Presentazione di Chan Yi & Festa Andrea

1. L E D E E R T I A V Presentazione di Chan Yi & Festa Andrea

2. Definizione: • Data una funzione y=f(x) di dominio D di R sia x0 D e sia x tale che x0+x D si definisce f’(x0) ( la derivata prima nel punto x0 e si scrive: Il rapporto tra l’incremento della funzione e l’incremento corrispondente è detto rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto e all’incremento .

3. Di conseguenza… Si ottiene che la derivata di una funzione in un punto è il limite, se esiste, del rapporto incrementale, al tendere a zero dell’incremento dato dalla variabile indipendente.

4. Derivata sinistra e Derivata destra • Si può inoltre trovare solamente la derivata sinistra e derivata destra. In simboli si avrà: N.B. : Si noti che una funzione è derivabile in se e solo se le due derivate, sinistra e destra, esistono finite e uguali tra loro.

5. Significato geometrico della derivata Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto , cioè che in esista finita la derivata. Se facciamo tendere il valore di h a zero ( nel nostro caso ) ovvero con valori di h sempre più piccoli, il punto Q si avvicinerà sempre più a P e la posizione della retta secante PQ tenderà ad avvicinarsi sempre più a quella della retta t tangente al grafico y=f(x) nel punto P come mostrato nella figura sotto. Si ha così che, se f(x) è derivabile in , la derivata della funzione in x0 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto d’ascissa x0.

6. Punti stazionari Nel caso particolare in cui la derivata in x0 è nulla, cioè , la retta tangente al grafico della funzione nel punto risulta parallela all’asse x. Definizione: si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto x0 in cui la derivata • della funzione è nulla x=x0 punto stazionario per N.B. : Si dice punto a tangtenteorizzontale, se la derivata della funzione è uguale a 0 nel punto

7. Casi di non derivabilità 1- Se la funzione non è derivabile in x0 perché la sua derivata in è o , allora la tangente al grafico nel punto esiste ed è parallela all’asse y perché non è definito il coefficiente angolare uguale a . 2-Se la funzione ha un punto interno all’intervallo in cui è definita, si avrà un punto di flesso a tangente verticale. 3- Se la funzione, non derivabile in , per la quale la derivata destra è la derivata sinistra è , la tangente esiste ed è parallela all’asse y e avrà quindi un equazione . Di conseguenza nel punto è un punto di cuspide.

8. 4-Se la funzione, non derivabile in , perché ammette derivata sinistra e derivata destra finite diverse tra loro, si avrà una semiretta, tangente a sinistra, di coefficiente angolare e una semiretta, tangente a destra, di coefficiente angolare Di conseguenza nel punto è un punto angoloso. Curiosità: Il punto di cuspide è considerato un caso particolare di punto angoloso.

9. Continuità delle funzioni derivabili Se una funzione è derivabile in un intervallo I, il suo grafico è dotato, in ogni punto di I, di retta tangente non parallela all’asse y: è quindi intuitivo che la funzione risulti continua. Definizione: Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto x0, cioè ammette derivata finita in x0, allora la funzione è continua in x0

10. Come calcolare una derivata Sia , dove c è una costante Bisogna fare il rapporto incrementale relativo a un generico valore della variabile x è zero In formule: Si ha quindi y = c y’=0 La derivata di una costante è zero.

11. Le altre derivate fondamentali Derivata della variabile indipendente: P.S. Tutte queste derivate sono tutte dimostrabili facendo il rapporto incrementale relativo a qualsiasi numero o x. Derivata di con Derivata di y= = Derivata di y= Derivata di • Derivata di Derivata di Derivata di Derivata di

12. Derivata della somma di due funzioni Definizione: La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse. Per dimostrare che è veramente così bisogna fare il rapporto incrementale della funzione da derivare, relativo A un punto generico x del suo insieme di definizione. N.B.: Abbiamo evitato di fare la dimostrazione per la mancanza di tempo e per il suo procedimento lungo.

13. Derivata della differenza di due funzioni Definizione: La derivata della differenza di due funzioni derivabili è uguale alla differenza delle derivate delle funzioni stesse. Per la sua dimostrazione è analoga a quella vista con la somma. N.B. La derivata della somma/differenza algebrica di più funzioni derivabili è la somma/differenza algebrica delle derivate delle singole funzioni.

14. Derivata del prodotto di due funzioni Definizione: La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda, aumentato del prodotto della prima funzioni per la derivata dalla seconda. Per la dimostrazione bisognerà anch’essa fare il rapporto incrementale relativo a un generico punto x del suo insieme di definizione e a un generico incremento

15. N.B: La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione La derivata del prodotto di più di due funzioni derivabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuna funzione per tutte le altre non derivate.

16. Derivata del quoziente di due funzioni Definizione: La derivata del quoziente di due funzioni derivabili ( con la funzione divisore diversa da zero nei punti nei quali si calcola la derivata), è uguale a una frazione che ha per denominatore il quadrato della funzione divisore e per numeratore il prodotto tra la derivata del dividendo e il divisore diminuito del prodotto del dividendo per la derivata del divisore.

17. N.B. Nel caso particolare in cui ho f(x) = 1 ed essendo g(x) , si applica regola sopra esposta.

18. Esempi di alcuni esercizi Somma: Differenza: Prodotto: Quoziente:

19. File utili Risoluzione esercizi esempio: DERIVE Grafico esercizi esempio: GEOGEBRA 4 Studio di funzione completo: DERIVE