1 / 14

Przykład liczbowy

Przykład liczbowy. Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową ( X,Y ), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 1 2 3 p i. 1 0,06 0,03 0,04 0,13 2 0,07 0,04 0,13 0,24

cleo
Download Presentation

Przykład liczbowy

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 1 2 3 pi. 1 0,06 0,03 0,04 0,13 2 0,07 0,04 0,13 0,24 3 0,07 0,06 0,20 0,33 4 0,05 0,12 0,13 0,30 p.j 0,25 0,25 0,50 1,00 Y X

  2. Rozkłady brzegowe Rozkład jednej tylko zmiennej, X lub Y, bez względu na rozkład drugiej, będziemy nazywali rozkładem brzegowym tej zmiennej. Rozkłady brzegowe są rozkładami jednowymiarowymi, a ich f.r.p. określone są następująco:

  3. Rozkłady warunkowe W przypadku rozkładów dwuwymiarowych istnieje możli-wość określenia rozkładu jednej zmiennej pod warunkiem, że druga zmienna przyjmie określone wartości. Warunkowe funkcje rozkładu prawdopodobieństwa określone są następująco:

  4. Warunkowe funkcje prawdopodobieństwa Obliczając warunkowe f.r.p. dla zmiennej losowej Y w naszym przykładzie otrzymamy: 1 2 3 1 0,46 0,23 0,31 1 2 0,29 0,17 0,54 1 3 0,21 0,18 0,61 1 4 0,17 0,40 0,43 1

  5. Parametry rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej Momentem zwykłym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie: Z powyższego wynika, że istnieją dwa momenty rzędu pierwszego m10 i m01, przy czym m10=EX oraz m01=EY, tym samym momenty te są wartościami oczekiwanymi w rozkładach brzegowych zmiennych X i Y.

  6. Parametry rozkładu (c.d.) Podobnie istnieją trzy momenty rzędu drugiego: m20=EX2; m02=EY2; m11=EXY Przykład: Obliczając momenty rzędu pierwszego i drugiego w naszym przykładzie otrzymujemy: m10=EX=1 • 0,13 + 2 • 0,24 + 3 • 0,33 + 4 • 0,30 = 2,8 m01=EY=1 • 0,25 + 2 • 0,25 + 3 • 0,50 = 2,25 m20=EX2=12 • 0,13+22 •0,24+32 •0,33+42 •0,30 = 0,13+0,96+2,97+4,80 = 8,86 m02=EY2=12 • 0,25 + 22 • 0,25 + 32 • 0,50 = 0,25 + 1,00 + 4,50 = 5,75 m11=EXY=1 • 1 • 0,06 + 1 • 2 • 0,03 +1 • 3 • 0,04+2 • 1 • 0,07+ 2 • 2 • 0,04 + + 2 • 3 • 0,13 +3 • 1 • 0,07 +3 • 2 • 0,06 +3 • 3 • 0,20+ + 4 • 1 • 0,05 + 4 • 2 • 0,12 + 4 • 3 • 0,13 = 0,24 + 1,08 + 2,37 + 2,72 = 6,41

  7. m10=EX= 1•0,13+2•0,24+3•0,33 +4•0,30=2,8(wartość oczekiwana zmiennej X Przykład liczbowy Rozpatrzmy dwuwymiarową zmienną losową (X,Y), gdzie X jest liczbą osób w rodzinie, a Y liczbą izb w mieszkaniu. Niech f.r.p. tej zmiennej będzie dana tabelką 1 2 3 pi. 1 0,06 0,03 0,04 0,13 2 0,07 0,04 0,13 0,24 3 0,07 0,06 0,20 0,33 4 0,05 0,12 0,13 0,30 p.j 0,25 0,25 0,50 1,00 Y X m01=EY=1•0,25+2•0,25+3•0,50=2,25(wartość oczekiwana zmiennej Y

  8. Parametry rozkładu (c.d.) Momentem centralnym rzędu k+l (k, l = 0, 1,...) dwuwy-miarowego rozkładu zmiennej losowej (X,Y) typu skokowego nazywamy wyrażenie:

  9. Obliczanie momentów centralnych Z definicji momentu centralnego wynika, że: Istnieje jeszcze jeden moment centralny rzędu drugiego: Moment ten nazywamy kowariancją i oznaczamy symbolem CXY.

  10. Związki między momentami Między momentami centralnymi a zwykłymi zachodzą związki: Można udowodnić, że jeżeli zmienne losowe (X,Y) są niezależne, to kowariancja jest równa zero. O zmiennych (X,Y), dla których CXY=0 mówimy, że są nieskorelowane.

  11. Współczynnik korelacji Z kowariancją związany jest jeszcze jeden parametr rozkładu dwuwymiarowego, tzw. współczynnik korelacji zmiennych losowych (X,Y): Z własności kowariancji wynika następująca własność współczynnika korelacji: Współczynnik korelacji jest miarą siły związku między zmiennymi losowymi.

  12. Obliczenia momentów centralnych i współczynnika korelacji Korzystając ze związków między momentami otrzymujemy w naszym przykładzie: Możemy jużobliczyć współczynnik korelacji:

  13. Warunkowe wartości oczekiwane Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna X = xi nazywamy wyrażenie: Analogicznie definiujemy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X:

  14. Obliczanie warunkowych wartości oczekiwanych Obliczmy warunkowe wartości oczekiwane zmiennej losowej Y w naszym przykładzie. Kolejno otrzymujemy: E(Y/X=1)=10,46+20,23+30,31=1,85 E(Y/X=2)=10,29+20,17+30,54=2,25 E(Y/X=3)=10,21+20,18+30,61=2,40 E(Y/X=4)=10,17+20,40+30,43=2,26

More Related