3. Membranen, Platten und Schalen

1. 1-D-System 2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt Knotenlinie 3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: Vortrag Perkussionsinstrumente

2. Einspannung y z x Massendichte: Spannung:Tds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ): Kreismembran Rechteckmembran 3.1. Membranen 2-D-Wellengleichung:Koordinatenwahl  Form der Einspannung (Transversalschwingung) Vortrag Perkussionsinstrumente

3. F θ Tds Statische Auslenkung: = 0 für Angriffspunkt Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite Membran Vortrag Perkussionsinstrumente

4. Lx y z Ly x Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: m = 1 n = 1 m = 2 n = 1 m = 1 n = 2 m = 2 n = 2 • Quadratische Membran Lx = Ly • Entartung ωmn = ωnm • Modenüberlagerung möglich m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 Vortrag Perkussionsinstrumente

5. y z x Schwingungsmoden von Kreismembranen: 2R m = 0 n = 1 m = 1 n = 1 ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2 Vortrag Perkussionsinstrumente

6. Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen: Vortrag Perkussionsinstrumente

7. Kreismembran Applet • http://www.falstad.com/mathphysics.html Vortrag Perkussionsinstrumente

8. frei / einfach unterstützt / eingespannt y z h Massendichte: x „Unendliches“ Medium (rel. zu λ) „Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten 3.2. Dünne isotrope Platten a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung Vortrag Perkussionsinstrumente

9. frei / einfach unterstützt / eingespannt y z h Massendichte: x „Unendliches“ Medium oder „unendlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ) b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben) Vortrag Perkussionsinstrumente

10. frei / einfach unterstützt / eingespannt y z h Massendichte: x Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Vortrag Perkussionsinstrumente

11. z Ly Beispiel: Die dünne Rechteckplatte Lx h Freie Platte: ( i.A. schwieriges Problem ) (x,y) – Kopplung • Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran • Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,... Vortrag Perkussionsinstrumente

12. Ringmode Diagonal-Mode (X-Mode) Messung an freier Aluminiumplatte (x,y) – Kopplung bei Lx  Ly: Modenaustausch Lx = const. Lx / Ly Vortrag Perkussionsinstrumente

13. frei (ν=0,3) einfach unterstützt eingespannt Fundamentalmoden quadratischer Platten: (1,1) (0,0) (0,0) Vortrag Perkussionsinstrumente

14. frei (ν=0,3) eingespannt Moden quadratischer Platten: Vortrag Perkussionsinstrumente

15. Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m = 0 n = 1 • Qualitativ wie starre Kreisplatte • Effizienter Strahler • Quantitativ unterschiedlich: u(r')  J0(k r') Fundamentalmode m = 0 n = 2 • m = 0 Moden: • Verbleibende Netto-Monopolkomponente • Schwache Strahler m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 • m > 0 Moden: • Keine Monopolkomponente • Völlig ineffiziente Strahler m = 1 n = 1 m = 3 n = 2 Vortrag Perkussionsinstrumente

16. Perkussionsinstrumente -Trommeln Vortrag Perkussionsinstrumente

17. Perkussionsinstrumente -Trommeln: Geschichte • Trommeln sind praktisch so alt wie die Menschheit. Ausgenommen die menschliche Stimme stellen Sie die ältesten Musikinstrumente dar! • Die ersten Trommel waren wahrscheinlich Holzstücke über Erdlöchern und etwas später hohle Baumstümpfe! • Die ältesten bekannten Trommeln mit Membranen sind 5000 Jahre alt. Die Membran bestand aus Fischhaut oder Wildleder. • In der Kulturgeschichte des Menschen spielten Trommeln in der Musik allgemein vor allem aber in religiösen Ritualen und Festen eine wichtige Rolle! Vortrag Perkussionsinstrumente

18. Perkussionsinstrumente -Trommeln : Kategorisierung • Alle Trommeln lassen sich grob in 2 Hauptkategorien einteilen: Solche die ein gutes Gefühl für die Tonhöhe vermitteln und solche, die das nicht tun. • Zur ersten Gruppe gehören z.B. kettledrums und tabla. • Zur zweiten Gruppe gehören bass drum, snare drum, tom-toms, bongos, congas… • Als schwingungsfähige Systeme unterteilt man Trommeln in 3 Gruppen: solche mit von der Membran abgeschlossenem Resonanzkörper (kettledrums), solche mit Luft zu beiden Seiten der Membran (tom-toms, Tambourine) und solche mit einem durch 2 Membranen isolierten Hohlraum (bass drum und snare drum). Vortrag Perkussionsinstrumente

19. Perkussionsinstrumente -Trommeln • kettledrums oder timpani sind die wichtigsten Trommeln in modernen Orchestern. Ihre Bedeutung resultiert vor allem aus den Einstellungsmöglichkeiten. • Eine timpani kann in etwa eine Quinte (5 Töne) je nach Membranspannung abdecken. Über die Pedale kann der Spieler einen weiteren Ton hinzufügen. • Die Moden einer idealen Membran sind nicht harmonisch. Eine gut eingestellte timpani einen Grundton und nur 2 oder 3 Obertöne. Der Grundton stammt dabei von der 1,1 mode. Vortrag Perkussionsinstrumente

20. Aufbau einer Kesselpauke Aufsicht Seitenansicht Vortrag Perkussionsinstrumente

21. Energieverlust • Es gibt vier hauptsächliche Ursachen für den Energieverlust einer Membran in einer Trommel: • Schallabstrahlung • Mechanische Verluste in der Membran • Wärmeverlust der eingeschlossenen Luft • Mechanische Verluste in den Außenwänden Vortrag Perkussionsinstrumente

22. Schallabstrahlung Vortrag Perkussionsinstrumente

23. Schallabstrahlung Vortrag Perkussionsinstrumente

24. Das Schlagzeug Toms Hi Hat Crashbecken Snare Bass-Drum Vortrag Perkussionsinstrumente

25. Vortrag Perkussionsinstrumente

26. Elektronisches Drumset Vortrag Perkussionsinstrumente

27. Bass Drums • Erzeugt die höchste Leistung aller Instrumente in einem Orchester (bis zu 20W) • Normaler Durchmesser 80-100cm • Meist 2 Membranen, unterschiedlich stark gespannt • Mylarmembranen (Polyester), manchmal auch Kalbsfell für große Konzertbassdrums • Schlagfell (batter) ist stärker gespannt als das Resonanzfell (carry) (Unterschied von bis zu 75%), • Sound erscheint verstärkt und klingt schneller ab • Für Soli wird auch das Gegenteil empfohlen, bzw. beide auf gleiche Spannung Vortrag Perkussionsinstrumente

28. Bass Drums • Moden sind überraschend nahe einer harmonischen Serie • Ab 200Hz entstehen viele unharmonische Anteile (ca. 160) • Interessante Kopplungseffekte für die niedrigsten Moden • Bei gleicher Spannung  0,1 einfacher 2-Massen-Oszillator mit: • f1=f0 • f2=sqrt(f0^2+2fc^2) • fc: Kopplungsfrequenz, die von der Beschaffenheit des Luftvolumens und der Membranmassen abhängt • fc= 67 Hz für 0,1 Vortrag Perkussionsinstrumente

29. Bass Drums • Entfernt man das Resonanzfell, ändert sich nur wenig gegenüber den Frequenzen bei Carry auf kleinerer Spannung • Abklingraten ca. 3-9 dB/s • Steigt auf 6-11 dB/s, wenn man Spannungen von Carry und Batter angleicht • Ohne Carry: 3-8 dB/s • Oberflächenspannung einer Membran steigt beim Schwingen mit einer endlichen Amplitude • ΔT ~ d2 • f ~ √(T0+ΔT) ~ √(T0+ d2) •  daher hat jede Mode eine höhere Frequenz, im Moment des Anschlags, die dann mit Abklingen der Amplitude kleiner wird • Typische Amplitude 6mm  Frequenz – Shift von 10%, was ungefähr einem ganzen Ton entspricht Vortrag Perkussionsinstrumente

30. Snare Drums • Typische Maße: 35cm Durchmesser, 13-25cm Tiefe • An der unteren Membran befinden sich gespannte Metalldrähte  ergeben typischen Snaresound • Bei Anschlag der oberen Membran, schwingen die Snareseiten gegen die Membran • Kopplungen der Membranen wie bei Bass • Eingeschlossene Luft und/oder das Gehäuse  Paare von Moden Vortrag Perkussionsinstrumente

31. Snare Drum • Bei ersten beiden Moden schwingen Batter und Snare gleich oder entgegen (kann wiederum mit einem simplem 2-Massen Modell beschrieben werden) • Bei Mode 3 und 4 sind Berechnungen wesentlich komplizierter • Offensichtlich muss die Luft jedoch bei Mode 3 einen größeren Weg zurück legen als bei Mode 4, was den Frequenzunterschied erklärt Vortrag Perkussionsinstrumente

32. Snare Drum Vortrag Perkussionsinstrumente

33. Snare Action • Kopplung zwischen Snare und Membran hängt von der Masse der Federkonstante der Snares • Bei genügend großer Anschlagamplitude lösen sich die Snares von der Membran ab einem bestimmten Zeitpunkt im Schwingungszyklus und schwingen die Membran zurück charakteristischer Snare Sound • Je größer die Spannung der Snares, umso größer ist die dazu benötigte Amplitude • Zu Beginn verhält sich die Geschwindigkeit der Snare sinusförmig, wobei Periodendauer größer als die der Membran ist • Dadurch kehrt die Membran erst ihre Richtung um und verliert dann den Kontakt zur Snare • Anschließend schlagen beide stark zusammen bei der Rückwärtsbewegung  charakteristischer Snare Sound Vortrag Perkussionsinstrumente

34. Snare Action Vortrag Perkussionsinstrumente

35. Snare Action Vortrag Perkussionsinstrumente

36. Tom Toms • Durchmesser 20-45cm, 20-50cm Tiefe • Eine oder zwei Membranen • Toms mit Verstärkung im Zentrum geben klarere Töne, was daran liegt, dass die niedrigen Frequenzen harmonischer liegen • Außerdem vergrößern die Verstärkungen die Abklingzeiten aller Moden • Wie bei Bass Drum erzeugen 2 Membranen wieder 2 Frequenzen in der (0,1)-Mode • Wieder Effekt der Tonerhöhung bei starkem Anschlag Vortrag Perkussionsinstrumente

37. Tom Toms Vortrag Perkussionsinstrumente

38. Onset und Decay • Wird die Membran zentral angespielt  größter Teil der Energie geht in kreissymmetrische Moden (0,1) und (0,2) • Zum Ende der 1. Sekunde enthält das Spektrum viele weitere Moden über die Kopplung zu (0,1) und (0,2) • Abklingzeit: • Art der Membran • Spannung • Kesselgewicht und –material • Halterung des Toms • Bsp.: Die Änderung der Länge des Armes, der das Tom hält, kann die Zerfallszeit von 5.5s auf 0.6 ändern Vortrag Perkussionsinstrumente

39. Onset und Decay Vortrag Perkussionsinstrumente

40. Perkussionsinstrumente -Trommeln: Indian Drums • Die beiden wichtigsten Trommeln aus Indian sind die Tabla: Vortrag Perkussionsinstrumente

41. Indian Drums • und die mrdanga aus Nord- und Südindien: Vortrag Perkussionsinstrumente

42. Indian Drums • Beide Trommeln produzieren harmonische Obertöne durch Verwendung bestimmter Materialien, wie Gummi oder Speisestärke im Trommelkopf (Paste). • Der Kopf der Tabla besteht aus drei Lagen Tierhäuten, die an den Enden zusammen geflochten sind und durch einen Lederring befestigt sind. • Die Spannung kann durch die Position kleiner Holzzylinder auf der Oberfläche der Außenwände variiert werden. • Mittels eines Hammers kann der Lederring nach oben oder unten verschoben werden, was eine noch feinere Einstellung erlaubt. Vortrag Perkussionsinstrumente

43. Indian Drums • Im Zentrum der Membran befindet sich ein runder schwarzer Fleck einer aus Reis und Eisenoxid hergestellten Paste, welche die Dichte erhöhen soll. (*) • Die ersten vier Obertöne der Tabla sind harmonische über der Fundamentalen, welche von (0,1) mode erzeugt wird. • Die Obertöne werden durch unterschiedliche Mode, welche dieselbe Frequenz erzeugen produziert. • Zweite (1,1); Dritte (2,1) und (0,2); Vierte (3,1) und (1,2); Fünfte (4,1), (0,3) und (2,2) Vortrag Perkussionsinstrumente

44. Indian Drums Vortrag Perkussionsinstrumente

45. Indian Drums • Abb 18.15 (Verschiedene Moden produzieren gleiche Frequenzen) Die meiste Energie ist eingeschlossen im Trommelkopf. Vortrag Perkussionsinstrumente

46. Indian Drums • Der Trommelkopf ist im wesentlichen in drei konzentrische Bereiche aufgeteilt, die es dem Spieler ermöglichen drei deutlich unterschiedlich Töne hervorzubringen. • „tun“  Mitte; „tin“  nicht gedämpfter Bereich und „na“  Rand. • Erwähnenswert ist auch noch, dass die verschiedenen Moden umso eher gleiche Frequenzen erzeugen je größer die Anzahl dünner Schichten an Paste ist. Vortrag Perkussionsinstrumente

47. Abb. 18.16 Indian Drums Vortrag Perkussionsinstrumente

48. Japanese Drums • Viele verschiedene Trommeln wie die O-daiko, turi daiko und die kotodumi. (Abb. 18.18) Vortrag Perkussionsinstrumente

49. Japanese Drums Vortrag Perkussionsinstrumente

50. Japanese Drums • Die o-daiko besteht aus einem Holzzylinder von ca. 50-100cm Durchmesser über dessen Enden eine Membran aus Kuhhaut gespannt ist. • Sie wird mit großen, fellüberzogenen Schlägern angeschlagen und produziert eine tiefen, donnernden Ton. Ihr ursprünglicher Einsatzzweck waren religiöse Feste in Tempeln und bei heiligen Schreinen. • Die Moden der o-daiko sind denen der bass drum sehr ähnlich. • Dämpfung durch Luft wichtig bei großen Membranen. Die Frequenzen der o-daiko stimmen sehr gut mit den theoretischen Werten ohne Luft überein  die Membranspannung und Masse sind groß! Vortrag Perkussionsinstrumente