FII-03 S peciální elektrostatická pole. Kapacita .

1. FII-03 Speciální elektrostatická pole.Kapacita.

2. Hlavní body • Elektrický náboj a pole ve vodičích • Pole elektrického dipólu • Chování elektrického dipólu ve vnějším elektrickém poli • Příklad na jímání náboje. • kapacita x napětí = náboj. • Různé typy kondenzátorů. • Sériové zapojení kondenzátorů. • Paralelní zapojení kondenzátorů.

3. Nabitý plný vodič I • Vodičeobsahují volné nosiče náboje jedné nebo obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. • Speciálním případem jsou kovy : • každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnýminosičináboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat. • Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.

4. Nabitý plný vodič II • Přidáníelektronů znamená nabití kovu záporně • Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa kladně. • Pro naše účely můžeme mezery po chybějících elektronech považovat za volnékladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry. • Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečnékladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

5. Nabitý plný vodič III • Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu. • Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednicesil, působících na každý náboj, je rovna nule. • Znamená to, že uvnitř vodiče je nulovépole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciálníoblastí(a existují síly, které drží náboje v látce).

6. Dutá vodivá slupka I • V rovnováze opět : • přebytečné náboje musí skončit na povrchu • uvnitř je nulovépole a celétěleso je ekvipotenciálníoblastí. • Tyto podmínky mají hlubokou souvislost s platnostíGaussovy věty. • Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

7. Opět Gausova věta I • Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole : • Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je : • Případ p2by znamenal závislosttokunar, což odporuje experimentu!

8. Opět Gausova věta II • Platnost Gaussovy věty p = 2. • Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázat • platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy. • platnost pro každou uzavřenou plochu. • Z každého bodu objemu totiž vidíme každou uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4.

9. Dutá vodivá slupka II • Vezměme nejprve kulové těleso. Hustotanáboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní. • Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a . • V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2. • S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenouplochu.

10. Dutá vodivá slupka III • Závěr: existence nulovéhopole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentníplatnostiGaussovy věty. • To je principem : • experimentálního důkazu Gaussovy věty s velkou přesností : p – 2 = 2.7  3.1 10-16. • stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

11. Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje • Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá. • Elektrické pole : • uvnitř vodiče je nulové • vně je kolmé k povrchu plochy • Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou • Pozor nahrany!  není obecně konstantní!

12. Elektrický dipól I • Látky mohou vytvářet nenulovéelektricképole, i když je v nich celkovýnábojvykompenzován. • Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech. • Vytvářená pole obecně nejsoucentrosymetrická a mizírychleji než pole bodového náboje.

13. Elektrický dipól II • Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól : • Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různéhoznaménka+Q and –Q. • Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem . • Definujeme dipólovýmoment. • Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální(i mikrosopicky!) hmoty.

14. Elektrický dipól III • Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli. • Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment. • Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

15. Chování elektrického dipólu ve vnějším poli • V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly, které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar). • V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

16. Příkladyněkterých polí • Pole homogenně nabité koule • Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin • Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

17. Jímání náboje I • V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. • Baviči si všimli, že různá tělesa nabitá na stejné napětí obsahovala různá „množství elektřiny“ (nyní bychom řekli, byla nabita různým nábojem) a produkovala různě silné výboje.

18. Jímání náboje II • Vyvstal problém, jak pojmout co možná největší náboj, při maximálním dostupném napětí. • Nejprve se šlo cestou větších a větších nádob, ale později se nalezlo lepší řešení! • Mějme vodivou kouli o poloměruri=1 m. • Můžeme pojmout libovolný náboj?

19. Jímání náboje III • Odpověď jeNE! • V praxi jsmelimitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to Em  3106 V/m. • Mezní intenzita závisí na vlastnostechokolí vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu. • Je-li dosaženo mezníintenzity vodič se bude samovolněvybíjet(užívá se při studiu struktury). • Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

20. Jímání náboje IV • Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0uvnitř koule a E=kQ/ri2těsně u jejího povrchu. • Z obecného vztahu lze z intenzity určit potenciál těsně u povrchu koule =kQ/ri . • Kombinací dostaneme : =riE pror>ri • Maximálnínapětí a náboj na kouli tedy je :  = 3 106 V  Qmax = 3.3 10-4 C.

21. Jímání nábojeV • Mezní napětí navíc značně přesahuje maximum, cca 105 V, které bylo tehdy možno vygenerovat. • Na naší kouli by tedy pro toto napětí byl náboj : Q = Uri/k = 105/9 109 = 1.11 10-5 C. • Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule ri. • Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o poloměru riumístil do nepatrně větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil. • Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání neslo přistejnémnapětívětšínáboj!

22. Jímání nábojeVI • Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu. • Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

23. Jímání nábojeVII • Potenciál způsobený vnitřní koulí : i = kQ/ripro rri ; i = kQ/r pro r>ri • Potenciál způsobený vnější koulí : o = -kQ/ropro rro ; o = -kQ/r pro r>ro • Z principu superpozice: (r) = i(r)+ o(r) • Pro r  ro bude potenciál bude nulový!

24. Jímání nábojeVIII • Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně napětím mezi koulemi : Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro • Pro ro = 1.01 m a U = 105 V  Q = 1.12 10-3 C tedy nábojvzrostl101 krát! • Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor. • (Qmax = 3 10-4 Cjsme však takto nezvýšili! )

25. Kapacita • NapětíU mezi dvěma vodičinabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U • Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímatnáboj. • Jednotkou kapacity je Farad1 F = 1 C/V

26. Různé typy kondenzátorů • Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor. • Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí. • Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. • Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

27. Dvě paralelní nabité roviny • Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou -. • Intenzita mezi deskami bude Eia intenzita vně Eo. Co platí? • A) Ei= 0, Eo=/0 • B) Ei= /0, Eo=0 • C) Ei= /0, Eo=/20

28. Určení kapacity kondenzátoru I • Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti. • Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: • Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S • Také : E=U/d  Q = 0SU/d  C = 0S/d

29. Určení kapacity kondenzátoru II • Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru platí : Ui = kQ/ri  C = ri/k • Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkémokolí.

30. Určení kapacity kondenzátoruIII • V případě našeho kulového kondenzátoru jsme měli : Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro To odpovídá kapacitě : Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový!

31. Nabíjení kondenzátoru • Kondenzátor nabíjíme • budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. • nebo uzemníme jednu elektrodu a nadruhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity. • Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později.

32. Sériové zapojení kondenzátorůI • Mějme kondenzátory C1 aC2zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: • Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q1 = Q2

33. Sériové zapojení kondenzátorůII • K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U1 + U2

34. Paralelní zapojení kondenzátorů I • Mějme dva kondenzátory C1 a C2zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp : Cp = C1 + C2 • Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q1 + Q2 • Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U1 = U2 Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

35. Mezní náboj • Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu) může být zvětšena buď zvětšenímploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke sníženíintenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšenímezníhonáboje, který kondenzátor může pojmout! • Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnitvnitřní a nabítvnější kouli v našem Leydenském příkladu.

36. Prostorový úhel I • Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího středu vidíme element plochy dSpod prostorovým úhlem d : Celý povrch vidíme pod úhlem :

37. Prostorový úhel II Je-li ve středu koule bodový náboj Q, je elementární tok intenzity ploškou dS : Protože poslední zlomek jed, je celkový tok: ^

38. Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší • Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : • Hustota náboje na menší kouli je tedy větší! ^

39. Potenciál elektrického dipólu I • Mějme náboj–Qv počátku a +Qv bodě, určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

40. Potenciál elektrického dipólu II • První dva pomalu klesající výrazy se zruší : • Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie. • Potenciál klesá jako 1/r2! ^

41. Elektrický dipól – Moment síly • Mějme homogenní pole s intenzitou. Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly : • Obecně je moment síly vektorový součin: ^

42. Elektrický dipól - tah • Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzitase mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku). • Obecně : ^

43. Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách) • Velikost vektoru Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

44. Vektorový součin II Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém. ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)} ^