Diskrétní Fourierova transformace

1. Diskrétní Fourierova transformace

2. Transformace x(n) X(n) Zpracování v transform. oblasti Zpracování v časové oblasti Inverzní Transformace X(n)‘ x(n)‘ Základní idea transformace

3. Spojitá Fourierova transformace • Diskrétní Fourierova transformace (exponenciální tvar) • Diskrétní Fourierova transformace (goniometrický tvar) k – index DFT ve frekvenční oblasti, k=1,2,…,N-1

4. Každá hodnota X(m) je určená součtem součinů vstupních vzorků s hodnotami komplexní sinusoidy cos(Φ)-jsin(Φ). Přesná frekvence sinusoidy fa(m) závisí na počtu vzorků vstupního signálu N a vzorkovací frekvenci fs: Př. Při vzorkování 500 Hz a počtu vzorků N=4 jsou frekvence fa následující: X(0 )= 0Hz X(1)=125 Hz X(2)=250 Hz X(3)=375 Hz

5. Ximag Xmag Ф Xreal Polární tvar DFT Xm(k)=Xreal(k)+jXimag(k)

7. Při použití polární reprezentace DFT – pozor na následující možné problémy : • správnou konverzi fáze - sw většinou vrací fázový úhel v radiánech a to v rozsahu <–π/2, π/2 > • při výpočtu fáze pozor na nulovou reálnou část ( přetečení) (fáze je v tomto případě ±90º • pozor na správnou konverzi úhlu z intervalu <–π/2, π/2 > na interval <0, π > • fáze u velmi nízkých amplitud, které se ztrácí v šumů může chaoticky kmitat okolo nulové hodnoty

8. Př : Uvažujme signál x(t) vzorkovaný frekvencí 8kHz reprezentovaný 8 vzorky x(0) = 0.3535 x(1) = 0.3535 x(2) = 0.6464 x(3) = 1.0607 x(4) = 0.3535 x(5) = -1.0607 x(6) = -1.3535 x(7) = -0.3535

10. Vlastnosti DFT • Linearita k1x1(n)+ k2x2(n) ↔ k1X1(n)+ k2X2(n) • Periodičnost - funkce x(n) a X(n) jsou periodické s periodou P=N • Kruhový časový posun • Kruhový frekvenční posun

11. Kruhová konvoluce v časové oblasti • Kruhová konvoluce ve frekvenční oblasti • Obraz obrácené posloupnosti • Vlastnosti spektra reálné posloupnosti

12. Vlastnosti spektra reálné a sudé posloupnosti • je-li x(n) reálná a sudá je i X(k) reálná sudá • Vlastnosti spektra reálné a liché posloupnosti • je-li x(n) reálná a lichá, pak je X(k) imaginární, lichá • Alternativní vzorec pro výpočet IDFT • K výpočtu inverzní transformace je možné použít algoritmů pro výpočet • DFT: • nejprve obrátíme znaménka hodnot imaginární části X(k), • vypočteme DFT • obrátíme znaménka imaginárních částí vypočtených hodnot • výsledek vydělíme N

13. Vlastnosti fázové charakteristiky

15. 2-D DFT

16. Z předchozích vztahů vyplývá, že 2D DFT je možné počítat postupně s využitím 1D DFT: • vypočteme DFT pro jednotlivé řádky obrazu f(x,y) → F(u,y) • Určíme 1D DFT pro každý sloupec matice F(u,y) Zobrazení DFT – použití logaritmické transformace Log(u,v) = k log(1+ F(u,v))

17. Natočení obrazu Vlastnosti 2-D DFT

18. Lineární kombinace obrazů k1 f(x,y) + k2 g(x,y) <==> k1 F(u,v) + k2 G(u,v)

19. Posun obrazu – nemění se spektrum, ale fázový posun

20. Zvětšení obrazu

21. Sinusovka • Čtverec • Gausián • Impulsy

22. Filtrace ve frekvenční oblasti Dolní propust Filtr DP = * = x

23. Filtrace ve frekvenční oblasti Holní propust Filtr HP = * = x

24. Filtrace ve frekvenční oblasti Pásmová propust Filtr PP = * = x

25. Filtrace šumu

27. původní – filtrovaný obraz