Wykład 11: Kody i metody korekcji błędów

1. Wykład 11: Kody i metody korekcji błędów PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH Marek Wroński

2. Korekcja błędów w kodzie powtórzeniowym

3. Przesyłanie prostego repetycyjnego kodu 3-bitowego dowa: Prawidłowa transmisja dla (a), (b), (e) i (f). W innych przyp. dekoder kryterium większościowego popełnia błędy. Występuje to gdy jest więcej niż t=1 błędów bit

4. Odległość Hamminga Jeśli jest d bł. bitów to przekazywane słowo będzie zamienione na inne i błąd nie może być wykryty Przy klasyfikacji kodu stosuje się triplet z łożony z długości słowa kodowego n, liczby bitów informacyjnych k iminimalnej odległości Hamminga d. Taki triplet oznacza się jako (n,k,d). Nasz kod powtórzeniowy zapiszemy jako (3, 1, 3). Liczba bitów parzystości (nadmiarowych) =n-k. Według odl. Hamminga możemy stwierdzić ile błędnych bitów t (na słowo kodowe) może obsłużyć dany kod. Jeśli w słowie kodowym jest więcej niż t błędnych bitów, to wyżej opisane kodowanie może nawet zwiększyć liczbę bitów i pogorszyć sytuację. W takim przypadku trzeba zastosować lepszy kod, lub nawet może być korzystna rezygnacja Z zastosowania jakiegokolwiek kodu korekcji błędów.

5. To takie kody w których suma składowych (binarna tj. modulo2) dwóch słów kodowych xi i xj musi być też słowem kodowym. Mają właściwość, że sąsiedztwo wszystkich słów kodowych w n-miernej „przestrzeni kodowej” wygląda jednakowo. Kodowanie polega na mnożeniu słowa informacji u=[0 1 0] przez macierz generującą kodu G=[I:P] (mac. I (k*k) rozszerzona o macierz P (k*n-k) określającą bity parzystości) x=[u1u2 u3 p1 p2 p3 ], np. p1= u1+u2 ; p2 = u2+u3; p3 = u1+u2+u3; Przesyłane słowo kodowe: x=u*G=u*[I:P]=[0 1 0]* =[0 1 0 1 1 1] Macierz parzystości: H=[PT:I] W dekoderze najpierw obliczamy syndrom błędu jako: (gdy brak błędów y=x) s=y*HT= [0 1 0 1 1 1]* =[0 0 0]=0; Jeżeli powstanie błąd, np.e=[0 0 1 0 0 0] tj. odebrano y=x+e=[0 1 0 1 1 1]+[0 0 1 0 0 0]=[0 1 1 1 1 1] wtedy: Wyodrębnienie inform. z odebranego słowa: s=y*HT= [0 1 1 1 1 1] =[0 1 1] u=x*[I:0]= [0 1 0 1 1 1]* =[0 1 0]; Liniowe kody korekcji błędów, np. LC(6,3,3)

6. Tablica dekodowania Zawiera ona wektory błędów, które mogą generować specyficzny wektor syndromu błędu. Syndrom użyjemy jako indeks w tablicy dekodowania stosując zasadę maksymalnej wiarygodności (najbardziej prawdopodobny błąd 1 bitu) dlatego z 1kol odczytujemy: e=[0 0 1 0 0 0] więc: skorygowane słowo kodowe x=y+e=[0 1 1 1 1 1]+[0 0 1 0 0 0]=[0 1 0 1 1 1] stąd przesłana inf. u=x*[I:0]=[0 1 0] (odl.Hamminga=3->wykryje (3-1) bł. koryguje [(3-1)/2] błędów Nie skoryguje np. podwójnego błędu bitów e=[0 1 0 1 0 0]+x=[0 0 1 0 1 1]=[0 1 1 1 1 1]=y po „skorygowaniu” (jak wyżej) u’=[010]<>u

7. Oprócz liniowości cechują się również przesunięciem cyklicznym • („rotacja” też daje inne słowo kodowe, np.. 111001 i 110011) • Dla nich używa się zapisu wielomianowego: • c(x)=c0+ c1*x + c2*x2+.. + cn-1*xn-1; c=[c0 c1 c2 ...cn-1] • m-bit rotacja: xm *c(x) modulo(xn-1). • Kodowanie to mnożenie przez wielomian generujący g(x) • lub przesuwanie i dzielenie wyniku przez g(x) -> c(x)= xn-ku(x)-r(x); • xn-ku(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x) • Przy dekodowaniu odebran. słowa v(x)=c(x)+e(x) obl. wielomian syndromu • jako reszta v(x)/g(x) • jest on jednocześnie resztą z dzielenia e(x) przez g(x), dlatego m.b. użyty do identyfikacji bł. e(x) • Np. g(x)= 1+x+x3; informacja: 0010, tj.u(x)=x2; • wielomian kodu: c(x)=u(x)*g(x)= x2+ x3+ x5; tzn. • przesyłana sekwencja bitów: 0011010 przy braku bł. e(x)=0 • c(x)/g(x)= x2+ 0/g(x), tj. s(x)=0 • gdy jest bł. e(x)= x5, więc: v(x)=c(x)+e(x)= x2+ x3; • dlatego: v(x)/g(x)=1+(x2+x+1)/g(x) stąd • dla c(x)=0 obl. lub znajdujemy e(x)= x5 • Korekcja błędu daje: v(x)+e(x)= x2+ x3+ x5; skąd u(x)=x2 Kody cykliczne, np. CC(7,4,3) Syndrom po 7krokach.

8. Tabela dekodowania i implementacja algorytmu Do implementacji mnożenie i dzielenie wielomianów zamieniamy filtracją’ bo C(z)=U(z)*G(z) gdy: g0=1 i gn-k=1 tj. G(z)=1+G’(z) SOI G’(z) w pętli „-”sprz. da NOI:

9. Kody splotowe , np. (2,1,2) – kodowanie Działają na zasadzie ciągłego „strumienia” wtrącając bity parzystości między bity informacyjne zgodnie z pewnymi regułami. Kodowanie to n binarnych filtrów SOI, mających wspólną linię opóźniającą (o dł.m). Każdy filtr j ma swą własną binarną odpowiedź impulsową gi(J),dlatego na wyjściu j-filtru: gdzie u1, u2,... uL bity informacyjne, gi(J) j-ty generator Bity przesyłanego słowa kodowego: c=(c1(1), c1(2),... c1(n), c1( 1), c2(2),... c2(n), cL+m(1), cL+m(2),... cL+m(n)) Na początku wszystkie m elementów w linii opóźniającej jest zerowanych. Potem wprowadzamy po kolei symbole informacyjne i obl. syg. wy. wszystkich filtrów i przesyłamy do wyjścia i tak do uL.W dalszych m krokach wchodzą zera (końcówka kodu tail). Np. g(1)=(1,0,1) i g(2)=(1,1,1) sekw. informac. ul=(0,1,0,1) daje cl(j)=(00,11,01,00,01,11)

10. całych sekwencji (c1 c2 ... cL+m ) maksymalizuje wiarygodność odebrania sekwencji bitów c jako sumy odległości Hamminga m.odebraną sekwencją a przesyłaną Nie znamy ostatniej ale z wiedzy o działaniu kodera tworzymy estymatę tzw. wykres przejść między stanami w koderze lub kratowy wykres kodu możliwych przejść (zaczynając od stanu początkowego 00 i kończąc po L+m krokach tworzących końcówkę na 00) Wykres przejść między stanami zaczynając od stanu 00 (wszystkie elementy pamięc. 0). Cyfry w węzłach są nr. stanów, czyli zawartościami elementów pamięciowych, a cyfry nad gałęziami są symbolami informacji wejściowej ul(w nawiasach) i bitami kodu wyjściowego cl(1)i cl(2). Dekodowanie Viterbiego – wykres przejść

11. Stany na osi y, kroki na osi x, liczby pisane kursywą są są skumulowanymi ujemnymi odległościami Hamminga, liczby w nawiasach są estymowanymi symbolami informacyjnymi, liczby przy gałęziach są spodziewanymi blokami kodu. We.sekw.ul=(0,1,0,1) brak bł.cl(j)=(00,11,01,00,01,11) Przy bł. e=(01,10,00,10,11) -> v=(01,01,01,10,01,11) W 1-kr.(od 00) odbierany blok (słowo) v1=(0,1). Były 2 możliw: ul=(1) tj. przejście do 10 i wygen. c1=(1,1) (ale odebraliśmy v1=(0,1)więc obl. odl. Hamminga –1) lub pozostać w 00 i wygenerować c1=(0,0). W 2-kr.odebr.v2=(0,1) obl.skumul.odl.Hamminga dla wszystkich możliw.przejść itd..Wybieramy „najtańszą” Śledząc wstecznie uzysk.estymow.(zdekod) inf. u (dół) Wykres kratowy.

12. Częściej stosowane kody CRC (redundancy check codes), BCH, RS i splotowe. CRC-4: g(x)=1+x+x4 CRC-5: g(x)=1+x2+x4+x5 CRC-6: g(x)=1+x+x6 CRC-12: g(x)=1+x+x2+x3+x11+x12 CRC-16: g(x)=1+x2 +x15+x16 CRC-CCITT: g(x)=1+x5 +x12+x16 BCH: n=2m-1; k>=n-mt; d>=2t+1; m=3,4,5..(Bose, Chaudhuri, Hocquenghem dla tel.komórkow.) Kody Reeda-Solomona (RS) to kody BCH działające z grupą bitów (z m-narnymi symbolami). Mają one największą możliwą minimalną odległość Hamminga przy danej liczbie bitów kontrolnych I danej długości bloku. Stosuje się je w systemach kombinacyjnych. Jet PropulisionLab (NASA do Voyagera na Marsa) kod splotowy (2,1,6) g(1)=(1,1,0,1,1,0,1) g(2)=(1,1,0,1,1,0,1) Linkabit kod splotowy (3,1,6) g(1)=(1,1,0,1,1,0,1) g(2)=(1,0,0,1,1,1,1) g(3)=(1,0,1,0,1,1,1)

13. Przeplot Przeplot stosuje się, np. w kanałach radiowych, tam gdzie błędy pojawiają się w paczkach (seryjne) Jest to metoda rozproszenia błędów bitowych w serii na większą liczbę bloków kodowych tak aby liczba błędów bitowych na blok (dł. n mający k bitów inf.) mb.skorygowana przez dość krótki kod. Przychodzące symb.inf. są kodowane i zapamiętywane wiersz po wierszu (l wierszy=głębok.przepl) Po zgromadzeniul słów matryca jest pełna. ui(j)bit inf. i w słowie j, pm(j)bit parzystości m w słowie j Wyjściem kanału jest nl bitów, lecz tym razem kolumna po kolumnie u1(1) ,u1(2) ,..u1(l) ... P(n-m)(l) Po stronie dekodera działanie odwrotne – rozplot bity są rejestrowane, kolumna po kolumnie i potem odczytywane do dekodera wiersz po wierszu Rozproszenie serii N kolejnych błędnych bitów na L słów kodowych. Każde słowo kodowe zawiera <= tkorygowanych

14. Dane wejściowe są dzielone w grupy 4-bitowe. Pierwsze dwa bity każdej grupy są kodowane różnicowo, później następuje kodowanie złożone tak, aby uzyskać zestaw 3 bitów. Pozostałe dwa bity nie są kodowane, a jedynie przesyłane dalej. W wyniku takiego działania każda grupa zawiera pięć bitów. Następnie te pięć bitów jest mapowane na rozkładzie 32-punktowym. Po stronie odbiornika dane są dekodowane algorytmem największego prawdopodobieństwa (Viterbi) w celu oszacowania otrzymanych danych. Kodowanie w modemie V.32 z 32(.) modulacją kratową (Trellis mod.)

15. Kodowanie 2-etapowe: koder różnicowy + koder splotowy. Koder różnicowy zabezpiecza przed 180o niejednoznacznością.Tylko 2 z 4 bitów jest kodowanych Koder c.d Koder splotowy wprowadza ograniczenia -nie pozwala na sąsiedztwo kolejnych wyjść (dla zadanych stanów (S0,S1,S2), np.(0,0,1) dop. 4 z 8 dróg (Y0,Y1,Y2):000,010,100,110) Funkcjonalnie to 3-bit.rejestr przesuwny połączony układami logiki AND i XOR. Stanem opóźnienia nazywane są trzy bity pamięci kodera (S0, S1, S2), a bity wyjścia (Y0, Y1, Y2) nazywane są stanem ścieżki.Dając określony stan opóźnienia (S0, S1, S2) nie wszystkie stany ścieżki są możliwe w tym czasie. Np. mając stan opóźnienia (0, 0, 1) możemy w następnym interwale czasu otrzymać tylko 4 ścieżki stanu (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0) i (1, 1, 0). W ten sposób otrzymujemystrukturę siatki. Koder jest maszyną o skończonej odpowiedzi, a więc można go przedstawić za pomocą schematu o skończonej odpowiedzi. Koder ma osiem możliwym stanów opóźnienia. W dowolnym czasie koder może przyjąć tylko jeden stan opóźnienia (S0, S1, S2). W następnej iteracji koder może przyjąć już tylko cztery stany opóźnienia.

16. V.32 konstelacja Modulacja 32-punktowa charakteryzuje się większym bit-error rate (BER) w porównaniu do rozkładu 16-bit. Dzieje się tak dlatego, że minimalna odl. Euklidesowa między dowolnymi dwoma punktami na 32-punktowym rozkładzie jest bardzo mała, co zmniejsza margines szumu. Jednakże kodowanie złożone niepozwala dwóm następu- jącym po sobie symbolach być w ośmiu sąsiednich pozycjach od siebie. Dzięki temu minimalny dystans miedzy dwoma punktami jest zwiększony i uzyskujemy wzrost wydajności o 3 dB.

17. Ukazuje on zależność pomiędzy stanami opóżnionymi i bieżącymi (delay and path states). Zauważ, że nie wszystkie stany mogą być osiągnięte ze stanów poprzednich. Wykres kratowy (V.32 Modem Trellis Diagram) Wybór właściwej drogi (w czasie) zależy od bieżącego stanu (path state) i od historii stanów wraz z ich rzetel- nością (tzw.miękka decyzja wg.funkcji kosztu: sum.Euclides.odległości zamiast odległości Hamminga bo dla szumu białego czym odleglejszy (.) na konstelacji tym jest on mniej prawdopodobny )

18. Dekodowania Viterbi’ego Z 4 możliwych dróg (path states) ta która ma min.koszt jest wybierana (reszta jest dezaktywowana) Określony stan (delay state) m.b. osiągnięty tylko z 4 stanów poprzednich. Dekoder wybiera tylko jeden tak aby uzyskać połączenie pomiędzy poprzednim i bieżącym odcinkiem czasowym. To połączenie jest identyfikowane jako path state.Każda droga (path state) związana z 3 bit z 5-ciu Dlatego1 droga identyfikuje 4(.) na konstelacji symetrycznie umieszczone i jednakowo max.odległe

19. Na początku każdego interwału czasowego wybiera najbliższy(.) na konstel.i selekcjonuje 8 dróg. Jest to rozwinięcie wykresu kratowego (x czas, y 8 możliw.) Koder m. osiągać tylko 1, ale dekoder zapamiętuje wszystkie 8 aż do zdecydowania który. Funkcje kosztu są uaktualniane jako sumy odległości dla drogi i wybierana z min.kosztem. Wybrana droga prześledzona z powrotem daje poszukiwany stan (Y0,Y1,Y2). Ten 3-bit. rezultat nie identyfik. jednoznacznie 5-bit. wy.sygn. 4 (.) na konstelacji odpowiadaj tym 3 bitom są porównywane z korespondującymi w danym czasie i wybierana 5-bit. wartość najbliższa (ciągnie całą historię z 16 interwałów czasowych) Implementacja dekodowania Viterbi’ego w modemie V.32