M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

1. Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach prednáška č. 3

2. Obsah prednášky • Statická lineárna formulácia MKP • Opakovanie základných vzťahov z Pružnosti a pevnosti • Základné pojmy MKP • Priama tuhostná formulácia rovníc MKP Prutový prvok v lokálnom súradnicovom systéme • Energetická formulácia rovníc MKP Formulácia všeobecnej elastostatickej úlohy Odvodenie matíc pre prutový prvok v LSS • Riešenie lineárnych úloh - príklady

3. Základné vzťahy PaP • Základná úloha: • určiť deformáciu a napätosť telesa, • posúdiť únosnosť, spoľahlivosť a životnosť konštrukcie • Metódy riešenia: • analytické, experimentálne, numerické, matematická teória pružnosti • Numerické metódy riešenia: • vychádzajú z teórie mechaniky kontinua a využívajú výpočtovú techniku (computational mechanics) • Všeobecný postup riešenia s využitím výpočtovej mechaniky: • zostavenie základných rovníc úlohy • implementácia výpočtovej metódy • vytvorenie počítačového programu a jeho aplikácia na riešenie konkrétnej úlohy

4. Základné vzťahy PaP • Základné rovnice statickej analýzy kontinua: • kinematika deformačného pohybu telesa (mierky deformácie) • kinetika (sily a napätia) • konštitutívne (stavové) rovnice • termodynamika deformačného pohybu (energetické princípy) • Lineárna statická analýza: • (nekonečne) malé posunutia a pomerné deformácie. • elastický materiál • statické zaťaženie • čas v analýzach označuje iba zaťažovací krok

5. Základné vzťahy PaP • Kinematika deformačného pohybu: • Normálové a šmykové zložky deformácie (nekonečne malé) možno skúmať nezávisle na sebe.

6. Základné vzťahy PaP

7. Základné vzťahy PaP Potom: Zovšeobecnenie: Keď poznáme posunutie okolia hmotného bodupotom lineárne pomerné deformácie v bode telesa sú popísaná pomocou

8. Základné vzťahy PaP lineárnych Cauchyho rovníc

9. Základné vzťahy PaP Záver: Vektor pretvorenia je funkciou zložiek gradientu vektora posunutia. Pre celé teleso dostaneme pole pretvorenia zo zložiek gradientu poľa posunutia vo všetkých bodoch telesa.

10. Základné vzťahy PaP Kinetika deformačného pohybu (vnútorné sily) a stavové rovnice (zovšeobecnený Hookov zákon):

12. Základné vzťahy PaP Jednoosová (priamková) napätosť Dvojosová (rovinná) napätosť

13. Trojosová (priestorová) napätosť

14. Základné vzťahy PaP

15. Základné vzťahy PaP Pružno-plastické deformácie materiálový zákon pre pružno-plastické deformácie Dep - matica materiálových konštánt

16. Základné vzťahy PaP • Výhody počítačových metód: • možno zvoliť presnejší mechanický model úlohy, ktorý sa málo líši od reálnej situácie • možno riešiť aj doteraz neriešiteľné zložité úlohy veľmi efektívne a presne • stávajú sa nástrojom získania/pochopenia nových teoretických poznatkov • Pozor! Nemožno podceňovať význam analytických, ale najmä experimentálnych metód!!! • Používanie softvérových prostriedkov počítačovej mechaniky bez znalosti základných princípov mechaniky poddajných telies môže viesť k chybným analýzam a záverom.

17. Základné pojmy MKP • Podstata riešenia úlohy pomocou MKP: • diskretizáciou oblasti na prvky riešenie zjednodušíme tým, že nehľadáme funkcie posunutí v celej oblasti, ale iba vo vybraných uzlových bodoch (nodes), • tým namiesto sústavy diferenciálnych rovníc pre spojité teleso (riešenie v uzavretom tvare) riešime iba sústavu algebraických rovníc vo vybraných bodoch, • miesto diferenciálnych podmienok rovnováhy telesa zostavujeme v MKP podmienky silovej rovnováhy uzlových bodov, v ktorých „vnútorné sily“ vyjadrujeme pomocou „posunutí“ a tuhostných charakteristík prvkov, • výsledkom je nájdenie funkčných hodnôt hľadanej veličiny vo vybraných uzloch telesa,

18. Základné pojmy MKP • Podstata riešenia úlohy pomocou MKP: • priebeh hľadanej veličiny v každom prvku oblasti aproximujeme vhodne zvolenou funkciouu(x,y,z), ktorá je jednoznačne určená funkčnými hodnotami (príp. ich deriváciami) v uzloch prvku, • iba uzly konečných prvkov prenášajú „posunutia“ a „sily“ medzi prvkami telesa, • pri diskretizácií telesa prvkami nesmú vznikať medzery ani prekrytia prvkov

19. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

20. Základné pojmy MKP • zjednodušenie geometrického tvaru • vypustenie alebo tvarové zjednodušenie pre riešenie úlohy nepodstatných častí geometrie • redukcia na n-rozmernú úlohu • využitie symetrie, antisymetrie geometrie alebo zaťaženia, rotačnej symetrie, ... • zjednodušenie mechanických a fyzikálnych vlastností materiálu (homogenizácia, redukcia anizotropie, ...)

21. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

22. Základné pojmy MKP • Treba stanoviť, oblasť do ktorej úloha spadá: • - mechanika, termomechanika, prúdenietekutín, elektrina, akustika, magnetizmus,..., • príp. multifyzikálna úloha so vzájomnou interakciou jednotlivých polí. • identifikujeme lineárnosť resp. nelineárnosť, stacionárnosť resp. časovú závislosť riešenej úlohy. • stanovia sa podmienky jednoznačnosti riešenia úlohy, t.j. geometria, materiálové vlastnosti, začiatočné a okrajové podmienky

23. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

24. hranica S skúmanej oblasti A (V) skúmaná oblasť A (V) Základné pojmy MKP Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).

25. diskretizácia skúmanej oblasti uzol konečný prvok Základné pojmy MKP Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).

26. Základné pojmy MKP Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky:

27. Základné pojmy MKP Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky:

28. Základné pojmy MKP Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky:

29. Základné pojmy MKP • Základné typy konečných prvkov: • čiarové prvky (prútový a nosníkový) • prvky poddajného telesa (plošné a objemové prvky) • prvky špeciálneho tvaru telesa (škrupinové a doskové prvky) • špeciálne prvky (viazané úlohy, kontakt, superelementy,...)

30. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

31. Pole Akcia Reakcia Silové Sila F Premiestnenieu Teplotné Tepelný tok P TeplotaT Elektrické Elektrický prúd I ElektrickýpotenciálV Prúdenietekutín Tlak p Rýchlosť prúdeniaw Základné pojmy MKP Výber primárnych neznámych závisí od druhu riešeného poľa.

32. Základné pojmy MKP • Výber vhodných interpolačných (tvarových) funkcií. • Určujú vzťah medzi primárnymi neznámymi vo vnútri prvku a v jeho uzlových bodoch. Funkcie musia spĺňať tieto podmienky: • - výsledný funkcionál Pmusí byť spojitý na hraniciach jednotlivých prvkov, (t.j. tvarové funkcie musia byť derivovateľné až do rádu o jeden menší, ako najvyšší rád derivácie vyskytujúci sa vo funkcionáli). • - musia zabezpečiť konvergenciu výsledkov pre neznámuj, t.j. funkcionálP sa približuje ku svojej limitnej hodnote, ak objem oblasti V sa blíži k nule. • Najčastejšie používanými interpolačnými funkciami sú lineárne polynómy, Lagrangeové polynómy, Hermiteove polynómy atď.

33. u u = a0 + a1x u = a0 + a1x + a2x2 u = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 Základné pojmy MKP • Výhody polynómov ako interpolačných funkcií: • ľahko sa derivujú a integrujú, • presnosť aproximácie je možné zvýšiť rádom polynómu, • majú spojité derivácie. oblasť prvku

34. Základné pojmy MKP • Polynómy musia spĺňať: • geometrickú izotropiu – kompletné polynómy, nezávislé od súradnicového systému (Pascalov trojuholník, Pascalov ihlan) • počet koeficientov amusí byť zhodný s počtom stupňov voľnosti prvku • kritéria konvergencie: • - interpolačné funkcie a ich derivácie obsiahnuté vo funkcionáli Pe musia byť spojité, • - konštantné stavy posunutí a ich derivácií obsiahnuté v Pe musia byť v interpolačných funkciách obsiahnuté (e = konšt, e = 0 – tuhé posunutie, rotácia), • - tvarové funkcie musia byťspojité ažpo deriváciu rádun-1, vyskytujúcu sa vo funkcionáliPe • 2 = kompletné prvky; 1+3 = kompatibilné (konformné) prvky

35. konštantný člen lineárne členy kvadratické členy kubické členy bi-kvadratické členy kvintické členy 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5 < kompletný polynóm 2. stupňa (6 členov) < kompletný polynóm 5. stupňa (21 členov) Základné pojmy MKP • Spojitosť interpolačných funkcií označujeme: • C0 - spojité na hraniciach prvkov, • C1 - ak sú spojité aj ich prvé derivácie, • . . .

36. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

37. Pole Konštitutívnyvzťah Silové Hookovzákon Teplotné Fourierov zákon(prenos tepla vedením) Elektrické Ohmov zákon Prúdenietekutín Bernoulliho rovnica Základné pojmy MKP Určujú vzťah medzi akciami, ktoré na teleso pôsobia, a reakciami, ktoré vznikajú v samotnom telese vplyvom ich pôsobenia.

38. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

39. Základné pojmy MKP • Varianty metódy konečných prvkov: • Deformačný variant • (Lagrangeov princíp), primárne neznáme:u • Silový variant • (Castiglianov princíp), primárne neznáme:u • Zmiešaný (hybridný) variant • Odvodenie matíc prvkov: • všeobecná deformačná metóda • priama tuhostná formulácia (vhodná pre jednorozmerné prvky) • energetická formulácia rovníc MKP • variačná formulácia rovníc MKP (princíp virtuálnych prác)

40. Základné pojmy MKP Zostavenie rozšírených matíc prvkov. Zostavenie matíc konštrukcie. Transformácia zaťaženído uzlových bodov prvkov. Aplikovanie okrajových podmienok.

41. Pole Matica prvku K Silové matica tuhosti Teplotné matica tepelnej vodivosti Elektrické matica elektrickej vodivosti Prúdenie tekutín matica odporu prúdenia Základné pojmy MKP • Matice prvkov: • Vlastnosti matíc: • pásová • symetrická • pozitívne definitná

42. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

43. Základné pojmy MKP • Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP: • zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...) • vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu • definovanie podmienok jednoznačnosti • diskretizácia analyzovanej oblasti • identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií • definovanie konštitutívnych vzťahov • odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť • výpočet primárnych neznámych • výpočet sekundárnych neznámych • interpretácia výsledkov

44. Základné pojmy MKP Postprocesorom programu MKP. Výstup a spracovanie výsledkov vo forme výpisov, tabuliek, grafov a grafických máp (izočiary, izoplochy, vektory gradientov atď.). Úlohou riešiteľa je tieto výsledky klasifikovať a využiť ich na optimalizáciu riešeného problému. Táto časť riešenia úlohy pomocou MKP kladie vysoké nároky na teoretické znalosti, odbornú erudovanosť apraktické skúsenosti riešiteľa!

46. Priama tuhostná formulácia MKP Pre prút konštantnej tuhosti v LSS a lineárne elastickú oblasť zaťažovania. Rovnica rovnováhy prvku a deformácia prúta:

47. Priama tuhostná formulácia MKP Tuhostný vzťah pre prút v LSS v maticovom tvare:

48. Priama tuhostná formulácia MKP kde: - lokálny vektor posunutí uzlov prvku - lokálny vektor uzlových síl - lokálna matica tuhosti prvku

49. Priama tuhostná formulácia MKP Transformácia uzlových síl a posunutí medzi veličinami v LSS a GSS

50. Priama tuhostná formulácia MKP Transformácia síl v maticovom tvare kdeTeje transformačná matica, (pre dvojuzlový prútový prvok rovná)