IL PROBLEMA e L’ESERCIZIO

1. IL PROBLEMA e L’ESERCIZIO Barbara Delmari

2. Il problema? Un problema.

3. Alcuni spunti! “ Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo non facilmente raggiungibile. Risolvere un problema è una impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano”. G. Polya

4. Alcuni spunti • “Ciascun problema che ho risolto è divenuto regola che ha servito poi a risolvere altri problemi” R. Cartesio.

5. Alcuni spunti “[…]La ricerca scientifica consiste nel risolvere problemi.[…] la vita è costituita da problemi da risolvere. […] Apprendere a risolvere problemi significa apprendere a vivere.” (K. Popper)

6. ALCUNE DEFINIZIONI DI PROBLEMA E ESERCIZIO Tanto la definizione di problema quanto quella di esercizio è difficoltosa in quanto non riguarda il contenuto, ma l’approccio alla situazione che ha il soggetto. “un problema è una domanda, che per essere soddisfatta, richiede una teoria nuova (cioè non conosciuta dal risolutore) mentre l’esercizio è una domanda che presuppone già una teoria risolutiva “ (Antiseri)

7. ALCUNE DEFINIZIONI DI PROBLEMA E ESERCIZIO L’esercizio presuppone la conoscenza da parte del soggetto di un algoritmo risolutivo o di un metodo di risoluzione pronto da “applicare” Il problema non presuppone tale apparato risolutivo alle spalle, quindi il soggetto deve crearsi un percorso autonomo per rispondere alla richiesta formulata.

8. La pratica didattica tra esercizio e problema Tutti nell’insegnamento delle discipline abbiamo assegnato esercizi, spesso abbiamo definito problema un esercizio. Qual è la differenza tra i due approcci?

9. L’esercizio • Gli esercizi si risolvono utilizzando regole già apprese o in via di consolidamento. Non richiedono abilità di composizione o invenzione di regole secondo schemi nuovi.

10. Il problema • Il problema invece si ha quando regole di approccio non sono note, oppure nella risoluzione si devono applicare sequenze di regole in modo non ordinario. In ogni problema vi è una componente creativa del soggetto.

11. PROBLEMA e ESERCIZIO • Ogni volta che non c’è scarto tra quanto lo studente conosce e quanto gli viene chiesto non c’è problema. • Nella prassi didattica il problema dovrebbe introdurre l’esercizio: la riflessione sul problema, l’analisi della strategia risolutiva e la sua riproposizione generano l’esercizio.

12. Un docente ha spiegato il secondo principio della meccanica F=ma. Il problema del libro “ un corpo di massa 10 kg si muove con una accelerazione di 7m/s2 . Quale forza agisce sul corpo? “. Questo non è un problema, è un esercizio. Un docente presenta, dopo aver spiegato la regola del prodotto tra polinomi, il quadrato di alcuni binomi, dopo il loro svolgimento chiede una regola alternativa di calcolo rispetto a quella “solita” del prodotto. Questo è un problema. L’esercizio e il problema

13. Prenotare a teatro lo spettacolo di Teocoli Telefonare alla Telecom per cambiare il mio profilo tariffario. Cosa cucino questa sera. Dove andrò in vacanza L’esercizio e il problema in un contesto non scolastico

14. Il problema non è sempre problema Molto spesso ciò che per un soggetto è un problema non lo è per un altro. ESEMPIO: catturare un animale nella foresta. E’ un problema per un europeo, non per un indio amazzonico. Spesso dopo alcune presentazioni il problema diventa esercizio.

15. PERCHE’ IL PROBLEMA • sviluppa abitudini al ragionamento corretto • Sviluppa le capacità di analisi • Sviluppa le capacità di sintesi • Potenzia l’intuizione

16. Il substrato psicologico • GESTALT (teoria della forma) • PROBLEMA=ATTO DI INTELLIGENZA • Il principale processo è l’INSIGHT

17. LE LEGGI DELLA GESTALT

18. L’INSIGHT Esso denota quella parte di pensiero intuitivo che permette al risolutore di cogliere il nucleo del problema attraverso la considerazione globale di tutti gli aspetti inerenti al problema e delle relazioni significative tra gli elementi dello stesso e quindi di giungere alla soluzione. Esistono anche insight parziali.

19. Gli elementi del problema Ogni problema è costituito da tre elementi: • Le informazioni di partenza: i vecchi buoni dati. • Lo scopo, la richiesta, la domanda. • Le modalità con cui passare dai dati alla richiesta. Ogni volta che uno di questi elementi è ignoto si ha un problema.

20. Le possibili situazioni che si determinano

21. Analisi dei casi: 1 Questo è il classico esercizio: la richiesta è chiara, il metodo risolutivo è noto e i dati non presentano incongruenze o lacune. Esempio determina le soluzioni dell’equazione di secondo grado x2-3x-4=0, dopo che l’insegnante ha fornito la formula risolutiva.

22. Analisi dei casi: 2 In questo caso pur essendo ben determinati i dati e la richiesta rimane da determinare la modalità con cui procedere. Esempio determina la misura dell’area di un parallelogramma avendo a disposizione solo le formule relative ai rettangoli e ai triangoli. Dopo alcune ripetizioni il caso 2 si riconduce al caso 1 in quanto si generalizza l’approccio. Ogni volta che sono in questa situazione faccio così.

23. Analisi dei casi: 3 In questo caso sono i dati ad essere incompleti: il risolutore deve specificare le situazioni contingenti di lavoro per poter risolvere il problema. Le relazioni implicite tra i vari elementi del problema determineranno la soluzione Esempio: la minima distanza tra il sole e la cometa di Halley è di 150x106 km, determina la massima distanza dal sole. In questo caso per rispondere al problema lo studente deve chiedersi dopo aver identificato che per risolvere il problema servono le leggi di Keplero quali dati sono mancanti (periodo orbitale)

24. Analisi dei casi: 4 In questo caso sono il risolutore ha due disagi, non conosce il metodo di approccio ne ha percezione di quali dati siano significativi Esempio precedente proposto ad una persona che non abbia conoscenze di fisica.

25. Analisi dei casi: 5 Questo tipo di problema si propone spesso nelle interrogazioni ogni qual volta si chiede ad un alunno di inquadrare una situazione ad ampio ventaglio: “dimmi tutto quello che sai sul parallelogramma”. In questo caso egli deve ricercare informazioni di varia natura nella rete di conoscenze: che tipo di figura è, ha proprietà particolari, come si misura la sua area……..

26. Analisi dei casi: 6 Questo tipo di approccio si presta bene nelle interrogazioni o nelle verifiche ogni qual volta si chiede ad un alunno di ricavare elementi nuovi a suo piacimento da una situazione consolidata “Cosa potresti a questo punto dello sviluppato circa le proprietà di…..”

27. Analisi dei casi: 7 Questo è il caso che si verifica nella vita di ogni giorno. Esempio: cosa cucino questa sera?

28. Analisi dei casi: 8 E’ certamente il caso più difficile, ma quello più vicino alla realtà. Ogni giorno ci troviamo ad operare delle scelte Esempio: dove andrò in vacanza quest’anno

29. Il problem solving

30. IL PROBLEM SOLVING Il termine PROBLEM SOLVING indica l’insieme dei processi che una persona mette in atto per analizzare, risolvere e verificare la soluzione proposta di un problema.

31. I pionieri 1 I fondatori della gestalt hanno iniziato a studiare i problemi e le abilità che ne determinano la soluzione agli inizi del 1900. Ancora oggi alcuni aspetti di tale processo non sono noti.

32. Le teorie Tutte le teorie, anche quelle più recenti, concordano nell’evidenziare durante la soluzione del problema 4 fasi: • PREPARAZIONE • INCUBAZIONE • ISPIRAZIONE • VERIFICA

33. I pionieri 2 Il primo ad occuparsi del problem solving fu G. Polya: nel 1944 pubblica il libro dal titolo “How to solve it” tradotto in italiano nel 1967 per la casa editrice Feltrinelli con il titolo “Come risolvere i problemi di matematica”

34. G. POLYA (1887 – 1985) L’importanza del lavoro di Polya è la ricaduta didattica. Egli illustra quali sono le fasi attraverso cui tutti gli studenti “passano” quando risolvono il problema.

35. Le fasi di G. Polya Ogni fase • È introdotta da domande chiave • È descritta in termini di attività pratiche • E articolata in suggerimenti e/o sottodomande.

36. Le 4 fasi di G. Polya Fase 1: Comprensione del problema Fase 2: Compilazione di un piano Fase 3: Sviluppo del piano Fase 4: alla fine

37. Fase 1. comprensione del problema Domande chiave: qual è l’incognita? Quali sono i dati? Qual è la condizione Descrizione operativa: comprendi il problema Suggerimenti: è possibile soddisfare alla condizione? La condizione è sufficiente a determinare l’incognita? Oppure essa non è sufficiente ? Oppure è sovrabbondante? Oppure è contraddittoria in termini? Si disegni una figura. Si introduca un conveniente sistema di notazioni. Si separino le varie parti della condizione. Si possono scrivere separatamente?

38. Fase 2. compilazione di un piano Domande chiave: questo problema è già noto? Oppure lo stesso problema si è gia presentato sotto un aspetto leggermente diverso? Descrizione operativa: Si determinino i legami che intercorrono fra i dati e l’incognita. Può essere necessario ricorrere a problemi ausiliari, quando non si trovi una connessione evidente. Infine si compili un piano per la risoluzione

39. Fase 2. Compilazione di un piano Suggerimenti: è noto un problema connesso con questo? Si conosce un teorema che potrebbe essere utile? Si rifletta sull’incognita! E ci si sforzi di ricordare qualche problema precedentemente risolto avente la stessa incognita oppure una incognita analoga. Ecco un problema connesso con quello proposto e risolto precedentemente. Si può far uso del suo risultato, si può far uso sul suo metodo? Si possono introdurre elementi ausiliari in modo da rendere possibile il ricorso ad esso? Si può enunciare il problema in altra forma?

40. Fase 2. Compilazione di un piano Suggerimenti: lo si può enunciare in una forma diversa? Si ricorra alle definizioni. Se non si riesce a risolvere il problema proposto si tenti di risolvere prima qualche problema connesso ad esso. Si sa inventare un problema connesso più accessibile? E uno più generale? Ed uno analogo? Ed uno più particolare? Si riesce a risolvere almeno una parte del problema? Si tenga conto soltanto di una parte delle condizioni trascurando le altre; fino a che punto allora risulta determinata l’incognita e come essa può variare? Si può ricavare qualche informazione utile dai dati?

41. Fase 2. Compilazione di un piano Suggerimenti: Si possono trovare altri dati atti a determinare l’incognita? Si possono cambiare i dati, oppure l’incognita, oppure, se necessario, tutte queste quantità in modo che la nuova incognita ed i nuovi dati siano quasi uguali ai precedenti? Si è fatto uso di tutti i dati? E’ stata considerata l’intera condizione? Sono stati presi in esame tutti i concetti essenziali che intervengono nel problema?

42. Fase 3. Sviluppo del piano Domande chiave: Descrizione operativa: Si proceda allo sviluppo del piano Suggerimenti: Sviluppando il piano si verifichi ogni passaggio. Si può riconoscere manifestamente che ogni passaggio è esatto? Si può dimostrane l’esattezza.

43. Fase 4. Alla fine Domande chiave: Si può verificare il risultato? Si può verificare il procedimento? Descrizione operativa: Bisogna esaminare esattamente la soluzione ottenuta. Suggerimenti: Si può ottenere il risultato in un altro modo? Lo si può vedere a colpo d’occhio? Si può sfruttare il risultato per qualche altro problema?

44. Caso pratico. Sulla retta di equazione y=-x-5 si determino due punti B e C tali che il triangolo ABC, con A(2;3), sia isoscele sulla base CB=10. Problema proposto sabato ad una terza. L’analisi del problema viene fatta collegialmente.

45. Fase 1. Comprensione del problema Qual è l’incognita: la posizione dei punti sulla retta, qualcuno dice le coordinate dei punti sulla retta. Quali sono i dati: tutti concordano sul fatto che tanto l’equazione della retta quanto le coordinate del punto A sono dati. Qualche perplessità sulla lunghezza di BC. Condizione: ABC triangolo isoscele.

46. Fase 1. Comprensione del problema. Alla domanda “si può soddisfare la condizione?” nascono alcune perplessità: per molti dei nostri alunni se si trova la soluzione la condizione è soddisfatta, altrimenti non lo è. L’analisi preventiva è difficile. Propongo una verifica grafica. Con l’introduzione del disegno e il solito sistema cartesiano di riferimento. Nascono subito le prime difficoltà.

47. La panoramica della classe • Molti studenti (circa 10) Non riescono a rappresentare correttamente la situazione: non riescono a costruire il triangolo isoscele, ma solo un triangolo di base CB=10 I rimanenti riescono a rappresentare correttamente la situazione.

48. La discussione Chiamo alla lavagna uno degli studenti che ha correttamente rappresentato la situazione e gli chiedo come ha fatto a determinare la figura correttamente. Mi risponde che il triangolo isoscele è diviso in parti uguali dall’altezza, che divide a metà la base. A questo punto anche gli alunni in difficoltà riescono a disegnare correttamente gli elementi del problema. La classe concorda che la condizione permette di determinare l’incognita.

49. Fase 2. La compilazione del piano All’alunno alla lavagna chiedo se conosce già questo problema. La risposta è vaga: dice “ sembra il teorema di Pitagora: conosco un cateto: 5cm è la misura della metà della base, ma non conosco l’ipotenusa e l’altro cateto. Interviene uno studente dal posto che pone l’accento sul fatto che il piede dell’altezza è determinabile, in quanto sappiamo costruire rette perpendicolari ad una data passante per un punto. A questo punto si può determinare H e trovare l’altro cateto.

50. Fase 2. La compilazione del piano Applicando il teorema di Pitagora si riesce a determinare la misura dell’ipotenusa. Adesso rimane il problema delle coordinate dei punti. Una studentessa interviene dicendo che un problema simile è già stato risolto: procedendo come in quel caso si può imporre che la distanza di C da H è 5 e che la distanza di C da A è quella che verrà fornito dal Teorema di Pitagora. Rifacendo lo stesso discorso su B si risolve il problema.