În loc de ... INTRODUCERE !

1. -Vrei să împărțim între noi ,doi, merele ? ...unul mie,... Atunci, să ne apucăm de treabă! Salut ! De acord! Da, dar în mod egal ! -Deci: Unul ție... În loc de ...INTRODUCERE ! Bună !!! DIVIZIBILITATEA 2 I 6 6:2=3 O.K! numerelor naturale 6=2x3 Realizator: Profesor IOAN AIACOBOAIE Şcoala “ Emil Racoviţă” Oneşti

2. Divizibilitatea Să ne reamintim: Pentru orice pereche de numere naturale , a și b ≠ 0 , există o altă pereche de numere naturale ,cși r, astfel încât: a=b•c+r ; r<b (împărțirea cu rest). : Calcule 5 = 13 2 (cât) Exemplu 10 2 x 5 = 10 =3 (rest) Verificare 13 = 5 2 3 • + c = + a b c r ; • : a b = r < b; b ≠ 0; r ●Dacărestul împărțirii lui a la beste egal cu 0,(r = 0), spunem că împărțirea este exactă. În această situație spunem că numărul aeste divizibil cub. Observație

3. Definiție Fie ași b ≠ 0 două numere naturale; Spunem că aeste divizibil cubdacă există un alt număr natural, c,astfel încât : a = b c • ! Cu alte cuvinte, numărul ase împarte exact la b ,sau restul împărțirii lui a la beste 0 . ! Se notează: … a b (a este divizibil cu b) sau b a (b divide pe a) / Convenții de denumirişi notaţii: b - divizor al luia (împărţitorul unei împărţiri cu rest 0) a - multiplu al luib (deîmpărţitul unei împărţiri cu rest 0) Da -mulțimea divizorilor unui număr a Ma -mulțimea multiplilor unui număra

4. Exemple: 15 3 15 3 5 3 15 = = • / … pentru că 28 7 28 7 4 7 28 = • / … pentru că Calcule ►Mulţimea divizorilor unui număr : 24 = 1 x 24 2I24 Analog……. D24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; = 8 12 24=2x12 4 24 3I24 1 I 24 24=3x8 D30 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30; = 6 ►Proprietăți ale relației de divizibilitate 1 / a, oricare ar fiaϵN Dacăa / b și a / c 1 5 atunci a / b ± c a / a ,oricare ar fi aϵN* 2 Dacăa I bsaua I c 6 atunci a / b•c a / 0 ,oricare ar fi aϵN* 3 Dacă a/bşi b/a , atunci 7 a / bșib/c a / c 4 a=b

5. Divizori improprii, divizori proprii Oricare număr natural , nenul ,admite cel puțin doi divizori:1și “EL ÎNSUȘI”.Aceștia se numesc ! divizori improprii. ●Divizorii diferiți de divizorii improprii se numesc divizori proprii. D15 1; 3; 5; 15; ●Exemplu = 1; 15; ►Divizorii improprii ai lui 15 sunt: 3; 5; ►Divizorii proprii ai lui 15 sunt: Mulțimea divizorilor unui număr natural conține un număr finit de elemente (are cardinal finit). ! ►Numere prime Un număr care are numaidivizorii improprii , ( adică pe 1 şi pe “EL ÎNSUŞI “),se numește ●Definiție număr prim . ●Exemple: Mulţimea numerelor naturale prime mai mici decât 30 : { } P= 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 ;

6. Criterii dedivizibilitate ►În mod obişnuit,pentru a vedea dacă un număr natural,a, estedivizibil cu un alt număr natural, b≠0,trebuie să efectuăm împărţirea lui a la b şi în funcţie de restul obţinut putem să stabilim dacă cele două numere sunt în relaţia de divizibilitate,sau nu. ●Totuşi, fără a efectua împărţirea , putem stabili dacă un număr este divizibil cu un alt număr. Acest lucru va fi posibil dacă ne însuşim câteva reguli sau criterii de divizibilitate Multiplii unui număr natural a , sunt numere naturale de forma {a▪n}, unde n este număr natural. Ma={ a▪n / nЄN} Exemplu: Mulţimea multiplilor lui 7 conţine numere de forma {7▪n/ nЄN}. n 0 1 2 3 4 ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ 7▪n 0 7 14 21 28 ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ M7= { 0; 7; 14; 21; 28; 35;…}

7. O întâmplare ...cu tâlc! Mai mulţi prieteni hotărăsc să plece într-o drumeţie, sâmbăta la ora 8. Condiţia de participare este ca fiecare să aibă un partener . După alte două minute , încep să sosească ,pe rând şi ceilalţi copii. Cu scuzele de rigoare , soseşte în sfârşit şi Vasilică ... Ca de obicei , Gigel soseşte primul, la 7 45. O mică discuţie în jurul acestei “întâmplări” ! ►Conform convenţiei , fiecare copil trebuia să aibă un (o) partener(ă )! ...perechea Oanei ! ●Dacă partenerul Oanei nu ar fi venit , numărul copiilor ar fi fost impar,(7) şi atunci Oana nu ar fi mers alături de ceilalţi copii în drumeţie. Nicicând 7 copii nu pot fi grupaţi în perechi , fără ca unul dintre ei să rămână pe dinafară. ●Datorită faptului că ,în final, numărul copiilor a devenit par , se pot forma perechi , în orice mod , oricare copil, făcând, în mod sigur, parte dintr-o pereche (deoarece orice număr par se împarte exact la 2 ) La ora plecării, copiii îşi aleg perechea şi se constată că au venit doar 7 copii , existând riscul ca unul dintre ei, Oana , să nu participe ,neavând pereche. ►Prin asemănare cu întâmplarea de mai sus, am putea să găsim numărul optim de copii care ar putea fi grupaţi câte 3 ,sau câte 4 ,sau câte 5 ,etc. ...şi astfel , toţi copiii au plecat voioşi în drumeţie !

8. Criterii dedivizibilitate ►Criteriul de divizibilitate cu 2 ●Să observăm mai întâi că numerele divizibile cu 2 sunt multiplii lui 2, adică mulţimea numerelor pare : M2={ 2▪n/nЄN } M2= { 0; 2; 4; 6; …; 2n;…}; n, număr natural . Dacă ultima cifră a unui număr natural este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 2. Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este cifră pară sau 0 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 2. !

9. … Criterii dedivizibilitate ►Criteriul de divizibilitate cu 5 ●Multiplii lui 5 au forma : M 5={ 5▪n / nЄN} M5={0; 5; 10;15; 20;25;30;….} ►Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 sau 5,atunci acel număr este divizibil cu 5. ►Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0 sau 5 ,atunci acel număr nu este divizibil cu 5. 5729 5 ●Contraexemplu 5729 :5 = 1145 ,rest4

10. Criterii de divizibilitate (10= 2▪5) ►Criteriul de divizibilitate cu 10 M10= {10▪n / nЄN } M10= {0; 10; 20; 30; …2100 …}; ●Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 ,atunci acel număr este divizibil cu 10. ●Dacă ultima cifră a unui număr natural NU este0 ,atunci acel număr NU este divizibil cu 10. ►Dacă un număr natural este divizibil cu 2 şi cu 5 ,atunci acel număr este divizibil cu 10! 2Ia =>10 I a Dacă 5Ia ►Dacă un număr este divizibil cu 10 , atunci acel număr este divizibil atât cu 2 cât şi cu 5 !

11. Criterii de divizibilitate ►Criteriul de divizibilitate cu 3 M3={3▪n / nЄN } M3= {0; 3; 6; 9; 12; 15; …2010...} ●Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 3 atunci numărul este divizibil cu 3. 3 I abcd... 3 I (a+b+c+d+…)  … Exemplu 70194 3 ; ( 7+0+1+9+4) =21 ; şi 3/21 70194 : 3 = 23398 ,rest 0 !

12. ►Criteriul de divizibilitate cu 9 M9= {9▪n / nЄ N } M9={ 0; 9; 18; 27; 36;….785601…} Dacă suma cifrelor unui număr natural (considerate ca unităţi ) este divizibilă cu 9 atunci numărul este divizibil cu 9. 9 I abcd... 9 I (a+b+c+d+…)  … 4378248 9 ; Exemplu (4+3+7+8+2+4+8=36 şi 9/36 Dacă un număr este divizibil cu 9, atunci acel număr este divizibil şi cu 3!

13. Criterii de divizibilitate ! De o mare importanţă este şi cunoaşterea următoarelor reguli: ►Dacă un număr natural “a” este divizibil cu un alt număr natural,”b” atunci a este divizibil şi cu divizorii lui b. … 72 12 … … ●Exemplu 72 3 72 4 => şi 12= 3 ▪ 4 a b … a d1 a d2 … … => şi b=d1·d2 ●Proprietatea enunţată anterior ne ajută ,de exemplu ,la : ►Pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 6 este necesar să arătăm că acel număr este divizibil cu divizorii lui 6 ,adică cu 2 şi cu 3. ►Analog, pentru a arăta că un număr natural este divizibil cu 15 ,vom arăta că acel număr este divizibil cu 3 şi 5 .

14. Este bine să ştim că : ►Produsul a ”n” numere naturale consecutive este divizibil cu n. În particular: Produsul a două numere consecutive este divizibil cu 2 Produsul a trei numere naturale consecutive este divizibil cu 3 Dacă n=2k, kЄN, atunci avem: M2 n(n+1)= 2 k (2k+1)= 2 [k(2k+1)] 2∙p Є = p Analog, se arată că dacă n este impar, atunci n+1 este par; produsul n(n+1) conţine, de asemenea, ca factor pe 2, deci este multiplu de 2!

15. … … … … … … … n n n n n n n Exerciţii Completaţi coloanele din tabelul de mai jos cu numerele corespunzătoare din mulţimea : M= { 24; 108 ; 39 ;444; 101010; 45744; 56 99312030; 105; 144; 11100 ;845; 252.} 2 3 5 9 10 15 6 nЄM

16. SFÂRŞITUL DIAPORAMEI Realizator Profesor IOAN AIACOBOAIE ONEȘTI octombrie,2008 projean2002@yahoo.com