La Sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....

1. La Sucesión de Fibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.... Laura Camila Calderón Soto Universidad Industrial de Santander

2. LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) 1170-1240. • En la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaríaconvirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional. Fibonacci, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

3. E L L I B E R A B A C I De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes unpotente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, su principal obrael Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco) de la cual actualmente sólo se conserva la versión de 1228 (segunda versión). En ella Fibonacci exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de numeración indoarábigo: las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Nos brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesiónde números:1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

4. PARA QUE UTILIZO LA SUCESIÓN? • "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.”

5. COMO CONSTRUIMOS LA SUCESIÓN? • La sucesión empieza con dos unos. • Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. • Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo. • La sucesión es infinita. Así la sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

6. La sucesión esta definida por: • Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de • documentos activos así: • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione “Configuración de la acción” • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar f1 = f2 = 1 fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3 • f 1 = 1 • f 2 = 1 • f 3 = f 2 + f 1 = 2 • f 4 = f 3 + f 2 = 3 • f 5 = f 4 + f 3 = 5 • f 6 = f 5 + f 4 = 8 • f 7 = f 6 + f 5 = 13 • ...

7. Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de • documentos activos así: • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione “Configuración de la acción” • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar PODEMOS CONSTRUIR UNA SUCESIÓN COMO LA DE FIBONACCI? Se obtienen con el mismo método de recurrencia, es decir, en la que cada término sea la suma de los dos anteriores. Por ejemplo en la siguiente sucesión utilizaremos los números 1 y 3, la sucesión estará definida por: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... F 1 = 1, F 2 = 3 F n+2 = F n+1 + F n n >= 1

8. PROPIEDADES • La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas: Suma de n términos f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f n + 2 - 1 Suma de términos impares f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n Suma de términos pares f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1

9. Suma de los cuadrados de n términos f 12 + f 22 + f 32 + f 42 + ... + f n2 = f n f n + 1 Diferencia de cuadrados: La diferencia de cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades es otro número de Fibonacci: f n + 12 - f n - 12 = f 2n

10. Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de • documentos activos así: • En el menú Insertar, seleccione Objeto... • Haga clic en “Crear desde archivo” • Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” • “Mostrar como icono” debe estar activado • Haga clic en Aceptar • Seleccione un icono • En el menú Presentación, seleccione “Configuración de la acción” • Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” • Haga clic en Aceptar Relación de la sucesión de Fibonacci con los coeficientes binomiales Dispuesto el Triángulo de Pascal tal como indica la figura y sumando las diagonales en el orden indicado (diagonales coloreadas) obtenemos los números de Fibonacci.

11. Si los números de Fibonacci tienen la siguiente expresión: f 1 = C0, 0f 2 = C 1, 0f 3 = C 2, 0 + C 1, 1f 4 = C 3, 0 + C 2, 1f 5 = C 4, 0 + C 3, 1 + C 2, 2f 6 = C 5, 0 + C 4, 1 + C 3, 2f 7 = C 6, 0 + C 5, 1 + C 4, 2 + C 3, 3f 8 = C 7, 0 + C 6, 1 + C 5, 2 + C 4, 3...

12. La divisibilidad y los números de Fibonacci. • Números de Fibonacci consecutivos son primos entre si • Si designamos por (a,b) el máximo común divisor de a y b, entonces: • (f m , f n) = f (m, n)Si f 8 = 21 y f 12 = 144, entonces m = 8, n = 12, por lo que (m, n) = (8, 12) = 4 y (f 8 , f 12) = (21, 144) = 3 = f 4 • Si n es divisible entre m, entonces f n es divisible entre f m f 10 = 55; f 5 = 5 entonces f 10 / f 5 = 55 / 5 = 11 • f n es par si y sólo si n es múltiplo de 3. f 3 = 2; f 6 = 8; f 9 = 34; f 12 = 144...

13. FIBONACCI Y LA PROPORCIÓN ÁUREA Si tomamos una recta AB y luego ponemos un punto C en una parte de la recta, de manera que el resultado de la división de AC/AB es igual al resultado de la división de CB/AC, se crea una proporción áurea. El punto C crea una sección áurea en el segmento rectilíneo AB si AC/AB =CB/AC, que se puede calcular de la siguiente manera: si AB = 1 y la longitud de AC = x, entonces AC/AB = CB/AC se convierte en x/1 = (1 - x)/x. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por x, se tiene que x² = 1 - x; y por tanto x² + x - 1 = 0. Esta ecuación de segundo grado se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática, que da x = (1 +35)/2 = 1.618033989...

14. PERO QUE TIENE QUE VER LA PROPORCIÓN ÁUREA CON LA SUCESION DE FIBONACCI? La sucesión tiene una propiedad muy interesante relacionada con la proporción. Si dividimos cada número de la sucesión entre su vecino inmediato de la derecha se obtiene la sucesión de fracciones llamadas cocientes de Fibonacci (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13,...). A medida que avanzan los cocientes de Fibonacci tienden al número áureo (1.618033989...). Diferencia en valor absoluto f 2 / f 1 = 1 0, 61 80 33 98 ... f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 0, 38 19 66 01 ... f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 0, 11 80 33 98 ... f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66 66 ... 0, 04 86 32 67 ... f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 0, 01 80 33 98 ... f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 0, 00 69 66 01 ... f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ... 0, 00 26 49 37 ... f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ... 0, 00 10 13 63 ... f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ... 0, 00 03 86 92 ...

15. Es decir Como f n = f n - 2 + f n - 1 resulta Ahora bien por lo que Análogamente Reiterando este procedimiento llegamos a obtener Puesto que el número áureo tiene el mismo desarrollo en forma continua queda justificada la convergencia indicada.

16. Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen entre 55, 89 y 144 espirales, esta particularidad hace que el ángulo que separa a los primordios se aproxime mucho al ángulo áureo , lo que produce una distribución óptima de éstos a lo largo de la superficie del girasol. También al desojarlos nos damos cuenta que el número de hojas varia en 34, 55 y 89 siendo estos el noveno, décimo y undécimo termino de la sucesión. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. En algunas especies de pinos son 5 y 8, en otras 8 y 13 espirales. Y cualquier variedad de piña al mírala por el lado por donde estaba sujeta al árbol observarás dos conjuntos de espiras: unas giran en sentido de las agujas del reloj y otras en sentido contrario estos presenta siempre tres términos de la sucesión de Fibonacci 5, 8 y 13. F I B O N A C C I E N L A N A T U R A L E Z A

17. E S P I R A L D E F I B O N A C C I Es un tipo de espiral logarítmica, a partir de los rectángulos de Fibonacci, con los números de la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... Comenzamos dibujando dos pequeños cuadrados de lado una unidad, que estén juntos, a partir de ahí se forma un rectángulo, cuyo lado mayor que es 2 sirve como lado de un nuevo cuadrado , el cual pegamos a los anteriores, nuevamente obtenemos un rectángulo de dimensiones 3 x 2; a partir de aquí, el proceso se reitera, sucesivamente, añadiendo cuadrados cuyos lados son los números de la sucesión de Fibonacci... Lógicamente, cada cuadrado tiene como lado, la suma de los lados de los dos cuadrados construidos anteriormente.... Los rectángulos sucesivos que van apareciendo son los rectángulos de Fibonacci... La espiral de Fibonacci se dibuja uniendo mediante arcos de circunferencias dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados obtenidos... Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes, animales como el caracol, la estrella de mar, etc.. Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal. Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.