Ecuaciones de la recta

1. Ecuaciones de la recta Matemáticas Preuniversitarias Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

2. Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones de la recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación. La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

3. Ecuación de la recta que pasa por el origen • Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x. • Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

4. Ecuación de la recta que pasa por el origen. • Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: • Esto es, • Es decir, y = mx

5. Ecuación de la recta en su forma punto pendiente • Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada. • Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:

6. Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos: • Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta. • Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es: • 5y-x+18=0

7. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos. • Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura: • A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

8. O bien, la pareja de coordenadas del punto B • Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta. • Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0

9. Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen. • Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

10. Calculando la pendiente • Despejando y, y ordenando los términos • La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y

11. Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente. • Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto. • Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias. • Sol. Punto de equilibrio:

12. Ecuación de la recta en forma simétrica. • La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b). • Al calcular la pendiente obtendríamos:

13. Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos • Ordenando los miembros de la ecuación • Esta es la ecuación simétrica de la recta.

14. Ecuación general de la recta. • La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0 • A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes • Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C  0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x. • Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

15. Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C  0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y. • Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

16. Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-xox=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

17. Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma • Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra

18. Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales • Sol. Longitud total de las vigas 59.41m