Variables estadísticas bidimensionales

1. Variables estadísticas bidimensionales Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a la observación de un fenómeno.

2. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso, medido en kg. de un grupo de 10 personas, podemos obtener los siguientes valores

3. Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo que se obtendría la variable bidimensional (X, Y) que toma 10 valores: (160,55), (165,58),…, etc. Variables estadísticas bidimensionales

4. Variables estadísticas bidimensionales En algunos casos el número de "parejas" de valores (x,y) es grande y además muchos de ellos aparecen repetidos; en este caso se utiliza una "Tabla de doble entrada" En la primera fila se colocan los valores de una de las características o variable que componen la variable bidimensional y en la primera columna los de la otra.

5. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 1. Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso, medido en kg. de un grupo de 10 personas.

6. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 2. El esfuerzo cortante del suelo en un cierto estrato arcilloso, parece estar relacionado con la profundidad. En una región se toman 10 muestras de suelo a diferentes profundidades y se mide a cada una el esfuerzo cortante, en miles de libras por pie cuadrado [Klb/pie2].

7. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 3. Con el fin de determinar la relación existente entre la resistencia de una determinada pieza de plástico y uno de sus componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba, cada una con una concentración distinta y se obtienen los siguientes resultados:

8. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 4. El tiempo de respuesta (en nanosegundos) de un circuito lógico en frió (X) y tras una hora de uso intensivo (Y), para un conjunto de 8 maquinas

9. Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 5. El número de libras de vapor utilizadas por mes por una planta química, está relacionado con la temperatura ambiente promedio (en grados Farenheit) de ese mes. En la tabla siguiente se muestra el uso del vapor de un año y la temperatura del mes correspondiente.

10. Representación gráfica Diagramas de dispersión o nubes de puntos

11. Diagramas de dispersión o nubes de puntos La representación gráfica de este tipo de variables es en realidad semejante a la representación de puntos en el plano, usando unos ejes de coordenadas. Cada pareja de valores da lugar a un punto en el plano y el conjunto de puntos que se obtiene se denomina "diagrama de dispersión o nube de puntos".

12. Diagramas de dispersión o nubes de puntos En el ejemplo 1 en el que se estudia la talla y el peso de 10 personas se obtendría el siguiente diagrama de dispersión: (En el eje X se representa la talla en cm. y en el eje Y el peso en kg.)

13. Diagramas de dispersión o nubes de puntos Ejemplo 2. El esfuerzo cortante del suelo en un cierto estrato arcilloso, parece estar relacionado con la profundidad. En una región se toman 10 muestras de suelo a diferentes profundidades y se mide a cada una el esfuerzo cortante, en miles de libras por pie cuadrado [Klb/pie2].

14. Diagramas de dispersión o nubes de puntos En el ejemplo 3 en el que se estudia la relación existente entre la resistencia (Y) de una determinada pieza de plástico y uno de sus componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba, cada una con una concentración distinta

15. Diagramas de dispersión o nubes de puntos En el ejemplo 4 en el que se estudia El tiempo de respuesta (en nanosegundos) de un circuito lógico en frió (X) y tras una hora de uso intensivo (Y), para un conjunto de 8 maquinas

16. Diagramas de dispersión o nubes de puntos Ejemplo 5. El número de libras de vapor utilizadas por mes por una planta química, está relacionado con la temperatura ambiente promedio (en grados Farenheit) de ese mes. En la tabla siguiente se muestra el uso del vapor de un año y la temperatura del mes correspondiente.

17. Diagramas de dispersión o nubes de puntos Se puede ver en el primera figura que correspondía al diagrama de talla - peso que la serie de puntos presenta una tendencia "ascendente" . Se dice en este caso que existen entre las dos variables una "dependencia directa" . En caso en que la tendencia sea "descendente" se diría que estaríamos ante una " dependencia inversa" Naturalmente en caso en que no se pueda observar una tendencia clara estaríamos ante una dependencia muy débil que no se puede observar mediante la nube de puntos

18. Regresión y Correlación

19. Regresión lineal simple La regresión lineal simple,  muestra como para cada valor x de una variable no aleatoria X  - conocida como variable predictora o independiente-, interviene una variable aleatoria Y, denominada variable respuesta o dependiente;  relacionadas, a través del valor medio o esperado de la variable respuesta,  por la expresión Donde a y b son los coeficientes de regresión

20. Estimación de los parámetros de a recta de regresión El primer problema a abordar es obtener los estimadores de los parámetros de la recta de regresión, partiendo de una muestra de tamaño n, es decir, n pares (x1, Y1) , (x2, Y2), ..., (xn, Yn); que representan nuestra intención de extraer para cada xi un individuo de la población o variable Yi . Una vez realizada la muestra, se dispondrá de n pares de valores o puntos del plano (x1, y1) , (x2, y2), ..., (xn, yn). El método de estimación aplicable en regresión, denominado de los mínimoscuadrados, permite esencialmente determinar la recta que "mejor" se ajuste o mejor se adapte a la nube de n puntos.

21. Estimación de los parámetros de a recta de regresión Las estimaciones de los parámetros de la recta de regresión obtenidas con este procedimiento son:

22. Estimación de los parámetros de a recta de regresión a = -142.91 b = 1.2120 Y = -142.91 + (1.21)X

23. Recta de regresión En esta imagen se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla). Se representa cómo depende el peso de su talla en una persona Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto: Haydependencia directa con pendiente de la recta positiva creciente

24. Utilidad de la recta de regresión Mediante la recta de regresión podríamos obtener de manera aproximada el valor de la variable dependiente (y) de la que conociéramos la variable independiente (x), en una población semejante a aquella de la que se ha obtenido la muestra De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una función

25. Estimación o pronostico Si observamos la gráfica, podríamos suponer por ejemplo que una persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg De acuerdo a la formula Y = -142.91 + (1.21)X La recta de regresión de la variable y (talla) sobre x (peso) será la recta: El valor del peso estimado para una talla de 185 cm sería: Peso= -142.91 + 185(1.21) = 81.33 Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quiere decir que las predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas. Mas adelante precisaremos la "fiabilidad" de las mismas. Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la variable x.

26. Coeficiente de correlación

27. Dependencia de las variables Una vez observado que en una variable bidimensional existe una cierta dependencia entre las dos características o variables que la forman (nube de puntos), podemos precisar el grado de dicha dependencia. Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre la recta de regresión se diría que existe una dependencia funcional. Si los puntos no están todos sobre la recta de regresión se dice que entre las variables hay una cierta correlación lineal. Este es el caso que nos ocupa. Para cuantificar el grado de dicha correlación se usa el coeficiente de correlación

28. Coeficiente de correlación de Pearson El valor del coeficiente esta comprendido entre -1 y 1. Si r se acerca a -1 o a +1, la dependencia es fuerte y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante fiables. Si r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables

29. Coeficiente de correlación de Pearson Calcularemos la correlación para el ejemplo de las tallas y los pesos r2 = 0.82 r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables

30. Cálculos de los coeficientes con Excel

31. Cálculos de los coeficientes con Excel

32. Cálculos de los coeficientes con Excel r a b La ecuación con el valor de los parámetros Y = -142.9 + 1.21 X