Técnicas de Detección y Corrección de Errores

1. Técnicas de Detección y Corrección de Errores Profesora María Elena Villapol mvillap@strix.ciens.ucv.ve

2. Técnicas de Detección y Corrección de Errores • Los canales inalámbricos proporcionan los índices de error que suelenen torno a 10-2. • Estas altas tasas de error son el multipath fading que caracterizan a los canales de radio móvil. • Existen dos aproximaciones para poder tratar este problema: • Corrección de Error Hacia Adelante (Forward Error Correction, FEC). • Requerimiento de Repetición Automática (Automatic Repeat Request, ARQ).

3. Deteccion vs Correccion • Existen tecnicas para detectar errores y otras para corregir errores.

5. Redundancia • Para detectar o corregir errores se necesita agregar cierta redundancia a los bits de información.

6. FEC • Códigos de bloques. • Lineales • cíclicos • Códigos convolucionales.

7. Códigos para la detección de errores • Cada bloque de k bits es codificado con un bloque de (k+r) bits denominado palabra código (codeword). • La palabra código es la que se transmite. • En el receptor varias cosas pueden pasar: • Si no hay errores, la salida de decodificador es igual al código original. • Para ciertos errores, el decodificador puede detectar y corregir los mismos. • Para ciertos patrones de errores, el decodificador puede detectar el error pero no corregirlo. • Para ciertos errores el decodificador no puede detectar el error y produce una señal de salida que difiere de la original.

8. Codificación por Bloques

9. Códigos por Bloques Lineales • Casi todos los códigos de bloque utilizado hoy en día pertenecen a un subgrupo llamado bloque de códigos lineales. • Un código de bloque lineal es un código en el que el OR exclusivo (adición módulo-2) de dos palabras de código válidas crea otra palabra de código válida

10. Detección de Errores

11. Principios de la detección de errores • El algoritmo suma r bits al bloque de datos de m bits. • Los k bits en la señal original se transmiten en la palabra código de (k+r) bits. • La distancia de Hamming, d(v1,v2) se define como el número de bits en los cuales v1 y v2 difieren. • La distancia mínima para una palabra código que consiste de w1,w2, …ws donde s = 2n . dmin = minij [d(wi,wj)] • Por ejemplo, si v1 = 011011 y v2 = 110001 d(v1,v2) = 3 • La función de la forma vc = f(vd) donde vd es un vector de data de m bits y vc la palabra código. • El radio de redundancia (ie redundancia) es r/k. • La tasa del código es k/(k+r) y mide la cantidad adicional de ancho de banda que se necesita.

12. Principios de la detección de errores • Las siguientes consideraciones se deben tener en el diseño de un código: • Dado k y r, nos gustaría el valor más grande de dmin. • El codificador debería ser sencillo requiriendo un mínimo de memoria y tiempo de procesamiento. • Nos gustaría un pequeño número de extra bits r, para reducir el ancho de banda. • Nos gustaría una gran número de extra bits r para reducir la tasa de error. • Note que los dos últimos objetivos están en conflicto y deben negociarse.

13. Principios de la detección de errores • Para detectar d errores se requiere una distancia de d+1. Por ejemplo, bit de paridad. • Para corregir d errores, se requiere una distancia de 2d+1.

14. Sumar un bit al final de un bloque de data. De forma tal que, el carácter tiene: Un número par de unos (paridad par). Un número impar de unos (paridad impar). Ventajas: Simple Desventajas: Un número par de errores no se pueden detectar. Ejemplos (paridad par): Data = 1110011 Transmite (A)= 11100111 Llega = 11100101 Calculo en el receptor (B) = 11100100 |Distancia A-B| = 2 Bit de Paridad

15. Para un bloque de k bits, el transmisor genera una secuencia de r bits. El transmisor transmite una secuencia de k+r bits, la cual es exactamente divisible por un número. La secuencia de r bits se llama secuencia de chequeo de trama (frame check sequence, FCS). Lógica aritmética T = trama de (r+k) bits, r <k M= mensaje de k bits. F = secuencia FCS de r bits. P = divisor con un patrón predeterminado. Tienen r+1 bits. Chequeo Cíclico Redundante (CRC)

16. Chequeo Cíclico Redundante (CRC) • El objetivo es que T/P no tenga resto. • Es claro que: T = 2rM + F • 2rM desplaza el mensaje a la izquierda y lo rellena de ceros (0). • Dividir 2rM entre P: 2rM/P= Q + R/P • Usemos R como el FCS T = 2rM + R y T/P = 2rM /P+ R/P = Q + (R/P + R/P) = Q • Así que no hay resto. • Esto es por la suma modulo 2 basada en la operación OR-exclusivo: 0  0 = 0 0  1 = 1 1  0 = 1 1  1 = 0. • Entonces, dividir 2rM entre P y usar el resto como el FCS.

17. Chequeo Cíclico Redundante (CRC) • Se puede demostrar que los siguientes errores son detectables: • Errores de un bit • Errores de dos bits siempre que P tiene tres términos en 1. • Cualquier número de errores impares, si el divisor contiene un factor x+1. • Cualquier error en el cual la longitud del error (en ráfaga) es menor que la longitud del FCS. • La mayoría de ráfagas largas de error.

18. M = 1010001101 (10 bits) <-> X9+X7+X3+X2+1 P = 110101 (6 bits) <-> X5+X4+X2+1 FCS = ? K = 10 n = 6 – 1 = 5 Genere el mensaje a ser transmitido. CRC: Representación Polinomial/Ejemplo

19. Lógica Digital • CRC puede ser representado usando un circuito con compuertas XOR y un registro de desplazamiento. • El circuito es implementado: • El registro contiene r bits (la long del FCS). • Hay hasta r compuertas XOR. • La presencia o ausencia de una compuerta corresponde con la presencia o ausencia de un termino en el divisor polinomial, P(X), excluyendo el término 1 y Xr.

20. Representación Digital P(X)= X5+X4+X2+1

21. Corrección de Errores

22. FEC: Principios • El algoritmo FEC suma (n-k) bits al bloque de datos de k bits. • Los k bits en la señal original se transmiten en la palabra código de n bits. • La distancia de Hamming, d(v1,v2) se define como el número de bit en los cuales v1 y v2 difieren. • Por ejemplo, si v1 = 011011 y v2 = 110001 d(v1,v2) = 3 • La función de la forma vc = f(vd) donde vd es un vector de data de k bits y vc la palabra código. • Dentro de un bloque de código (n,k) hay 2K códigos válidos de 2n códigos posibles. • El radio de redundancia (ie redundancia) es (n-k)/k. • La tasa del código es k/n y mide la cantidad adicional de ancho de banda que se necesita.

24. FEC: Principios • La distancia mínima para una palabra código que consiste de w1,w2, …ws donde s = 2n . dmin = minij [d(wi,wj)] • Las siguientes condiciones se cumplen: • dmin >= 2t+1, el código puede corregir hasta e incluyendo t bits. • dmin >= 2t puede corregir todos los errores <= t-1 bits y los errores de t bits pueden ser detectados. • Otra forma de expresar esta relación es: • El máximo número de errores corregibles es: • t=[(dmin-1)/2] • [x] el más grande de los enteros que no excede x. • El máximo número de errores que pueden ser detectados es: • t=dmin-1

25. FEC: Ejemplo • k=2 y n=5 • Suponga que se recibe 00100. • El cual es un código inválido. • La distancia de Hamming a cada código válido es: Distancia mínima

26. FEC: Ejemplo Obsérvese que si ocurren dos errores no se pueden corregir.

27. FEC: Principios • Las siguientes consideraciones se deben tener en el diseño de un código de bloque: • Dado n y k, nos gustaría el valor más grande de dmin. • El codificador debería ser sencillo requiriendo un mínimo de memoria y tiempo de procesamiento. • Nos gustaría un pequeño número de extra bits (n-k), para reducir el ancho de banda. • Nos gustaría una gran número de extra bits (n-k) para reducir la tasa de error. • Note que los dos últimos objetivos están en conflicto y deben negociarse.

28. FEC: Código de Hamming • Diseñado para corregir errores de bit simples. • Familia de bloques de corrección de error (n,k) con los siguientes parámetros: • Longitud del bloque: n = 2m – 1 • Número de bits de dato: k = 2m – m – 1 • Número de bits de chequeo: n – k = m • Distancia mínima: dmin = 3 • El proceso de codificación/descodificación tiene la misma estructura del FEC. • En el receptor el resultado de la comparación (XOR de la señal recibida y otra de la calculada) es realizada. • El resultado se conoce como palabra síndrome.

29. FEC: Código de Hamming • La palabra síndrome tiene un rango de 2(n-k) – 1. • 0 indica no error entonces no se cuenta. • Como un error puede ocurrir en los k bits de data o (n-k) bit de chequeo: • 2(n-k) - 1 >= k+(n-k) = n • Esto nos permite calcular el número de bits de chequeo.

30. FEC: Código de Hamming • Codificación: k bits de datos + (n -k) bits de chequeo. • Decodificación: compara los (n-k) bits recibido con los (n -k) bits calculados bits usando XOR. • Los (n-k) bits resultantes se llaman palabra síndrome. • El rango del síndrome esta entre 0 y 2(n-k)-1. • El síndrome indica: • Si contiene solo 0s, no se han detectados errores. • Si el síndrome contiene un solo bit en 1 entonces un error ha ocurrido en uno de los bits de chequeo. Por lo tanto, no se requiere corrección. • Si el síndrome contiene más de un bit en 1, entonces el valor numérico del síndrome indica la posición de un bit de data en error. El bit en error es invertido para su corrección.

31. FEC: Código de Hamming-Ejemplo Bloque de datos = 00111001

32. FEC: Código de Hamming-Ejemplo Bit con error

33. Códigos Cíclicos • Pueden ser codificados y decodificados usando registros (LFSRs). • Para un código cíclico, un código válido (c0, c1, …, cn-1), desplazado hacia la izquierda un bit (cn-1, c0, …, cn-2), es también un código válido. • La entrada de longitud fija (k) toma y produce un código (n-k).

34. Códigos Cíclicos • Codificación: los k bits de data son usados como entrada para producir un código de chequeo de (n-k) bits. • Decodificación: la entrada recibe un stream de bits de longitud n (ie k bits de data seguidos de (n-k) bits de chequeo). • Se procesan los bits recibidos para calcular el código síndrome (en la misma manera que se calcularon los bits de chequeo). • Si todos los bits del síndrome son cero, no se ha detectado error. • En caso contrario, se ejecuta procesamiento adicional del síndrome para corregir el error.

35. Códigos Cíclicos • Parámetros: • T = trama de n bits que se transmite. • D = data de k bits de longitud (los primeros k bits de T). • P = patrón de (n–k+1) bits predeterminados. • Q = Cociente. • C = Resto. • Representación polinomial: los coeficientes corresponden a los bits en el número binario. Ejemplo, P(X) = 1 +  I=1n-k-1AiXi + X n-k

36. Códigos Cíclicos • Para que T/P no tenga resto entonces comenzar por: T(X) = Xn-kD(X) + C(X) • Si se divide Xn-kD(X) entre P(X) el resultado da un cociente y un resto: Xn-kD(X)/P(X)= Q(X) + C(X)/P(X)

37. Códigos Cíclicos • Si uno o más errores ocurren el bloque recibido tendrá la forma: Z(X) = T(X) + E(X) • E(X) es el polinomio de n bits con un 1 en cada posición de bit que es un error en Z(X). • Si se pasa Z(X) por el mismo LFSR se tiene: Z(X)/P(X)= B(X) + S(X)/(P(X) • S(X) es el síndrome de longitud (n-k) bits.

38. Códigos Cíclicos • Se puede demostrar que E(X)/P(X) produce el mismo resto que Z(X)/P(X) es decir S(X)/P(X). Z(X)/P(X) = B(X)+S(X)/P(X) (T(X)+E(X))/P(X) = B(X) + S(X)/P(X) Q(X)+E(X)/P(X) = B(X) + S(X)/P(X) E(X)/P(X)=[Q(X)+B(X)]+ S(X)/P(X) • Entonces S(X) depende solo de los bits de error. • Así que los bits de error se pueden corregir usando un suma simple: Z(X) + E(X) = T(X) + E(X) + E(X) = T(X)

39. Códigos Cíclicos: Ejemplo • Código (7,4), es decir, n=7, k=4, n-k =3. • P(X) = X3+X2+1 ó 1101. • Para que un código se capaz de corregir errores simples: • n<= (2n-k-1) • Ya que n=7 = 23-1=7 este código es capaz de corregir un error. • Ver tabla (a) a continuación, note que la distancia mínima es 3, entonces se confirma lo anterior de acuerdo lo que se muestro anteriormente.

40. Códigos Cíclicos: Ejemplo

41. Códigos Cíclicos: Ejemplo • Para cada patrón de error E(X) calcular el síndrome S(X). • Proceder como se muestra a continuación para cada patrón de error. • Así se obtiene la tabla (b) en la lámina anterior. E(X)=X6 110

42. Código BCH • Para un par de enteros positivos m y t un código BCH (n,k) tiene los siguientes parámetros: • Longitud del bloque: n = 2m – 1 • Número de bits de chequeo: n – k  mt • Distancia mínima: dmin >= 2t + 1 • Corrige combinaciones de t o menos errores. • Permite gran flexibilidad en la elección de los siguientes parámetros • Longitud del bloque y tasa del código

43. Código Reed-Solomon • Sub clase de lo códigos BCH. • La data es procesada en trozos de m bits, llamados símbolos. • Un código RS (n,k) tiene los siguientes parámetros: • Longitud del símbolo: m bits por símbolo • Longitud del bloque: n = 2m – 1 símbolos = m(2m – 1) bits • Longitud de la data: k símbolos • Tamaño del código de chequeo: n – k = 2t símbolos = m(2t) bits • Distancia mínima: dmin = 2t + 1 símbolos

44. Código Reed-Solomon: Ejemplo • Sea t=1 y m=2. Denotemos los símbolos 0,1,2,3 que se pueden escribir en forma binaria como 0=00, 1=01, 2=10 y 3=11. El código tiene los siguientes parámetros: • n= 22-1 = 3 símbolos = 6 bits • (n-k) = 2 símbolos = 4 bits • Este código puede corregir una ráfaga de errores que se expande en un símbolo de 2 bits

45. Intercalamiento de bloques • La data es escrita y leída de la memoria en ordenes diferentes. • Una técnica muy común consiste en almacenar la data para ser transmitida en arreglos rectangulares en los cuales cada fila consiste de n bits. • La data es leída por columnas. • Los bits de datos y bits de chequeo son expandidos y salpicada con los bits de otros bloques. • En el receptor la data es des intercalada para recuperar el orden original. • Si errores por ráfagas ocurren, el error es expandido sobre un número de bloques haciendo posible la corrección.

47. Códigos Convolucionales • Generan bit redundantes continuamente. • Chequeo y corrección de errores realizados continuamente. • Código representado como (n, k, K). • El proceso de entrada procesa k bits en un determinado tiempo. • La salida produce n bits por cada k bits de entrada. • K = factor de restricción • k y n generalmente muy pequeños. • La salida de n bits del código (n,k,K) depende de: • Bloque en curso de k bits de entrada. • Los K-1 bloques previos de k bits de entrada. • La tasa de un código convolucional es k/n.

48. Codificación un-1,un-2

49. Códigos Convolucionales: Codificación • Existen varias maneras de representar gráficamente un codificador convencional: • Árbol de código. • Enramado (trellis). • Diagrama de Estado.

50. Códigos Convolucionales : Descodificación • El código de Viterbi es uno de los más importantes algoritmos de corrección para los códigos convolucionales. • Código de Viterbi – algoritmo de corrección: • Compara la secuencia recibida con todas las posibles secuencias transmitidas. • El algoritmo elige el camino a través del diagrama de enramado cuya posible secuencia transmitida difiere en el menor número de sitios. • Una vez una camino válido es seleccionado como el camino correcto, el decodificador puede recuperar la data de entrada de los bits del código de salida.