FIBONACCI

1. FIBONACCI

2. Realizzato da • ISIS “Dante Alighieri”, Gorizia • Insegnanti Marina Altran, Giuliano De Biasio, Emanuela Fabris

3. OPERE DI FIBONACCI - Liber abaci - De practica geometriae - Liber quadratorum - Il flos

5. LIBER ABACI Pubblicato la prima volta nel 1202 e rivisto nel 1228. Fondamentale per lo sviluppo della matematica europeo-occidentale, contenendo conoscenze matematico-algebriche.

6. Liber abbaci, pubblicato nel 1202 (rivisto e ampliato nel 1228) in seguito al ritorno di Fibonacci in Italia, fu dedicato a Scotus. Il libro si basava sull'aritmetica e sull'algebra, che Fibonacci aveva appreso durante i suoi viaggi. Il libro, che fu largamente utilizzato e imitato, introdusse, in Europa, il sistema di cifre decimali Indo-arabico e l'uso dei numeri arabi. Certamente, molti dei problemi che Fibonacci considera nel Liber abbaci erano simili a quelli che apparivano nelle fonti arabe.La seconda parte è dedicata alle radici quadrate e cubiche ed a problemi di teoria dei numeri.

7. La seconda parte del Liber abbaci contiene un'ampia raccolta dei problemi rivolti ai mercanti. Essi si riferiscono al prezzo dei prodotti, e insegnano come calcolare il profitto negli affari, come convertire il denaro nelle varie monete in uso negli stati mediterranei, e altri problemi ancora di origine cinese. Un problema, nella terza parte del Liber abbaci, portò all'introduzione dei numeri di Fibonacci e della sequenza di Fibonacci, per i quali è ricordato ancora oggi: Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia generi una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa produttiva?

8. La sequenza che ne risulta è 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… (Fibonacci omise il primo termine nel Liber abbaci). Questa sequenza, nella quale ogni numero è la somma dei due numeri che lo precedono, si dimostrò estremamente importante ed è presente in molte e differenti aree della matematica e della scienza. In questa terza sezione, vengono posti molti altri problemi, inclusi alcuni di questi tipo, e molti altri ancora: Un ragno sale molti piedi su un muro ogni giorno e torna indietro un numero stabilito di piedi ogni notte, quanti giorni ci impiega a scalare il muro? Un cane da caccia, la cui velocità aumenta in modo aritmetico, insegue una lepre, la cui velocità aumenta anche in modo aritmetico, quanto sono arrivati lontano prima che il cane da caccia abbia potuto prendere la lepre?

9. Fibonacci tratta i numeri come la radice di 10 nella quarta sezione, sia con le approssimazioni razionali, sia con le costruzioni geometriche. Nel 1228, Fibonacci produsse una seconda edizione del Liber abbaci, con un'introduzione, tipica di molte seconde edizioni di libri, che afferma che: …nuovo materiale è stato aggiunto [al libro], dal quale quello superfluo è stato rimosso…

10. DEPRACTICA GEOMETRIAE Applica il nuovo sistema aritmetico per la risoluzione di problemi geometrici: un trattato di geometria e trigonometria.

11. Un altro dei libri di Fibonacci è il Practica geometriae, scritto nel 1220 e dedicato a Dominicus Hispanus. Esso contiene un'ampia raccolta di problemi geometrici, distribuiti in otto capitoli, unitamente a teoremi basati su Gli Elementi e Sulle divisioni di Euclide. In aggiunta ai teoremi geometrici con precise dimostrazioni, il libro include informazioni pratiche per i controllori, incluso un capitolo su come calcolare l'altezza di oggetti elevati, usando i triangoli simili. L'ultimo capitolo presenta ciò che Fibonacci chiama sottigliezze geometriche: Tra quelli, incluse il calcolo dei lati di un pentagono e di un decagono dal diametro di circonferenze circoscritte e inscritte, è nominato il calcolo inverso,come anche quello dei lati dalle superfici …per completare la sezione sui triangoli equilateri, un rettangolo e un quadrato sono inscritti in un triangolo e i loro lati sono calcolati algebricamente…

12. LIBER QUADRATORUM Brillante lavoro sulle equazioni indeterminate di 2° grado, con forte presenza della tradizione culturale araba.

13. Liber quadratorum, scritto nel 1225, è la parte del lavoro di Fibonacci più impressionante. Il nome del libro significa il libro dei quadrati ed è un libro sulla teoria dei numeri che, tra le altre cose, esamina i metodi per trovare le terne pitagoriche. Fibonacci, per primo, notò che i numeri quadrati potevano essere costruiti come somme di numeri dispari, descrivendo, in linea essenziale, un procedimento induttivo e usando la formula n2+(2n+1)=(n+1)2. Fibonacci scrive: Ho pensato all'origine di tutti i numeri quadrati e ho scoperto che essi derivano dal regolare aumento dei numeri dispari. L'1 è un quadrato e da esso è prodotto il primo quadrato, chiamato 1; aggiungendo 3 a questo, si ottiene il secondo quadrato, 4, la cui radice è 2; se a questa somma viene aggiunto un terzo numero dispari, cioè 5, verrà prodotto il terzo quadrato, cioè 9, la cui radice è 3;per cui la sequenza e le serie dei numeri quadrati derivano sempre da addizioni regolari di numeri dispari.

14. Per costruire le terne pitagoriche, Fibonacci procedette come segue: Così, quando volevo trovare due quadrati perfetti, la cui somma producesse un quadrato perfetto, prendevo ogni quadrato perfetto dispari come uno dei due quadrati perfetti e trovavo l'altro quadrato perfetto attraverso la somma di tutti i numeri dispari dall'1 fino al quadrato perfetto dispari che avevo scelto precedentemente e che veniva escluso. Per esempio, io prendevo 9 come uno dei due quadrati perfetti menzionati; il quadrato rimanente poteva essere ottenuto attraverso la somma di tutti i numeri dispari sotto il 9, cioè 1, 3, 5, 7, la cui somma è 16, un quadrato perfetto, che quando è sommato al 9, dà 25, un quadrato perfetto.

15. Fibonacci, inoltre, dimostrò molti risultati interessanti sulla teoria dei numeri, come: Non c'è x, y tale che x2+ y2 e x2-y2 siano entrambi quadrati e x4-y4 non può essere un quadrato perfetto. Egli definì il concetto di congruum, un numero della forma ab(a+b)(a-b), se a+b è pari, e quattro volte questo, se a+b è dispari. Fibonacci dimostrò come un congruum dovesse essere divisibile per 24 e che se x, c sono tali che x2+c e x2-c siano entrambi quadrati, allora c'è un congruum. Egli inoltre dimostrò che un congruum non è un quadrato perfetto.

16. IL FLOS In questo lavoro diede un’accurata approssimazione della radice di: x³+2x²+10x=20.

17. Durante il soggiorno di Federico II a Pisa nel 1225, l’illustre matematico, introdotto a corte dal Maestro Giovanni da Palermo (matematico della corte di Federico II), ricevette le più festose accoglienze da parte di tutta la Magna Curia. Nell’occasione, il Maestro Giovanni gli sottopose alcuni problemi risolvibili con equazioni quadrate e cubiche e le cui soluzioni furono riportate nel Flos. Nel libro tratta inoltre di problemi indeterminati, ripresi da Diofanto e di problemi determinati, come quelli di Euclide, dei Cinesi e degli Arabi. L’Imperatore svevo lesse e dimostrò di comprendere i testi di Fibonacci; al punto che gli sottopose una serie di quesiti, avendo come risposta alcuni interessanti corollari intorno alla teoria delle frazioni.

18. Problema dei conigli Immaginiamo di chiudere in un recinto una coppia di conigli (maschio e femmina) e supponiamo che ogni coppia produca ogni mese (a partire dal secondo mese) una nuova coppia (maschio e femmina). Quanti conigli si troveranno nel recinto dopo un anno, supposto che, nel frattempo, nessun coniglio muoia?

19. Risoluzione I totali delle coppie di conigli presenti alla fine di ogni mese formano la seguente successione di numeri: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… in cui (osservò Fibonacci) ogni termine è la somma dei due precedenti. Dunque, dopo un anno, ci saranno 233 coppie di conigli. Alla fine dell’Ottocento, il matematico francese Edouard Lucas rese nota la successione in un suo lavoro di matematica ricreativa.

20. LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI Dal punto di vista matematico

21. Successione di Fibonacci La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi definita per ricorrenza, a partire dalla coppia 1, 1: a0=1 a1=1 an=an-1+an-2

22. Rapporti degli elementi contigui 1/1 = 1 2/1 = 1+1/1 = 2 3/2 = 1+1/(1+1) = 1.5 5/3 = 1+1/[1+1/(1+1)] = 1.6666666666… 8/5 = 1+1/{1+1/[1+1/(1+1)]} = 1.6 13/8 = ……… = 1.625

23. Il rapporto aureo dei numeri di Fibonacci Osservando la tabella alla pagina precedente, si nota che i rapporti fra i numeri consecutivi sono sempre uno minore e l’altro maggiore del numero aureo. Una caratteristica importante del numero aureo è che esso non è trascendente, come lo sono invece i numeri  ed e.

24. Considerazioni Analizzando la successione dei rapporti (Fn+1)/Fn si nota che i termini di indici dispari assumono valori crescenti che si avvicinano per difetto a , cui peraltro si approssimano per eccesso i valori decrescenti dei termini di indice pari.

25. Derivazione da una frazione continua

26. Derivazione da radici nidificate

27. Alcune proprietà curiose della successione di Fibonacci PARTICOLARITA`

28. Due termini consecutivi sono primi tra loro Esempi: MCD (3;5) = 1 MCD (5;8) = 1 MCD (34;55) = 1 MCD (55;89) = 1

29. La somma di numeri alterni della sequenza è uguale al numero successivo all’ultimo considerato. Esempi: 1+2+5+13+34+89 =144 1+2+5+13+34+89+233+610+1597=2584

30. La somma dei primi n numeri consecutivi più 1 è il numero che segue di due posti l’ultimo numero considerato Esempi: (1+1+2)+1=5 (1+1+2+3+5+8+13)+1=34

31. Ogni due numeri esiste uno divisibile per 2, ogni tre uno divisibile per 3,ogni quattro uno divisibile per 5; ogni n uno che o è primo, oppure è divisibile per lo stesso primo. Esempi: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,... 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,... 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,...

32. Il MCD tra due numeri di Fibonacci è un numero della sequenza la cui posizione è data dal MCD degli indici. Esempi: MCD (F6;F9) = FMCD(6;9) MCD (8;34) = F3 = 2

33. Un numero di Fibonacci elevato al quadrato è uguale al prodotto di quello che lo precede con quello che lo segue ±1. Esempi:

34. La somma di dieci numeri consecutivi è sempre divisibile per 11 Esempi: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55+89+ 144+ 233= 605

35. Le applicazioni pratichedella sequenza di Fibonacci

36. I numeri di Fibonacci hanno una vasta gamma di applicazione; oltre che in matematica, anche in altre aree, quali Fisica, Scienze, Informatica, Architettura, Economia, Musica, …

37. Informatica:I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel software di molti computer. In particolare nei processori Pentium Intel la sequenza di Fibonacci e le sue proprietà sono usate per velocizzare le operazioni di calcolo.

38. Economia:Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Fibonacci, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati alcuni rialzi e crolli di borsa.

39. Arte e Architettura: Da alcuni studi risulta che forse furono i Greci i primi utilizzatori del rapporto aureo: • In un’anfora Greca il diametro maggiore è proporzionale al diametro del collo come 1:0,618 • Il listello dell’anfora, all’altezza dei manici, divide l’altezza totale dell’anfora in una proporzione aurea pari al rapporto tra la fascia decorata a figure e la parte superiore dell’anfora • Il rapporto tra lunghezza e larghezza nelle architetture di alcuni templi era 1:0,618 e il timpano era un triangolo isoscele con angolo al vertice di 180°

40. La sezione aurea in architettura • Si trova: • Nel Partenone sull’Acropoli di Atene ( 440/430 a.C. – Fidia, Ictino e Callicrate) • Nel tempio di Atena di Paestum (510 – 500 a. C.) • Nell’Arco di trionfo di Costantino a Roma ( III d.C.) • Nel Castel del Monte ad Andria in Puglia (1240-1250) • Nel Castello di Ruggiero II° di Aversa (1135) • Nella Certosa di Pavia • Nella cattedrale di Friburgo • Nella cattedrale di Amiens (XII-XIII secolo) • Nella grande piramide di Cheope • Nella piramide di Teotiuacan in Messico • Nella Chiesa dei Santi Pietro e Marcellino di Seligensdadt • Nella Chiesa di Chiaravalle della Colomba • Nella Chiesa di “S. Caterina” di Galatina (timpano del portale) • Nella “S. Maria della Scala” di Noci (fastigio e campanile a vela) • Nella Chiesa di “S. Domenico” di Taranto (portale) • Nella Chiesa di “Ognissanti” di Valenzano in Puglia (la pianta, gli arconi) • Nel Monastero di Santa Croce di Fonte Avellana (XI-XII secolo) • Nel Palazzo Ducale di Venezia • Nella facciata del Palazzo dell’ONU a New York

41. Nella cattedrale di Friburgo è riprodotta la successione diFibonacci nei rapporti delle altezze.

42. La sezione aurea in pittura • Si trova: • Nell’acquarello “Camposanto di S. Jans” presso Neurenber di AlbrechtDurer • Nell’opera “Scuola serale” di Gerard Dou • Nell’opera “I sindaci della corporazione della luna” di Rembrandt • Nell’opera ”Il sonno del Bambino Gesù” di Bernardino Luini • Nell’opera “La parade ducirq” del pittore Georges-PierreSeurat • Nell’opera “La Venere” di Botticelli (1445-1510) • Nell’opera “Gioconda” di Leonardo da Vinci • Nell’opera “L’Ultima cena” di Leonardo da Vinci • Nell’opera “L’uomo di Vitruvio” di Leonardo da Vinci • Nell’opera “San Girolamo” di Leonardo da Vinci (1483) • Nell’opera “Broadway Bolgie Woogie “ di Pierre Mondrian (1942-43) • Nell’opera “CompositionwithGrid 1“ di Pierre Mondrian (1919)

43. Verifichiamo il comportamento della successione mediante Excel e poi dimostriamo……..

46. IL MAGO DEI NUMERI Nel libro “Il mago dei numeri” lo scrittore tedesco Hans Magnus Enzensberger presenta varie proprietà dei numeri di Fibonacci chiamandoli NUMERI BONACCIONI

47. I numeri “Bonaccioni” via software Le prossime diapositive mostreranno i tabulati in linguaggio Pascal della sequenza di Fibonacci. Per raggiungere questi risultati sono stati utilizzati tutti e tre i tipi di cicli disponibili all’interno del programma di compilazione. For… to… Repeat… until… While… do… Si possono anche utilizzare procedure per raggiungere il medesimo risultato.

48. Program Fibonacci; Uses crt; Var i, n:Integer; Var i0, i1, s:Real; Begin Clrscr; i0:=0; i1:=1; Writeln ('Calcolo dei numeri della successione di Fibonacci.'); Write ('Quante cifre della successione si devono visualizzare?'); Readln (n); Writeln; s:=0; Writeln ('Numero 1: 1'); For i:=2 to n Do Begin s:=i0+i1; i0:=i1; i1:=s; Writeln ('Numero ', i,': ',s:10:0); End; Readln; End.

49. Program Fibonacci; Uses crt; Var Nfibon, Aprec, Asucc, i, k:Integer; Begin Clrscr; Aprec:=0; Asucc:=1; i:=0; Write ('Dammi il posto della successione di Fibonacci a cui ti vuoi fermare. '); Read (k); Readln; Writeln; Writeln ('1'); Repeat Nfibon:=Aprec+Asucc; Writeln (Nfibon); Aprec:=Asucc; Asucc:=Nfibon; i:=i+1 Until i=k; Readln; End.

50. Program Fibonacci; Uses crt; Var n:integer; Procedure fb (n:integer); Var i, n1, n2, temp:integer; Begin n1:=0; n2:=1; i:=0; While i<n Do Begin Writeln (n2); temp:=n2; n2:=n2+n1; n1:=temp; i:=i+1; End; End; Begin Clrscr; Write ('Quanti numeri? '); Readln (n); Writeln; fb (n); Readln; End.