Fibonaccifølgen og gylne forhold

2. Fibonaccifølgen oggylne forhold istein Gjøvik

3. Hans verk Liber Abaci (”Utregningsboken”) tok for seg algoritmer for regning med disse nye tallene Mange skiftet fra romertall til ”våre” tall etter overbevisning grunnet Fibonacci Født i Pisa, ca. 1125 Kjent under mange navn, bl.a. Fibonacci, som betyr sønn av Bonaccio - familienavnet En av de første som benyttet hindu-arabiske tall i Europa Leonardo Pisano

4. Fibonaccis kaniner • Kaniner blir kjønnsmodne etter en måned • Hvert kjønnsmodent par får et nytt par kaniner hver måned • Vi starter med ett par, men kaniner lever evig • Hvordan utvikler dette seg?

5. Fibonaccis kaniner

6. Matematisk modell • Vi gjør først undersøkelser • Stiller så opp en hypotese • Vi gjør flere undersøkelser for å se om hypotesen ser ut til å holde • Og prøver til slutt å gi en matematisk forklaring

7. 1 1 2 3 5 8 13 21

8. 1 Fibonaccitallene 1 2 3 5 8 Vi ser at vi kommer fram til et tall i Fibonaccifølgen ved å legge sammen de to foregående 13 21

9. Generell formel Vi finner som nevnt et tall ved å legge sammen de to forrige:

10. Formel for Fibonacci Det fins en formel for å finne et Fibonacci-tall langt ute i rekken:

11. Litt mer oversiktlig?

12. Blomster og bier • Bier har spesielle familietrær. Det er ikke slik som hos oss, der vi har 2 foreldre, 4 besteforeldre, 8 oldeforeldre, 16 tippoldeforeldre osv. Det er fordi en Drone (hannbie) har bare en mor, mens en Arbeider (hunnbie) har både en mor og en far. Hvis vi tegner slektstreet til en drone, blir det slik: Dronen har 1 mor, 2 besteforeldre, 3 oldeforeldre, 5 tippoldeforeldre, osv.

13. 13 8 5 3 2 1 1

14. Undersøkelse med kalkulator Forholdet mellom to etterfølgende ledd Fibonaccitall Tall nummer

15. Lucasfølgen • Det var Lucas som ga Fibonaccifølgen det navnet • Vi kan jo begynne med et annet tall enn 1 og 1. • La oss si vi begynner med 1 og 3. • Følgen fortsetter da slik: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322

16. Et hjertesukk fra Coxeter • It should be frankly admitted that in some plants the numbers do not belong to the sequence of Fibonacci numbers but to the sequence of Lucas numbers or even to the still more anomalous sequences 3,1,4,5,9,... or 5,2,7,9,16,... • Thus we must face the fact that phyllotaxis is really not a universal law but only a fascinatingly prevalent tendency.

19. 3 5 1 2 1 8 13

20. 3 5 1 2 1 8 13

30. A word from our sponsor...

31. Spiraler Vi finner spiraler i naturen og de dukker opp naturlig når vi arbeider med Fibonaccitallene også.

36. 55 La oss regne ut forholdet mellom diagonalene... Vi vet lengden av sidekantene (Fibonaccitall) og kan bruke Pytagoras til å finne diagonalene 55 34 Klikk her for generelt bevis

37. Oppgave: Konstruer denne spiralen KUN ved å bruke passer og linjal (uten å bruke målestokken på linjalen)

38. Fibonaccispiral

40. Spiraler kan også brukes i estetisk hensikt • Bilde fra filmen A nightmare before Christmas av Tim Burton • Merk også at figurene på bildet er pent plassert langs gylne linjer

41. Vi kan konstruere logaritmiske spiraler ved å dele inn en sirkel i like store vinkler, for så å trekke normaler til den neste strålen

42. Logaritmisk spiral Arkimedes-spiral Spiraler på kalkulatoren

47. Noen er litt mer gyllen enn andre…

48. Det gylne snitt Hvis et linjestykke AC er delt i et punkt B slik at sies B å dele AC i det gylne snitt A C B

49. Det gylne snitt Eller – med litt enklere notasjon: A C B x y

50. Løsning av andregradslikninga Dersom vi setter lengden på linjestykket b lik 1 inn i likningen over, får vi følgende likning: Vi multipliserer på begge sider med x, og får: Løser vi denne likningen og ser bort den negative løsningen, får vi: