. • Cuanto mayor sea (1 – α), es decir cuanto más seguros queremos estar de nuestra estimación, mayor será el error. • Nota_1 • Para aumentar el nivel de confianza debemos aumentar el tamaño de la muestra. • Nota_2 • Para ser más precisos en la estimación hemos de aumentar el tamaño de la muestra. Matemáticas 2º Bachillerato CS

4. Recordatorio: A emplear para ejemplos • En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. • Principales valores críticos • 1 – αα/2 zα/2 • 0,9 0,05 1,645 • 0,95 0,025 1,96 • 0,99 0,005 2,575 • k 0 k=zα/2 Matemáticas 2º Bachillerato CS

5. EJEMPLO_1 • De la observación del trabajo de una fotocopiadora industrial sabemos que la desviación típica, σ, es de 0,45 s. ¿Cuál es el número de medidas de tiempo que hay que realizar para que, con un 99% de confianza, el error de la estimación no exceda de 0,15 s? • Resolución: • Para un nivel de confianza del 99%, sabemos que: • α/2 = 0,005 y que zα/2 = 2,575 • El error máximo admisible es: • E = zα/2 . σ/√n • Sustituyendo los datos conocidos: • 0,15 = 2,575 . 0,45/ √n • Operando: √n = 2,575 . 0,45 / 0,15  = √n = 2,575 . 3 = 7,725 • Luego n = 7,7252 = 59,67 • Se deben realizar 60 medidas (el menor entero mayor de 59,67). Matemáticas 2º Bachillerato CS

6. EJEMPLO_2 • En una empresa hemos realizado 49 medidas de tiempo en un determinado proceso industrial. La desviación típica, σ, del proceso es de 3,5 min. Deseamos estimar el tiempo medio del proceso con un error máximo de 1 min. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. • Resolución: • El error máximo admisible es: • E = zα/2 . σ/√n • Sustituyendo los datos conocidos: • 1 = zα/2 . 3,5 / √49 • Operando: √49 = zα/2 . 3,5  7 = zα/2 . 3,5  2 = zα/2 • Por las Tablas de la Normal: P(z < zα/2 ) = P(z < 2) = 0,9772 • α/2 = P(z ≥ 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228  α = 0,0456 • Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,0456 = 0,9544 • El nivel de confianza será del 95,44 %. Matemáticas 2º Bachillerato CS

7. EJEMPLO_3 • En una fábrica de vidrio hemos realizado 36 medidas de capacidad a otras tantas botellas producidas. La desviación típica, σ, del proceso es de 0,045 litros. Deseamos estimar la capacidad media de las botellas fabricadas con un error máximo de 0,0075 litros. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. • Resolución: • El error máximo admisible es: • E = zα/2 . σ/√n • Sustituyendo los datos conocidos: • 0,0075 = zα/2 . 0,045 / √36 • Operando: √36 . 0,0075 = zα/2 . 0,045  0,045 = zα/2 . 0,045  1 = zα/2 • Por las Tablas de la Normal: P(z < zα/2 ) = P(z < 1) = 0,8413 • α/2 = P(z ≥ 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587  α = 0,3174 • Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,3174 = 0,6826 • El nivel de confianza será del 68,26 %. • El nivel de confianza es pequeño, al ser la muestra pequeña y el error máximo admisible también muy pequeño. Matemáticas 2º Bachillerato CS

8. EJEMPLO_4 • Para 96 familias españolas elegidas al azar se ha determinado que la TV permanece encendida una media de 217 minutos diarios, siendo de 40 minutos la desviación típica de la muestra. • a) Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de la población española?. • b) ¿Qué tamaño de la muestra sería necesario para reducir ese error a la mitad?. • Resolución: • a) Para una confianzas del 95%: • (1 – α) = 0,95  α = 0,05  α / 2 = 0,025  zα/2 = 1,96 • El error máximo admisible es: • E = zα/2 . σ/√n • Sustituyendo los datos conocidos: • E = 1,96. 40 / √ 96 = 8 minutos • b) E = 8 / 2 = 4 • E = zα/2 . σ/√n 4 = 1,96. 40 / √n  √n = 19,6  n = 384 familias Matemáticas 2º Bachillerato CS

9. EJEMPLO_5 • Tomamos al azar a 49 amas de casa. Tras una encuesta determinamos que el 35% del sueldo se gasta en alimentación y vestimenta. • a) Para una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de la población española?. • b) ¿Qué tamaño de la muestra sería necesario para reducir ese error a la mitad?. • Resolución: • a) Para una confianzas del 95%: • (1 – α) = 0,95  α = 0,05  α / 2 = 0,025  zα/2 = 1,96 • Tenemos: p = 35% = 0,35  q = 1 – p = 0,65 • El error máximo admisible es: • E = zα/2 . √(p.q/n) • Sustituyendo los datos conocidos: • E = 1,96. √ (0,35.0,65 / 49) = 1,96.0,0681 = 0,1335 = 13,35 % • b) E = 0,1335 / 2 = 0,06675 • E = zα/2 . √ (0,35.0,65 / n) 0,06675 = 1,96. √ (0,35.0,65 / n)  •  √n = 1,96. √ (0,35.0,65) / 0,06675 = 14  n = 196 amas de casa Matemáticas 2º Bachillerato CS

10. Ejercicios propuestos • EJEMPLO_6 • a) Con un nivel de confianza del 90%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. • b) Con un nivel de confianza del 50%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. • EJEMPLO_7 • a) Realizando 36 medidas, en lugar de 49, tomar los datos del Ejercicio_2. • EJEMPLO_8 • a) El error máximo admisible de 0,00075 litros, en lugar de 0,0075 litros, tomando los datos del Ejercicio_3. Matemáticas 2º Bachillerato CS

11. EJEMPLO_9 • Una máquina fabrica canicas de tres colores en las siguientes proporciones: Cuatro de color blanco por cada 6 de color rojo y por cada 10 de color negro. Todas ellas se mezclan en un recipiente común. • Hallar el intervalo de confianza para las muestras (embases) con una fiabilidad del 75%. • a) Para la proporción de canicas de color blanco. • b) Para la proporción de canicas de color rojo. • c) Para la proporción de canicas de color negro. • d) Hallar el error máximo admisible en cada caso. • Hallar el tamaño de las muestras para reducir ese error a: • e) Los 2/3 en la proporción de canicas blancas. • f) Los 3/4 en la proporción de canicas rojas. • g) Los 5/7 en la proporción de canicas negras. • Algunas soluciones : • a) La media de la muestras estará en (0,154 , 0,246) • b) La media de la muestras estará en (0,2473 , 0,3527) • c) La media de la muestras estará en (0,4425 , 0,5575) Matemáticas 2º Bachillerato CS