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第 六 章 樹狀結構 (Tree)

第 六 章 樹狀結構 (Tree). 課程名稱： 資料結構 授課老師： _____________. 本章學習目標. 1. 讓讀者了解 樹狀結構 的相關名詞的 定義 。 2. 讓讀者了解 二元樹 的 建立 及 各種追蹤方式 。 3. 讓讀者了解 進階 的 各種樹狀結構 。 4. 介紹各種 高等樹 的 建立 、 加入 及 刪除 方法。. 本章內容. 6-1 樹狀結構 6-2 樹狀結構表示法 6-3 二元樹 (binary tree) 6-4 二元樹的追蹤 (Binary Tree Traversal)

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第 六 章 樹狀結構 (Tree)

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  1. 第 六 章樹狀結構(Tree) 課程名稱：資料結構 授課老師：_____________

  2. 本章學習目標 1.讓讀者了解樹狀結構的相關名詞的定義。 2.讓讀者了解二元樹的建立及各種追蹤方式。 3.讓讀者了解進階的各種樹狀結構。 4.介紹各種高等樹的建立、加入及刪除方法。

  3. 本章內容 6-1 樹狀結構 6-2 樹狀結構表示法 6-3 二元樹(binary tree) 6-4 二元樹的追蹤(Binary Tree Traversal) 6-5 二元搜尋樹(Binary Search Tree) 6-6 堆積(累堆)樹 ( Heap Tree )  6-7 高度平衡樹 ( AVL Tree )

  4. 本章內容 (補充單元) 6-8 引線二元樹(Threaded Binary Tree) 6-9 雙向堆積樹 ( DEAPS ) 6-10 B-tree 6-11 B+-tree 6-12 霍夫曼樹(Huffman Tree) 6-13 2-3樹 6-14 2-3-4 樹 6-15 紅-黑樹 ( Red-Black tree )

  5. 6-1 樹狀結構 【定義】 樹狀結構是由一個或多個節點組合而成的有限集合，它必須要滿足 以下兩點： 1. Tree(樹)不可以為空，至少有一個節點稱為Root(根節點)。 2. 其餘的節點分成T1 , T2,.....,Tn個互斥集合。因此，我們也可以稱T1 , T2,....., Tn為根節點的子樹 ( Sub tree ) 。 【圖解】

  6. 由於，樹狀結構和我們一般樹的形狀是差不多的，所以才稱為樹狀結構，以下我們就以圖形來做簡單的說明。如下圖所示。 Root(根節點) T3 T2 T1 圖6-1 樹狀結構

  7. 注意： 樹狀結構中不可以含有重邊、迴圈或不相連的情況。以下的例子為非樹狀結構。

  8. 【樹狀結構的專有術語介紹】 在認識樹狀結構之前，您必須了解相關的專有術語。我們先以下圖的樹狀結構來為您說明： 樹根(root)：每一棵樹的最上層的節點，稱為樹根，而A就是為這棵樹 的樹根。節點(node)：樹的節點代表著某項資料，A、B…、L都是節點。 A樹根

  9. 【樹狀結構的專有術語介紹】(續) 子樹(subtree)：把A去掉之後，就剩下以B、C及D為樹根的三棵子樹。樹林(forest)：是由N≧0個互斥子樹的集合。把樹根A去掉之後，剩下 的部分就叫樹林。階度(level)：表示節點的階層位置。樹根A的階度是1，B的階度是2， K的階度是4。

  10. 【樹狀結構的專有術語介紹】(續) 高度(height)：一棵樹中節點的最大階度就是高度， 而此樹的高度為4。父節點(parent)：每一個節點的上一個節點就是父節點，B節點的父節 點就是A。 子節點(children)：每一個節點的下一個節點就是子節點，D節點的子 節點就是 H、I及J。

  11. 【樹狀結構的專有術語介紹】(續) 分支度(degree)：一個節點的子樹之個數稱為該節點的分支度。 例如：A節點的子樹之個數為3，所以，分支度為3。 B節點的子樹之個數為2，所以，分支度是2。終點節點(terminal node)：分支度為0的節點，這棵樹的終點節點 (又稱樹葉節點)共有K、F、G、H、I、L。

  12. 6-2 樹狀結構表示法 【方法一】直接利用Link List表示 【作法】假設樹有n個節點, 樹的分支度為k，則節點結構如下： 其中：Data：存入節點的資料值 Link i：指向子節點的指標

  13. 【實例】假設有以下一棵三個階度的樹狀結構，請利用Link list 來表示，並說明此方法的缺點。 【分析】 節點數n=6(∵A~F) 分支度k=3(∵A的分支度為3) 【解答】 【缺點】極度浪費Link空間。 【解析】 (1)總共的Link空間為：n×k=6×3=18 (2)有用的Link空間為：n-1=6-1=5 ∴浪費的Link數為：n×k-(n-1)=18-5=13

  14. 【樹轉換成二元樹的理由】 假設樹有n個節點, 樹的分支度為k，鏈結的浪費比例為： 【浪費比率】 (1)k=2時2元樹的鏈結浪費比率約為1/2 (2)k=3時3元樹的鏈結浪費比率約為2/3 (3)k=4時4元樹的鏈結浪費比率約為3/4 當k=2時，它的鏈結浪費比率最低，所以為了改進記空間浪費的缺點，我們將樹化成二元樹(Binary tree)的結構。 【方法二】將樹化成二元樹後再儲存在下一單元會詳細介紹。 浪費的Link數 總共的Link空間

  15. 6-3 二元樹(Binary tree) 【定義】二元樹可以為空，若不為空，則具有以下兩個特性： 1.具有根節點(Root)及左子樹和右子樹。 2.左、右子樹亦是二元樹(亦即分支度小於或等於2)。 簡單的說，二元樹最多只能有兩個子節點，就是分支度小於或等於2。 根節點(Root) 左子樹 右子樹

  16. 【二元樹和一般樹的不同之處】

  17. 【特性】 １、在二元樹的第 i 階度（Level）上最多的節點個數為 2 i-1 , i >= 1 。 【解析】

  18. ２、在高度為 h 的二元樹中最多的節點個數為 2 h -1 , h >= 1 。 【解析】

  19. 3. 若一棵二元樹 T 的總節點數（Node）為 V，總邊（Edge）數為 E，則V=E+1 【解析】 假設：V：總節點數(如下圖中的1~15個節點) E：總邊數(如下圖中的14條邊)

  20. 4. 一棵二元樹，若 n0為樹葉節點的數量，n2為分支度為 2 的節點 數量，則n0 = n2 + 1 【證明】 假設： n：總節點數 n0：分支度為0的節點數(樹葉節點) n1：分支度為1的節點數 n2：分支度為2的節點數 E：總邊數 已知： n=n0 +n1 +n2 n=E+1 ------ E=n1 +2n2 所以： n0 +n1 +n2=n1 +2n2+1 n0= n2+1   n2=6 n1=1 n0=7

  21. 【實例1】假設有8個Leafs (樹葉節點) ，則Degree(分支度)為2的 節點數為多少？ 【解答】已知：n0 = 8，求n2 =? 代入公式：n0 = n2+ 1 n0=8代入上式，n2=7 【圖解驗證】 n2=7 n0=8 因此，只要先得知樹葉節點總數，就可以推算出分支度為2的節點數了！

  22. 【實例2】假設有7個Degree為2的Nodes，則Leaf個數為多少？【實例2】假設有7個Degree為2的Nodes，則Leaf個數為多少？ 【解答】已知：n2 =7，求n0 = ? 代入公式：n0 = n2+ 1 n2=7代入上式，n0=8 【圖解驗證】 n2=7 n0=8 因此，只要先得知分支度為2的節點數，就可以推算出樹葉節點總數了！

  23. 【n個節點可組成多少不同的二元樹】 唸成C n取r 公式： 其中 ，也可以記作C(n,r)或 (1)當n=1 時， 種 (2)當n=2時，種 (3)當n=3時，種

  24. 6-3.1 斜曲二元樹 ( Skewed binary tree ) 【定義】 當一個二元樹完全沒有右節點或左節點時，我們就把它稱為左斜曲樹或右斜曲樹。它可分為二種： 1.左斜曲(Left-skewed)二元樹 2.右斜曲(Right-skewed)二元樹

  25. 1.左斜曲(Left-skewed)二元樹 【定義】表示二元樹，只有左兒子，無右兒子。 如下圖所示。 左兒子

  26. 2.右斜曲(Right-skewed)二元樹 【定義】表示二元樹，只有右兒子，無左兒子。 如下圖所示。 右兒子

  27. 6-3.2 嚴格二元樹 (Strictly binary tree) 【定義】若二元樹的每個非終端節點(1,2,4)，均為非空的左右子樹。 如下圖所示。

  28. 6-3.3 完滿二元樹 ( Full Binary Tree ) 【定義】一個高度為 h 的完滿二元樹 ( Full Binary Tree )，當h >= 0時， 則它會具有 2h -1 個節點。 【題目】假設有一棵完滿二元樹，其高度h=4時，請問此棵二元樹會 具有多少個節點？ 【解答】已知h=4 節點數= 2h -1= 24 -1=15 高度h=4 節點數=15

  29. 6-3.4 完整二元樹(Complete Binary Tree ) 【定義】一個二元樹有 n 個節點且高度為 h ，若且唯若，滿足： 1. 節點數n一定會介於：2 h-1 -1 < n < 2 h -1 2. 節點編號和高度h必須要與完滿二元樹之前n個節點編號一致。 【目題1】假設有一棵二元樹，共有 14 個節點(即n=14)且高度為4， 現在想要建立成一棵完整二元樹，請問如何建立呢？ 【解答】 前14個節點編號一致 完滿二元樹 完整二元樹

  30. 6-3.4 完整二元樹(續) 【題目2】假設有一棵完整二元樹，其高度h=4時，請問此棵二元樹的 節點數最少與最多各多少？ 【解答】已知h=4 節點數n一定會介於：2h-1 -1 <n<2h -1=23-1<n<24-1=7<n<15 ∴n最少節點數=8 ∴n最多節點數=14 高度h=4 完整二元樹

  31. 【分析】 由定義我們可以得知： 完整二元樹並不一定是完滿二元樹；但是， 完滿二元樹則必定是完整二元樹。 由上面介紹的「嚴格二元樹」、「完滿二元樹」及「完整二元樹」三種定義，我們可以歸納其之間的關係如下所示： 「完滿二元樹」≧「完整二元樹」≧「嚴格二元樹」

  32. 【基本性質】 假設一個具有n 個節點的完整二元樹以循序的方式編號，並依序存放在陣列A中，即第 i 個節點存放在 A 中，1in，因此，就會有以下幾個性質： (1)根節點位於 A[1] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]

  33. 【基本性質】(續) (2)節點 i的父節點位在A ，i1 【舉例】假設要尋找節點E的父節點儲存位置 【解答】 【圖解驗證】節點E的父節點儲存位置為2 5/2取下限=2 i代入5 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] 父節點 節點E

  34. 【基本性質】(續) (3)若2in，則節點i的左兒子位在A ，若2i>n，則節點i沒有左兒子 【舉例1】假設要尋找節點C的「左兒子」儲存位置 【解答】由於節點C在位置i=3，並且2i≦n，亦即2*3≦6，所以有左兒子 【圖解驗證】節點C的「左兒子」儲存位置為6 2*3取下限=6 i代入3 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] 節點C 左兒子

  35. 【基本性質】(續) (3)若2in，則節點i的左兒子位在A ，若2i>n，則節點i沒有左兒子 【舉例2】假設要尋找節點D的「左兒子」儲存位置 【解答】由於節點D在位置i=4，並且2i>n，亦即2*4>6，所以沒有左兒子 【圖解驗證】節點D的「左兒子」儲存位置為8 2*4取下限=8(找不到(沒有左兒子)) i代入4 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] 節點D 沒有左兒子

  36. 【基本性質】(續) (4)若2i+1n，則節點i的右兒子位在A ，若2i+1>n， 則節點i 沒有右兒子 【舉例1】假設要尋找節點B的「右兒子」儲存位置 【解答】由於節點B在位置i=2，並且2i+1≦n，亦即2*2+1 ≦ 6，所以有右兒子 【圖解驗證】節點B的「右兒子」儲存位置為5 2*2+1取下限=5 i代入2 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] 節點B 右兒子

  37. 【基本性質】(續) (4)若2i+1n，則節點i的右兒子位在A ，若2i+1>n， 則節點i沒有右兒子 【舉例2】假設要尋找節點C的「右兒子」儲存位置 【解答】由於節點C在位置i=3，並且2i+1>n，亦即2*3+1>6，所以沒有右兒子 【圖解驗證】節點C的「右兒子」儲存位置為7 2*3+1取下限=7 找不到(沒有左兒子) i代入3 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] 節點C 沒有右兒子

  38. 6-3.5 二元樹表示法 一般而言，二元樹的表示法有兩種： 1.以陣列(Array)表示 2.以鍵結串列（Linked List）表示

  39. 一、以陣列(Array)表示 【定義】首先將二元樹想像成一個「完滿二元樹」，並使用「一維陣列」 建立二元樹的表示方法及索引值的配置。 【作法】假設二元樹(Binary Tree)之高度為h，則準備一維陣列 A[1…2h-1]，依照「節點編號」依序存入陣列中。

  40. 【舉例】假設有一棵二元樹，如下圖所示： 請利用陣列(Array)來表示。 【解答】 步驟一：想像成一個「完滿二元樹」，並加上節點編號 步驟二：因為高度h=3 ∴準備一個一維陣列A[1…2h-1]的空間， 亦即A[1…7]如下所示： A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]

  41. 步驟三：依照「節點編號」順序存到一維陣列中步驟三：依照「節點編號」順序存到一維陣列中 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]

  42. 【優點】 1. 容易取得父節點、左兒子及右兒子。 【解析】 節點 i 的父節點位在 A ，i1 若 2in，則節點 i 的左兒子位在 A 若 2i+1n，則節點i的右兒子位在 A 2.對於「完滿二元樹」之儲存完全沒有空間的浪費。 【解析】 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]

  43. 【缺點】 1.節點之插入與刪除較困難。 【解析】插入較困難：往後挪移位置 刪除較困難：往前挪移位置

  44. 【缺點】 2.對於斜曲二元樹(Skewed B.T.)的儲存極度浪費空間。 【解析】 假設有一個斜曲二元樹高度為h 其準備2h-1空間 實際有用空間為h 浪費的空間為(2h-1)-h 高度為h=3 準備23-1=7空間 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7]

  45. 二、以鏈結串列(Link List)表示 【定義】使用動態記憶體配置來建立二元樹，利用兩個指向左和右子樹 的指標。 【節點結構】 (1)Lchild與 RChild：指標指向左右子樹 (2)Data：存Node之資料值

  46. 【舉例】假設有一棵二元樹，如下圖所示： 請利用鏈結串列(Link List)來表示。 【解答】 A為資料值 指向左子樹 指向左子樹 若沒有右子樹 則指標指向空節點(null) 若為終端節點，則左、右指標指向空節點(null)

  47. 【優點】 1.節點之Insert / Delete 容易。(∵只要更改指標即可) 2.鏈結串列(Link List)對於斜曲二元樹儲存較陣例(Array)來表示法 節省空間。 【圖解】 高度為h=4 (1)利用陣例(Array)來表示 (2)利用鏈結串列(Link List)來表示 浪費空間數：15-4=11 浪費空間數：4*2-3=5

  48. 【缺點】 1.不易找到父節點。 2.Link空間約浪費一半。如下圖中，當n=4時，浪費5個空間。 【解析】 二元樹有n個節點總共Link空間為2n 例如：下圖中n=4，則總共Link空間為=2*4=8 有用的Links空間為n-1。如上圖中n=4，則使用的Links空間為=3 無用(空)Links空間為2n-(n-1)=n+1 。如上圖中， 無用的Links 空間為=2*4-(4-1)=4+1=5

  49. 6-3.6 一般樹化為二元樹 在樹狀結構中，二元樹在處理時，是比較節省記憶體空間的。 【解析】 因此，我們可以將一般樹轉換成二元樹，其方法如下： 步驟一：將樹的各階層兄弟節點利用平行線連接起來。 步驟二：刪掉所有右邊父子節點間的連結，只留最左邊的父子節點。 步驟三：右邊的兄弟節點順時鐘轉45度。 二元樹 一般樹

  50. 【實例】請將下面的一般樹化為二元樹 【解答】 步驟一：將樹的各階層兄弟節點利用平行線連接起來。

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