la ecuacion de una recta

1. MATE 3011 – PRESENTACION 5 la ecuacion de una recta

2. Yahemosmencionado La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma : y = m x + b Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1 Nota: La gráfica tiene tres características distintivas: su inclinación intercepto – y intercepto - x

3. Noción de pendiente • Se describe la inclinación de una recta con unamedidallamadapendiente. • A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 estámásinclinadaque L2.) • Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos y calculamos:

4. Ejemplo • Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7). • Utilizando la fórmula: • Observemos la figura 4.2 • Nota: La pendiente es positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha

5. PendientePositiva y Negativa • Ilustramos ambos casos:

6. Hallar la pendiente • Haz un boceto de la recta quepasapor los dos puntos dados y halla la pendiente. • A(-1, 4) and B(3, 2) • A(2, 5) and B(-2, -1) • A(4, 3) and B(-2, 3) • A(4, -1) and B(4, 4) • Ilustramos:

7. Hallar la pendiente(continuación)

8. Slope of Line (cont’d) (d) La pendiente no estádefinida.

9. Esbozaruna recta dada la pendiente • Esboce la recta quepasaporP(2, 1) y quetienependienteigual a a) 5/3 • SOLUCION (a) : • Dado que P(2, 1) está en la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba. • Esto nos da un segundo punto Q(5, 6). • Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

10. Esbozaruna recta dada la pendiente • Esboce la recta quepasaporP(2, 1) y quetienependienteigual a b) -5/3 • SOLUCION (b) : • Dado que P(2, 1) está en la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo. • Esto nos da un segundo punto Q(5, - 4). • Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

11. Diagrama de diferentespendientes

12. Ejemplo: rectashorizontales y verticales Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a el eje de x (b) el eje de y SOLUCION: Una recta paralela al eje de x es una recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4. Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.

13. Forma Punto-Pendiente • Dada la pendiente de una recta, m, y un puntosobrela recta, P(x1, y1), usamos y– y1 = m(x – x1) , parahallar la ecuación de la recta.

14. Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2). • SOLUCION: • La figura muestra un boceto de la recta. • Para hallar la ecuación necesitamos, primeramente hallar la pendiente. • =

15. Ejemplo(continuación) Se puede utilizar cualquier de los dos puntos en este paso. Aquí usamos: y – y1 = m(x – x1)

16. Forma Pendiente-Intercepto • y= mx + b . • El númerobes el intercepto en y de la gráfica. • La gráficaesuna recta con pendientemy quepasapor el punto(0, b) . • Ilustramos:

17. Slope-Intercept (cont’d) recta con pendiente (inclinación igual a m

18. Ejemplo Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto. SOLUCION: 2x – 5y = 8 - 5y = -2x + 8

19. Ejemplo Dado 2x – 5y = 8 , esboce la gráfica de la ecuación. • SOLUCION: Primeramente, debes clasificar la ecuación. En este caso sabemos que la ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1. • Hallar los interceptos: • int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8 • int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8 • x = 4 • (4, 0)

20. Rectasparalelas y perpendiculares • Dos rectas, m1 ym2, son paralelassi y solo sitiene la mismapendiente, m1=m2. • Dos rectas, m1 y m2, son perpendicularessi y solo sim1m2= -1 , (estoes, queuna de laspendienteses el recíproconegativo de la otra. )

21. Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (a) La recta quepasapor (–1, –2) y(1, 2) y la recta quepasapor(–2, 0) y(0, 4). • Hallar y comparar pendientes: • Pendientesiguales; rectasparalelas.

22. Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta quepasapor (0, –4) y (-1, -7) y la recta quepasapor (3, 0) y (-3, 2). • Hallar y comparar pendientes: • Unapendientees el recíproconegativo de la otra; rectasperpendiculares.

23. Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3 • Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto: • Pendientes iguales; rectas paralelas 2x = 4y + 3 2x – 3 = 4y • –x + 2y = -2 • 2y = x – 2

24. Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4. • SOLUCION: • Hallar la forma pendiente intercepto de la ecuación: • 6x + 3y = 4 • 3y = 4 – 6x • (La pendiente de esta recta es m = -2) • La pendiente de la recta que buscamos es , o sea

25. Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4. • SOLUCION (continuación): • Con la pendiente de la recta y el punto (6, -7) podemoshallar la ecuación. • La forma punto-pendiente es y – y1 = m(x – x1) • Sustituyendo tenemos: y – (-7)= ½(x– 6) • Simplificando • 2y – x = -20

26. Ejemplo(cont.)